双拓扑空间中的广义半闭函数和半广义闭函数研究

- ð Þ⊂⊂ð Þ ð Þ ðÞ埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2012）20，14原创文章双拓扑空间F.H. Khedra，*，H.S.萨阿迪ba埃及艾斯尤特大学理学院数学系，艾斯尤特715161b/P.O.女子教育学院数学系。Box 4281，麦加，沙特阿拉伯2012年3月2日在线提供本文在双拓扑空间中引入并研究了一类新的广义半闭函数和一类半广义闭函数的概念。研究了ij-广义半闭集和ij-半广义闭集的进一步性质。应用这些集合的概念，我们引入并研究了两个新的空间，即两两广义s-正则空间和两两s-正规空间。2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍1986年，Fukutake[5]将广义闭集的概念推广到双拓扑空间，并定义了一个一个空间<$X;s1;s2<$X是ij-广义闭（brie-y，ij-g-闭）集，如果jclA U，只要A U和U是si-开的在X.此外，他定义了一个新的闭包算子和强成对T1= 2-空间。1987年，Bhattacharyya和Lahiri[2]利用Levine[10]定义的半开集的概念，定义了半广义闭集的概念。1990年Arya和Nour[1]利用半闭包引入了广义半闭集的概念，并研究了广义半闭集的一些性质和s-正规空间的特征。1993年，Devi等人[4]引入了sg-闭函数和gs-闭函数，并研究了它们的一些性质。本文的目的是继续研究广义双拓扑空间中的闭函数我们将介绍*通讯作者。电子邮件地址：Khedrfathi@gmail.com（F.H.Khedr），hotmail.co（H.S. Al-Saadi）。1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和主办：ElsevierB.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.12.008制作和主办：ElsevierIJ-SG-闭函数和IJ-GS-闭函数，并利用IJ-SG-闭集和IJ-GS-闭集的概念研究了两两广义S-正则空间和两两广义S-正规空间的概念。此外，我们还进一步研究了ij-广义半闭函数、ij-半广义闭函数、ij-gs-开函数和ij-sg-开函数的性质。在本文中，X，s1，s2，Y，r1，r2和Z，m1，m2（或简称X，Y和Z）表示双拓扑空间，除非另有说明，否则在这些空间上没有分离公理。对于X的子集A，我们将分别用i-cl（A）和i-int（A）表示A关于si（或ri）的闭包和A关于si（或ri）的内部，其中i=1，2.也是i，j=1，2和i- j。关键词ij-半开集;ij-半广义闭集;ij-广义半闭集;ij-半封闭;ij-半T1= 2-空间;ij-半广义函数;ij-广义半函数双拓扑空间中的广义半闭函数与半广义闭函数152⊂- -- 我的天--2-- 你-你ð Þ你好！ ðÞ空间X的子集A称为ij-半开的，如果存在X的si-开集U使得U A j cl U，或者等价地如果A j cl i int A.一个ij-半开集的补集称为ij-半闭集。X 的所有ij- 半开集的族记为ij-SO（X），对于X，X的 所有ij-半开集的族记为ij-SO（X，x）。A[3]的一个ij-半内部，记为ij-sint（A），是A中所有ij-半开集的并.所有包含A的ij-半闭集的交称为A的ij-半闭包，记为ij-scl（A）. X的子集A称为ija-open[7]，如果A iintjcli intA。现在，我们提到以下定义和结果：定义1.1.空间X的子集A称为：(i) 一个ij-半广义闭[9]（brie-yij-sg-闭），如果纪scl AU，每当AU和UIJSOX.一个ij-sg-闭集的补集称为ij-sg-开集。ij-sgint（A）和ij-sgcl（A）可以用类似于ij-sint（A）和ij-scl（A）的方式定义。(ii) 一个ij-广义半闭集[9]（brie-j-gs-closed）如果jisclA U，则只要A U和U在X.一个ij-gs-闭集的补集称为ij-gs-开集。ij-gsint（A）和ij-gscl（A）可以用类似于ij-sint（A）和ij-scl（A）的方式定义。定义1.2. 一个双拓扑空间<$X;s1;s2）被称为：2. ij-广义半闭映射的性质定义2.1. 一个函数f：X; s1; s2！若对X的任意 sj-闭A，f（A）是Y的ij-g-闭集，则称Y ; r1; r2为ij - 广 义 闭 集（brie-g-closed，ij-g-closed）. 如果f是12-g-闭的，21-g-闭的，闭，则f称为成对g-闭。定义2.2. 一个函数f：X; s1; s2！ 若对X中的任意sj-闭集A，f（A）是Y中的ij-gs-闭集，则称ij -广义半闭集（briefy，ij-gs-闭）. 如果f是12-GS-闭和21-GS-闭，则f称为成对GS-闭。定理2.3. 每个j-闭映射都是ij-g-闭的，每个ij-g-闭映射都是ij-gs-闭的。证据直接得出，因为每个j-闭集都是ij-g-闭集，每个ij-g-闭集都是ij-gs-闭集。H定理2.4. 每个ji-半闭映射都是ij-gs-闭映射。证据由于每个ji-半闭集都是ij-gs-闭集，所以定理成立。上述定理的逆命题一般不成立，如下所示。H例如 2.5.设X<$fa;b;cg <$Y;s1<$f/;fag;fb;cg;Xg;(i) 成对半T1个= 2个[9]当且仅当每一个ij-sg，s2<$f/;fbg;fa;bg;Xg;r1<$f/;fag;Yg;r2<$f/;fag;fa;bg;Yg. 设f：<$X; s1; s2< $ ！ r1; r2是恒等函数。闭集是ji-semi-closed。(ii) 成对正态分布[6]（两两s-正规）如果对任意两个不相交的si-闭集A和sj-闭集B，存在sj-开集 U 和 一 si-开 设置 V （分别） U2ji-SOX和V2ij-SOX，使得AU，对于i;jl;2;i-j，B=V和U=(iii) 成对正则的[6]如果对每个si-闭集F和一个点xRF ， 存在 si- 开集U 和 sj- 开集 V， 使得 x2U;F≠V 和U\V\V\V\V ， 或 者 等 价 地 ， 对 于 每 个 si- 开 集 U 和x2U，存在si-开集V，使得x2V≠j-开集V≠U。(iv) 成对s-正则[8]如果对每个si-闭集F和一个点xRF，那里存在U2ij-SONOX并且V2=SO2+X2，使得X2+V2+V2 +V2+。定义1.3[9]。一个函数f：X; s; s！异戊四醇则f是12-g-闭的和12-gs-闭的，但不是2-闭的，因此不是21-半闭的，因为{a，c}是X中的s2-闭集，但ffa;cg不是Y中的21-半闭的。示例2.6. 一个ij-gs闭映射不需要是ij-g闭的。设X<$Y<$$>fa;b;cg;s1<$f/;fag;Xg;s2<$f/;fb;cg;Xg;r1<$f/;fa;bg;Yg和r2<$f/;fag;Yg。如果一个映射f：<$X; s1; s2< $ ！r1;r2β 已定义 通过fab; fba;fcc. 集合A¼ fag是s2-闭的。则A在Y中是12-gs-闭的，但f<$A<$$> fbg不是12-g-闭的，因为2-cl <$fbg <$fb;cgfa;bg2 r1。示例2.7.一个ij-gs-闭映射不必是ji-半闭的。设X<$fa;b;cg;Y<$fa;b;c;dg;s1<$f/;fb;cg;Xg;s2<$12 12f/;fag;Xg，r1¼ f/;fc;dg;Yg;r2¼ f/;fa;bg;Yg和f：称为ij-预半开（分别为 ij-预半闭），如果f（U）是ij-对于每个ij-半开集U在X中（分别为如果f(U) 是ij-半闭的，对于X中的每个ij-半闭集U）。引理1.4[9]. 如果一个函数f：<$X; s1; s2< $ ！ 若R1 ， R2 ，R3 ， R4 ，R5，R6，R7，R8，R9，R10，R11，R12 ，R13 ，R14，R15，R16，R17，R18，R19是ij-预半闭的，则对每个子集S<$Y和每个包含f-1<$S<$Y的U2 ij-SO <$X <$，存在V2ij-SO<$Y <$使得S<$V和f-1<$V<$U.定理1.5[8]. 空间X是成对s-正则的当且仅当对每个i-开集G和每个x2G，存在ij-半开集U使得x2U和ji-sclG.定理1.6[9]. 如果函数f： X;s1; s2Y;r1;r2是i-连续的ji-预半闭的，则对X的每个ij-gs-闭集A，fA是Y中的ij-gs-闭集.X; s1; s2rY; r1; r2是由faa; fbb;fcd定义的地图。则ffa;b;dg在Y中是12-gs-闭的，但不是21-半闭的，因为21-sclY。定理2.8. 一个函数f：X; s1; s2！r1; r2<$Y ; r1; r2<$Y是ij-gs-闭的当且仅当对于每个子集S<$Y和每个包含f-1<$S<$Y的 sj- 开 集 U ， 存 在 ij-gs- 开 集 V <$Y 使 得 S<$V 和 f-1<$V<$U.证 据 设 S∈Y ， U 是 包 含 f-1∈S∈ 的 sj- 开 集 . 则V<$Ynf<$XnU<$ 是 Y 的 包 含 S 和 f-1<$V<$U 的 ij-gs- 开集。H相反，假设对每个SU。设F是X和W的sj-闭集16F.H. Khedr，H.S. Al-Saadið Þ你好！ ðÞð Þð Þ⊂ n ⊂n- 你好-你好-你好2ð Þ⊂-ð ð ÞÞ-2 ¼n-双螺杆挤出机-）2ð ð ÞÞð Þ2-ð Þ-ð ð ÞÞ）2002年-2004年ð Þ2 ⊂ð Þ是 Y 的 一 个ri- 开 集 ， 使 得 f<$F<$W 。 则 f-1<$Ynf<$F<$$><$XnF和XnF是sj-开的. 通过假设，存在一个ij-gs- 开 集 V 使 得 YnfV 和 f-1XnF 。 因 此 ， F<$Xnf-1<$V<$$>，因此f<$F<$V. 由于YnWf-1定义2.12. 一个函数f：X; s1; s2！若对X中的任意sj-开集U，f（U）是Y中的ij-gs-开集，则称Y; r1; r2∈Y为ij-广义半开集（brief-ij-gs-open）.定理2.13. 对于函数f：<$X; s; s< $ ！Y;r;rf-1通过取补码，我们得到F<$Xnf-1<$V< $ < $Xnf-1<$Ynf <$F<$Xnf-1<$YnW <$。在那里-(i) f是ij-gs-open12 12前，f F Y V W. 由于Y V是ij-gs-闭集，jisclf F jisclY V W暗示ji sclf F W因此f（F）是ij-gs-闭的。因此f是ij-gs-闭的。定理2.9. 设函数f：X;s1;s2Y;r1;r2是i-连续的和ij-gs-闭的. 如果A是X的ij-g-闭集，则f（A）是ij-gs-闭的。证据 令fAU，其中U 是 ri-开 设置 鼠疫 然后A f-1U。由于 f 是 i- 连 续 的 ， 则 f-1<$U<$ 是 X 中 的 si- 开 集 . 因 此 ， j-clauseAf-1<$U，因为A是ij-g-闭集。因此，fj-clAU。由于f是ij-gs-闭的，则f（j-cl（A））是ij-gs-闭的。因此，ji-sclébéfji-clébéaji-clébéaji-sclébéa ji-clébéa ji-scléaji-scléaji-scléa ji-cléaji-scléa。另手fAfj-clA意味ji-sclouf你好，我是说你好，我是说你好。因此，f（A）是ij-gs-闭的。 H备注2.10.设f：<$X;s1;s2<$！（Y，r1;r2 and g：（Y，r1，r2！（Z，m1;m2）是两个函数，则：(i) 如果f是j-闭的，g是ij-gs-闭的，则gof是ij-gs-闭的。(ii) 如果f是ij-g-闭的，g是i-连续的，ij-gs-闭的，则gof是ij-gs-闭的。(iii) 如果f是ij-gs-闭的，g是i-连续的，ji-预半闭的，则g是ij-gs-闭的。(iv) 若f是j-连续满射且gof是ij-gs-闭的，则g是ij-gs-闭的。证明(i) 设U是X的sj-闭集.由于f是j-闭的，则f（U）是Y的rj-闭集.由于g是ij-gs-闭的，则（gof）（U）=g（f（U））是一个ij-gs-闭集。因此gof是一个ij-gs闭函数。(ii) 设U是X的j-闭集.由于f是ij-g-闭的，则f（U）是Y的一个ij-g-闭集. 由定理2.9可知，（gof）（U）=g（f（U））是ij-gs-闭集.因此gof是ij-gs- closed。(iii) 设U是X的sj-闭集.因为f是ij-gs-闭的，所以f（U）是Y的一个ij-gs-闭集。由定理1.6，我们得到（gof）（U）=g（f（U））是ij-gs-闭的.因此，GOF是一个ij-gs-闭函数。(iv) 设 V 是 Y 的 rj- 闭 集 . 由 于 f-1V 在 X 中 是 sj- 闭 的 ， 则（gof）（f-1V）是Z的一个ij-gs-闭集。因此g（V）是ij-gs-闭的。因此g是一个ij-gs-闭函数。H定理2.11. 如果f：<$X; s1; s2< $ ！若A ∈Y;r1;r2∈ R是ij-gs-闭函数，则对每个子集A∈X;ij-gscl∈f∈A∈ R你看，我是说，证据设A是空间X的子集。由于f是ij-gs-闭的，所以f（j-cl（A））是包含f（A）的ij-gs-闭集.因此，ij-gsclfAij-gsclfj-clAfj-clA。H(ii) FJint AIJgsintfA对于X的每个子集A。(iii) 对于每个x X和每个包含x的j-开集U，存在包含f（x）的ij-gs-开集V，使得VfU。(iv) 如果f是满射，则f-1，Y的每个子集B然后是（i）（ii）（iii）（iv）。证明(i) （ii）设A是空间X的一个子集。由于j-intAA，则fj-intAfA。但j-int（A）是X的sj-开集，则f（j-int（A））是Y的ij-gs-开集，因为f是ij-gs-开的。因此fj-intAij-gsintfj-intA你好，我是说你。因此，fj-intAij-gsint(ii)（iii）设x，X和U是包含x的sj-开集.则由（ii），fjint UijgsintfU，这意味着fUijgsintfU。因此，存在一个ij-gs-开集V，使得fxV和VfU。(iii)㈣：让BY和Xf-1ijgscl B.那么fxIJgscl湾如果xRjcl f-1B、则xU哪里UX Jcl f-1B.然后（三）有是一个IJ-GS-开放设置V等那个fx2VfU。现在，VfUfXn f-1BYnB这表明BYnV。由于YnV是ij-gs-闭的，所以ij-gsclBYnV。现在，我来告诉你。因此fxRV是矛盾的。因此f-1ij- gscl你知道吗？H定理2.14. 如果一个函数f：<$X; s1; s2< $ ！若f ∈Y; r1; r2∈Y是ij-gs-开的，则对每个子集B∈Y和每个包含f-1 ∈ B ∈ Y的sj-闭集F，存在一个ij-gs-闭集V∈Y，使得 BV和f-1VF。证 据 设 B∈Y ， F 是 包 含 f-1<$B ∈ Y 的 sj- 闭 集 . 则V<$Ynf<$XnF<$是Y的包含B和f-1<$V<$F的ij-gs-闭集.H3. ij-广义半闭函数的性质定义3.1. 一个函数f：X; s1; s2！若对X中的任意sj-闭集F，f（F）是Y中的ij-sg-闭集，则称Y ; r1; r2 ∈ Y为ij-半广义闭集（简称ij-sg-闭集）. 如果f是12-sg-闭的21-sg-闭，则f称为成对sg-闭。定理 3.2. 如果 F级：X; s1; s2R1;R2是 ij-sg-闭函数，则对每个子集A.fA.双拓扑空间中的广义半闭函数与半广义闭函数17你好！ ðÞ2-ð Þ⊂-ð ð ÞÞ-）2ð ð-ð ÞÞÞ ¼ ð-ð ÞÞ-你...你...ð ÞÞ ⊂ð Þð Þ⊂ ð-ð ÞÞ ⊂-- 你好-）ðÞ证据设A是空间X的子集。由于f是ij-sg-闭函数，则f（j-cl（A））是包含f（A）的ij-sg-闭集.因此，ij-sgclfAij-sgclfj-clA我的天啊。H定义3.3. 一个函数f：X; s; s！Y;r;r示例3.8.一个ij-sg-闭函数不一定是ji-半闭的。让X ， Y ， s1和 s2如例 2.7 ， 设r1 1/4f/;fa;dg;fa;b;dg;Yg和r21/4 f/;fa;b;cg;Yg。 设f：<$X; s1;s2< $ ！ r1; r2是恒等函数。集合X是s2-12 12关闭，也是f XX。则X在Y中是12-sg-闭的，但X不是半广义开（brie-j-sg-开）若对每个sj-开集X的U，f（U）是Y中的ij-sg-开集。定理3.4. 对于函数f：X;s1;s2Y;r1;r2，考虑以下情况：(i) f是ij-sg-open(ii) FJint AIJsgintfA对于X的每个子集A。(iii) 对于每个x X和每个包含x的j-开集U，存在一个包含f（x）的ij-sg-开集V，使得V<$f<$U <$。(iv) 如果f是满射，则f-1对于Y的每个子集B然后是（i）（ii）（iii）（iv）。证明(i)（ii）设A是空间X的子集，则j-int（A）是X的sj-开集.由于 j int Aij sgint AA，则f jint Afijsgint AfA。通过（i），f（j-int（A））是Y的ij-sg-开集.因此 ，f jint Aijsgint f ij sgintAf ijgsint A。因此fjint AijsgintfA.(ii)（iii）设x，X和U是包含x的sj-开集.然后通过(ii)，f jint UijsgintfU，这意味着f UijsgintfU。因此，存在一个ij-sg-开集V，使得fx 2 V和V f U。（iii））（iv）：xRj-claim f-10 -1然后x2U，其中U^Xnj-clausef-1\f25B-1\f25B-1\f6 。 则 由（ iii ） ， 存 在 一 个 ij-sg- 开 集 V 使 得f<$x<$2V<$f<$U <$。现在，V f Uf X n f-1BY n B这表明BYnV。因为YnV是ij-sg-闭的，所以ij-sgclYnV。此外，f-1ij-sgclB<$X nf-1<$V<$0 ， 因 此 x Rf-1<$ij-sgclnB<$0。21-在Y中半闭，因为21-scl（X）=Y。由于每个ij-gs-闭集都是ij-gs-闭的，我们可以陈述下面的定理。定理3.9. 每个ij-sg-闭函数都是ij-gs-闭的。示例3.10.一个ij-gs-closed函数不需要是ij-sg- closed。设X;Y;s1;s2和r1与例2.7相同，设r2/f/; fa; bg; Yg和f：X; s1;s2！rY;r1;r2是定义为f aa;fbc;fcd的映射。集合X<$fa;b;cg是s2-闭的，f<$X<$fb;c;dg是12-gs-闭的，但f（X）不是12-sg- 闭 的 ， 因 为 21-sc l<$f<$X<$<$f <$Yfa; c; dg 212-SO<$Y<$。J闭ji-半闭ij-g-闭ij-gs-closed ij-gs-closed4. 两两广义s-正则与两两广义s-正规空间定义4.1.双拓扑空间X;s1;s2称为成对广义s-正则空间，如果对于每个ij-gs-闭集F和点xRF，存在不相交的ij-半开集U和ji-半开集V使得x2U;F≠V且U\V≠V。引理4.2.因此f-1ij-sgclBj-clf-1B。H定理3.5. 一个函数f：X; s1; s2！R1;R2是ij-sg-成对正则）空间成对s-正则（空间成对gs-正则空间开，B F.证据 类似于定理2.14。H证据由此可以得出，每个si-闭集都是ji-gs-闭集，每个i-开集都是ij-半开集。我们可以举例说明引理4.2中的蕴涵可能是不可修改的。H备注3.6. 设f：<$X; s1; s2< $ ！r1;r2和g：定理4.3. 如果f：X;s sY;r r是一个两两连续的Y; r1; r2 如果f是j-连续的，则m ∈Z;m1;m2∈ Z是两个函数1;两块钱！ 1; 2满射且GOF是Ij-SG-闭的，则G是Ij-SG-闭的。证据 它类似于注2.10（iv）的证明。 H由于每个ji-半闭集都是ij-sg-闭的，我们可以陈述下面的定理。定理3.7. 每个ji-半闭函数都是ij-sg-闭的。两两的连续、ij-semi-open和ij-gs-closed满射正则空间X到空间Y，则Y是成对s-正则的。证据设U是包含Y中一点Y的ri-开集.设x是X的一个点，使得y=f（x）.由于X是成对正则空间，则存在一个si-开集V，使得x2Vj-clV f-1<$U，其中f-1<$U是si-开集，因为f 是 成对 连18F.H. Khedr，H.S. Al-Saadi续的 然后 y2fVfj-clVU双拓扑空间中的广义半闭函数与半广义闭函数19ð ð ÞÞ⊂2 nn- 你好-ð ÞÞÞ ⊂ 2 ð我...你好！ ðÞð Þ联系我们你好！ ðÞ联系我们你好！ ðÞ你好！ ðÞ联系我们⊂ ⊂ ð Þ⊂ ð Þ⊂我J并且f（j-cl（V））是ij-gs-闭的，因为f是ij-gs-闭的。因此，我们有ji sclf j clV U。此外，y f Vjisclf V U和f（V）在Y中是ij-半开的，因为f是ij-半开的。因此，根据定理1.5，Y是成对s-正则的。H推论4.4。设f：X;s1;s2Y;r1;r2是两两连续的ij-半开和ij-sg-闭满射.如果X是成对正则空间，则Y是成对s-正则的。证据从定理4.3和每个ij-sg-闭映射都是ij-gs-闭的这一事实中，证明是显而易见的。H定理4.5. 空间X是成对gs-正则的当且仅当对于每个ij-gs-开集U和每个x2U，存在一个ij-semi-开集V使得x2V和ji-sclU。证据设X是一个两两的gs-正则空间，U是一个ij-gs-开集，xU.则X U是ij-gs-闭的且XRX U。存在一个ij-半开集V和一个ji-半开集H，使得x2V;XnU≠H且V\H≠H。然后XnHU，VXnH.因为XnH是ji-半闭的，所以ji-scleroV是XnH。然后x2V和ji-sclVU。H反之，设F是ij-gs-闭集，xRF. 则XnF是ij-gs-开集且x2XnF.存在ij-半开集V使得x2V和ji-半开集V∈XnF. 由于ji-scl（V）是ji-semi-closed，则H^Xnji-scl（V）是ji-scl （V ） 是ji-semi-closed ， 则U^Xnji-scl （V ）是 ji-semi-open set使得A U，也是U V/。因此X是两两gs-正规空间.定义4.9. 一个函数f：X;s1;s2Y;r1;r2称为ij-广义半不定（简称ij-gs-不定），如果对于X的每个ij-gs-闭集V，f-1V是ij-gs-闭集.如果f是12-gs-不定和21-GS-不定，则f称为成对GS-不定。定理4.10. 设X是一个两两GS-正规空间， f：X; s1; s2Y;r1;r2是从X到空间Y的两两gs-不定的两两预半闭函数。则Y是成对GS-正规空间。证据设A是Y的ij-gs-闭集，B是Y的ji-gs-闭集。由于f是两两的gs-不定的，f-1<$A<$是ij-gs-闭的，f-1<$B<$是ji-gs-闭的。由于X是两两gs-正规的，则存在不相交的U2ji-SOX和V2ij-SOX，使得f-1<$A<$U和f-1<$B<$V.现在f是两两预半闭的，因此存在G2ji-SOY和H2ij-SOY，的 A组;B组 与 f-1GU 和 f-1HV， 通过引理1.4. 从U V/开始，然后是G H/。 因此，Y是成对gs-正态。H定理4.11. 设X是一个成对的gs-正则空间，f：你好 ！n;r;r;n是一个两两的gs-不定式，两两的预ji-半开集，使得F∈H，也是V\H<$/。因此X是两两gs-正则的定义4.6.称空间X是成对广义s-正规的，如果对每一对ij-gs-闭集A和ji-gs-闭集B，使得A\B/2，有从X到空间Y的半闭函数。则Y是成对的GS-常规。证据 类似于定理4.10。H定理4.12. 如果f：<$X; s; s< $ ！r;r;r是一个成对的条件，存在不相交的U2ji-SOX和V2ij-SOX，使得12 12AU;BV和U\V¼/。引理4.7.来自两两正规的连续两GS-闭满射空间X到空间Y，则Y是成对s-正规的。证据设A是一个ri-闭集，B是Y的一个ri-闭集使得A\B1/4/.因为f是成对连续的，所以f-1A是成对正常空间成对）s-正常（空间成对GS-正规空间s-闭集，f-1f-1/. 由于X是两两正规的，存在X的不相交sj-开集U和si-开集V使得f-1U和f-1V.根据定理2.8，存在证据由此可以得出，每一个si-闭集都是ji-gs-闭集并且每个i-开集都是ij-半开集。H我们可以举例说明Lem-ma 4.7中的蕴涵可能是不可修正的.定理4.8. 空间X是成对gs-正规的当且仅当对于每个ji-gs-闭集F和包含F的ij-gs-开集G，存在一个ij-semi-开集V使得F G。证据设F是ji-gs-闭集，G是ij-gs-开集，使得操然后XnG是ij-gs-关闭。那里存在U2ji-SOX和V2ij-SOX，使得XnGU和FV，使得U\V/V。则XnUG和UXnVij-gs-开集G和ji-gs-open设置H的Ysuch的G;BH; f-1G U和f-1HV. 那么我们有f-1G f-1H/，因此G H/。因此Y是成对s-正规的。H定理4.13. 如果f：X;s1;s2Y;r1;r2是从成对正则空间X到空间Y的成对连续的成对gs-闭满射，则Y是成对s-正则的。证据 类似于定理4.12。H推论4.14。 设f：<$X; s; s< $ ！ n; r; r是函数。或VXnU。由于XnU是ji-半闭的，ji-scleroVXnU和ji-scleroVG.H然后又道：12 12相反，设A是ij-gs-闭集，B是ji-g-闭集，X. 然后 XnA 是 ij-gs-open 载 B. 存在V2ij-SO2-X2，使得B≠V，ji-SO2-X2≠XnA.以来(i)若f是两两连续的两两半闭满射，且X是两两正规的，则Y是两两s-正规的。121220F.H. Khedr，H.S. Al-Saadi快！ðÞ(ii)设f是两两连续的两两sg-闭射，X是两两正规的（分别为.[001 pdf 1st-31 files]两两正则的，则Y是两S-正规的。成对s正则）。证据(i)（ii）定理4.11证明了所有的ji-semi-closed函数都是ij-gs-closed函数，所有的ij-sg-closed函数都是ij-gs-closed函数。H推论4.15。 设f：（X;s1;s2Y;r1;r2）是一个函数. 然后又道：(i)若f是两两连续的两两半闭满射，且X是两两正则的，则Y是两两s-正则的。(ii)若f是两两连续的两两sg-闭射，X是两两正则的，则Y是两两s-正则的.证据 类似于推论4.14。 H引用[1] S.P. Arya，T.M.张文，张文辉，张文辉，等[2] P. Bhattacharyya ， B.K. Lahiri ，拓扑学中的半广义闭集，Indian J。数学29（3）（1987）375[3] S. Bose，双拓扑空间中的半开集，半连续性和半开映射，Bull。加尔各答数学Soc. 73（1981）237[4] R. Devi，H.马基K. Balachandran，半广义闭映射和广义半闭映射，Mem. Fac. Sci.高知大学数学14（1993）41-54.[5] T. 李文，论双拓扑空间中的广义闭集，国立台湾大学学报，1998，第19[6] J.C. Kelly ， Bitopological spaces ， Proc. Lond. Math.Soc.3（13）（1963）71[7] F.H. Khedr，ca-Continuity in bitopological spaces，Arab. J.Sci. Eng.17（1）（1992）85[8] F.H. Khedr ， T. Noiri ， s-Closed bitopological spaces ， J.Egypt. Math.Soc.15（1）（2007）79[9] F.H. Khedr，H.S. Al-Saadi，关于成对半广义闭集，J. KingAbdul Aziz Univ. Sci. 20（4）（2008），September.[10] N. 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