主办方：埃及报关于我们巴斯奇安德应用程序SCiE nCES 3（2016）26完整文章Dα-闭集在拓扑空间的应用手术室Sayeda，*，上午Khalilb，*a埃及艾斯尤特大学理学院数学系，艾斯尤特，71516b埃及艾斯尤特爱资哈尔大学理学院数学系，邮编71524。A R T I CL EI N F OA B S T R A C T文章历史记录：2015年1月23日收到，2015年7月27日收到修订版2015年7月27日接受2015年8月18日在线发布保留字：α闭Dα-闭Dα-连续Dα-闭图强Dα-闭图本文在拓扑空间中引入并研究了一类新的集合--Dα-开集。所有Dα-开集的类严格介于所有α-开集和g-开集的类之间。作为应用，我们引入并研究了拓扑空间之间的Dα-连续函数、Dα-开函数和Dα-闭函数.最后，研究了Dα-闭图和强Dα© 2015曼苏拉大学。由Elsevier B. V.制作和托管。这是一个CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。2010年数学学科分类：54A0554C0854C1054D101.引言和附录广义开集在一般拓扑学中起着非常重要的作用，是目前国内外许多拓扑学的研究课题。的确是一个重要的主题一般拓扑与实分析是利用广义开集研究连续性、分离性公理等的各种修改形式。其中最著名的概念之一是Njastad在1965年引入的α-开集[1]和Levine在1970年引入的拓扑空间的广义闭子集[2]* 通讯作者。联系电话： +2088 2242873。电子邮件地址：o_sayed@aun.edu.eg（O.R. Sayed）; a. azhar.edu.eg（A.M. Khalil）。http://dx.doi.org/10.1016/j.ejbas.2015.07.0052314- 808 X/© 2015曼苏拉大学。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在www.sciencedirect.com在线获取ScienceDirect杂志主页：http://ees.elsevier.com/ejbas/default.asp埃及基础科学与应用科学杂志3（2016）26从那时起，许多数学家把注意力转向了一般拓扑学中各种概念的推广，考虑了α-开集[31982年Dunham[14]利用广义闭集定义了空间上的一个新的闭包算子，从而定义了一个新的拓扑τ*，并研究了这个新拓扑的一些性质。在本文中，（X，v），（Y，v）和（Z，v）表示拓扑空间（简称X，Y和Z），除非明确说明，否则在空间上不假设分离性公理。对于空间（X，τ）的子集A，Cl（A）和Int（A）分别表示A的闭包和内部。由于我们需要以下已知的定义，符号和一些属性，我们在本节中回顾。定义1.1.设（X，τ）是拓扑空间，A<$X. 然后(i) A是α-开[1]，如果 A-闭Int（Cl（Int（A））和α-闭[1]，如果Cl（Int（Cl（A）(ii) A是广义闭的（简称g-闭）[2]，如果Cl（A）<$U当A∈U且U在X中开时。(iii) A是广义开的（简称g-开）[2]，如果X\A是g-闭的。X[3]的子集A的α-闭包是设A为α-闭集，记为Clα（A）. X[3]的子集A的α -内部是包含在A中的所有α-开集的并，记为Intα（A）。包含A [14]的所有g-闭集的交称为A的g-闭包，记为Cl *（A），A [15]的g-内部是包含在A 中的所有g-开集的并，记为Int *（A）。我们需要以下符号：• αO（X）（resp.αC（X））表示所有α-开集的族（分别为α-闭集）。• GO（X）（相应GC（X））表示所有广义开集的族（相应地，广义闭集）在（X，τ）中。定义1.4.一个拓扑空间（X，τ）被称为：(i) α-T1[9] （resp.g-T1[22]），如果对X中的任意不同点对x和y，存在α-开（分别为. g-open）设置UX包含x但不包含y和α-开（分别为g-open）在X中设置V，其中包含y但不包含x。(ii) α-T2 [8]（resp. g-T2[22]），如果对X中的任意不同点对x和y，存在α-开（分别为. g-open）分别在包含x和y的X中设置U和V，使得U<$V=<$。引理1.5. 设A=X，则(i) X\Cl *（A）ΔInt *（X\A）。(ii) X\Int *（A）Cl *（X\A）。引理1.6.一个函数f：（X，<$）<$（Y，<$）有一个闭图[19]，如果对于每个（x，y）（X <$Y）\G（f），存在U ∈ O（X，x）和V ∈ O（Y，y）使得f（U）<$V =<$。引理1.7. 图G（f）是强闭图[23]当且仅当如果对每个点（x，y）。2.Dα-闭集在这一节中，我们引入了Dα-闭集，并研究了它们的一些基本性质。定义2.1.空间X的子集A称为Dα-闭的，如果Cl *（Int（Cl *（A）Δ。X中所有Dα-闭集的集合记为DαC（X）。• n（X，x）n {x，y}|时间复杂度O（X，）= O（X，x）|xU}C（X，x）{U |x <$U <$<$C（X，）}。和引理2.2.如果存在一个g-闭集F，使得Cl *（Int（F））<$A <$F，则A是Dα-闭的.定义1.2.函数f：X→Y被称为：(i) α-连续[16]（resp. g-连续[17]），如果Y中每个开集的逆像是α-开的（分别是g-open）in X.(ii) α-open[16] （ resp. [16] 如 果 每 一 个 开 放 的 图 像 （ 分 别为），闭）集是α-开（或α-闭）。(iii) g-open[18]（resp. [18]如果每个开放的图像在X中的集合是g-open（或g-closed）。定义1.3.设f：X→Y是一个函数：(i) 子集{（x，f（x））|x <$X}称为f 的图[19]，通常用G（f）表示。(ii) 一个闭图[19]，如果它的图G（f）是乘积空间X×Y中的闭集.(iii) 一个强闭图[20]，如果对于每个点（x，y）。(iv) 一个强α-闭图[21]如果对每个（x，y）O（X，x）和V ∈ O（Y，y）使得（U证据因为F是g-闭的，所以Cl *（F）=F。因此，Cl*（Int（Cl *（A）Cl *（Int（Cl *（F）<Cl *（Int（F））<A. 因此A是Dα-闭的。注2.3.上面引理的逆命题不成立，如下面的例子所示。实施例2.4.设（X，τ）是一个拓扑空间，其中X = {a，b，c}，τ∈ {，{a}，{a，b}，X}.则F X<${，{c}，{b，c}，X}，GC（X）<{，{c}，{a，c}，{b，c}，X}，GO（X）${，{a}，{b}，{a，b}，X}，D <$C（X），{b}，{c}，{a，c}，{b，c}，X}，D <$O（X）${，{a}，{b}，{a，b}，{a，c}，X}. 有{c}DC（X）和{a，c}GC（X）但Cl*（Int{a，c}）{a，c}{c}{a，c}。定理2.5.设（X，τ）是一个拓扑空间.然后(i) （X，τ）的每个α-闭子集都是Dα-闭的.(ii) （X，τ）的每个g-闭子集都是Dα-闭的。证据(i)因为闭集是g-闭的，所以Cl *（A）<$Cl（A）[14]。现在，假设A在X中是α-闭的，则Cl（Int（Cl（A）））<$A。 因此，Cl *（Int（Cl *（A）Cl（Int（Cl（A）<A. 因此A在X中是Dα-闭的。 28埃及基础科学与应用科学杂志3（2016）26（2）设A是g-闭的。 则Cl *（A）=A[14]。 因此，Int（Cl *（A ））≠Cl *（A ）。则Cl *（Int（Cl *（A ）<$Cl *（Cl *（A））<$Cl *（A）<$A [14]。因此A是Dα-闭的。备注2.6.上述定理的逆命题不成立，定理2.14.设A和B是X的子集。那么下面的结果成立。(i) A <$Cl D（A）<$Cl（A），Cl D（A）<$Cl *（A）。(ii) Cl D（）=Cl D（X）.如下面的例子所示。(i) Dα-闭集不一定是α-闭的。(see（见下文例2.7）(ii) Dα-闭集不一定是g-闭集。(see（见下文例2.7）示例2.7. 设（X，τ）是拓扑空间，其中X {a，b，c}(iii) 如果A <$B，则Cl D（A）Cl D（B）。(iv) Cl D（Cl D（A））Cl D（A）。(v) Cl D（A）Cl D（B）Cl D（A B）。(vi) Cl D（A B）Cl D（A）Cl D（B）。证据 （i）分别由定理2.5（i）和（ii）得出。(ii)（三）显而易见。(iv) 若A<$F，F∈DαC（X），则由（iii）和定理2.13，Cl D（A）<$Cl D（F）<$F. 再次Cl D（Cl D（A））<$Cl D（F）<$F. 因此且{a，b}，X}。则F XC（X） b}，X}，GC（X）<${，{c}，{a，c}，{b，c}，X}， GO（X）<${，{a}，{b}，{a，b}，X}，D <$C（X）${，{a}，{b}，{c}，{a，c}，{b，c}，X}，D <$O（X），{a}，{b}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，X}。 因此{a} DC（X），但{a}C（X）和{a} GC（X）。从上面的讨论中，我们得到了以下图表Cl D（Cl D（A））{F：A F，F D<$C（X）}Cl D（A）.(v) 及（vi）由（iii）得出。备注2.15.从例2.7可以看出，上述定理的陈述（v）中的等式不一定为真，其中A = {a}，B = {b}，且A <$B <${a，b}。然后可以有，Cl D（A）{a}; Cl D（B）{b}; Cl D（A B）X; ClD（A）Cl D（B）{a，b}。其中蕴涵的逆不必为真。 n- 闭集定理2.8.Dα-闭集的任意交是Dα-闭。证据设{Fi：i ∈ Λ}是X中Dα-闭集的集合. 则对于每个i，Cl *（Int（Cl *（F i）<$F i。由于对于每个i，<$F i<$F i，因此对于每个i，Cl *（<$Fi）Cl *（F i）。 因此，Cl *（Cl *（F i），i。此外，上述定理的陈述（iv）中的等式不一定为真，如下面的例子所示。示例2.16.设（X，τ）是一个拓扑空间，其中X={a，b，c}和 { 然后 FX<$GC（X）<$D <$C（X）{，{a}，{a，b}，{a，c}，X}，GO（X）<${，{b}，{c}，{b，c}，X}.让 A={a}，B= {b}，且AB =。 那你就可以拥有它 ClD（A）{a};Cl D（B）<${a，b};Cl D（A <$B）<${a}; Cl D（A）<$Cl D（B）<${a}.因此，Cl*（Int（Cl*（Fi）Cl*（Int（$Cl*（Fi）Cl*（<$Int（Cl*（Fi）<$Cl *（Int（Cl *（F i）因此，Fi是Dα-闭的。3.Dα-开集备注2.9. 两个Dα-闭集的并不一定是Dα-闭的，如例2.7所示，其中两个{a} 和 {b} 是 Dα-闭 集 但{a}{b}{a，b} 不Dα-闭。推论2.10。如果子集A是Dα-闭的，B是α-闭的，则A∈B是Dα-闭的。证据由定理2.5（i）和定理2.8得出。推论2.11。如果子集A是Dα-闭的，F是g-闭的，则Aα-F是Dα-闭的。证据由定理2.5（ii）和定理2.8得出。定义2.12.设A是空间X的子集。 A的Dα-闭包，记为ClD（A），是X中所有包含A的Dα-闭集的交.这就是Cl D（A）<$$>{F：A<$F and F <$D<$C（X）}。定理2.13.设A是X的一个子集。则A是X中的Dα-闭集当且仅当Cl D（A）<$A.证据 设A是X中的Dα-闭集. 根据定义2.12，Cl D（A）相反，假设Cl D（A）<$A。定理2.8 A在这一节中，我们引入了Dα-开集并研究了它们的一些基本性质。定义3.1. 空间X的子集A称为Dα-开的，如果X\A是Dα-闭的。设DαO（X）表示X中所有Dα-开集的集合.引理3.2. 设A=X，则(i) X\Cl *（X\A）线性整数 *（A）。(ii) X\Int *（X\A）Cl *（A）。证据明显定理3.3. 空间X的子集A是Dα-开的当且仅当A ≠Int *（Cl（Int *（A）。证 据 设 A 是 Dα- 开 集 . 则 X\A 是 Dα- 闭 的 且 Cl* （ Int （ Cl *（X\A）））X\A。 通过引理3.2 Int *（Cl（Int *（A）。相反，假设AInt *（Cl（Int *（A）。则X\Int *（Cl（Int *（A）<$X\A。因此（Int *（Cl（Int *（X\A）<$X\A。这表明X\A是Dα-闭的。故A是Dα-开的。引理3.4. 若存在g-开集V使得V <$A <$Int * Dα-闭（Cl（V）），则A是Dα-开的. 埃及基础科学与应用科学杂志3（2016）26证据 因为V是g-开的，所以X\V是g-闭的，并且X\Int *（Cl（V））你好 因此 从 引理 3.2Cl*（Int（X\V））你好由引理2.2我们有X\A是Dα-闭的。因此A是Dα-开的。定理3.15.设A和B是X的子集。那么下面的结果成立。(i)（A）Int D（A）A，Int *（A）Int D（A）. (ii) Int D（中文） 和 Int D（X） 备注3.5.从例2.4可以看出，引理3.4的逆命题不需要为真，其中{a，b}<$D <$O（X），{b}}O（X）但{b}{a，b}{b}.定理3.6.设（X，τ）是一个拓扑空间.然后(i) （X，τ）的每个α-开子集都是Dα-开的.(ii) （X，τ）的每个g-开子集都是Dα-开的。证据 根据定理2.5，证明是显而易见的。(iii) 如果A=B，则 Int D（A）和Int D（B）。(iv) Int D（Int D（A））Int D（A）。(v) Int D（A）Int D（B）Int D（AB）.(vi) Int D（A）=Int D（A）Int D（B）。证据明显备注3.16.定理（v）中的等式3.15不一定为真，如从例2.7中所见，其中A= {b，c}，B= {a，c}，且A<$B=X。然后可以有，Int D（A）<${b，c};Int D（B）<${c};Int D（A）<$Int D（B）<${b，c}; Int D（A <$B）<$X。此外─ 备注3.7.上述定理的逆命题不成立，因为由例2.7可知，其中{b，c}<$D<$O（X）但{b，c}<$O（X）且{b，c}{x，y}从上面的讨论中，我们得到了下面的图表，其中蕴涵的逆不一定为真。-开集n-开集定理3.8. Dα-开集的任意并都是Dα-开的.证据由定理2.8导出。备注3.9.两个Dα-开集的交集不一定是Dα-开集，如例2.7所示，其中{b，c}此外，上述定理的陈述（iv）中的等式不一定为真，如例2.7所示，其中A = {b，c}，B = {a，c}，且A ∩ B= {c}。 然后 一 可以 有 这就是，Int D（A）<${b，c};Int D（B）<${a，c};Int D（A<$B）<$$>;Int D（A）<$Int D（B）<${c}。定理3.17.设x∈X.则x对于每个包含x的Dα-开集U.证据设x ∈ ClD（A），存在包含x的Dα-开集U，使得U ∈ A = X.则A ∈X\U且X\U是Dα-闭的。 因此 Cl D（A）<$Cl D（X\U）<$X\U。 这这是一个矛盾。 相反，假设 对于每个包含x且x.则存在包含A的Dα-闭子集F使得和 {a， c} 是 Dα-开 集 但{b，c}{a，c}{c}Dα-开放。不x 100 F。 因此x∈X\F且X\F是Dα-开的。因此，（X\F） 这与我们的假设相矛盾。推论3.10。如果子集A是Dα-开的，B是α-开的，则AαB是Dα-开的。证据由定理3.6（i）和定理3.8得出。推论3.11。如果子集A是Dα-开的，U是g-开的，则A是Dα-开的。证据由定理3.6（ii）和定理3.8得出。定义3.12.设A是空间X的子集。A的Dα-内部记为IntD（A），是X中所有包含在A中的Dα-开集的并. 这就是Int D（A）{U：A，引理3.18。设A是（X，τ）的任意子集然后(i) A ∈Int*（Cl（Int*（A）是Dα-开的;(ii) A∈Cl *（Int（Cl *（A）是Dα-闭的.证据(i) Int *（Cl（Int *（A）这意味着AInt *（Cl（Int *（A）Int *（Cl（Int *（A）Int *（Cl（Int *（A）Int *（Cl（Int *（A））。 因此，A（Cl（Int *（A））是Dα-开的。(ii) 从（一）我们有X\（A Cl *（Int（Cl *（A）<（X\A）UO（X）}。Int*（Cl（Int*（X\A）是 Dα-开 的 进一步暗示引理3.13. 如果A是X的子集，则(i) X\Cl D（A）-Int D（X\A）。(ii) X\Int D（A）{\displaystyle\Int D（A）}。证据明显A∈Cl*（Int（Cl *（A）是Dα-闭的.定理3.19. 如果A是拓扑空间X的子集，(i) Int D（A）Int *（Cl（Int *（A）。(ii) Cl D（A）Cl *（Int（Cl *（A）。定理3.14.设A是X的一个子集。则A是Dα-开的当且仅当Int D（A）<$A。证据由定理2.13和引理3.13推出。证据(i) 设B ∈Int D（A）。显然，B是Dα-开的，B是A。因为B是Dα-开的，所以B <$Int *（Cl（Int *（B）<$Int *（Cl（Int*（A）。这证明了B <$A <$Int *（Cl（Int *（A）。根据引理3.18， 30埃及基础与应用科学杂志3（2016）26A ∈Int*（Cl（Int *（A）是Dα-开的。根据Int D（A）的定义，A <$Int *（Cl（Int *（A）<$B。 那么它如下B<$A <$Int *（Cl（Int *（A）。因此， Int D（A）AInt *（Cl(iv)f（Cl D（A））<$Cl（f（A）），对于X的每个子集A。(v) Cl D（f$1（B））<$f（Cl（B））对于Y的每个子集B。(vi)f$1（Int（B））<$Int D（f$1（B））对于Y的每个子集B。（Int * ㈧））。(ii) 根据引理3.13，我们有 ClD（A）=X\IntD（X\A），X\（（X\A）X（X\A）A证据 (i)（二）自含钒钇f（x）是开放，则f$1（V）<$D <$O（X）。设W <$f<$1（V）包含x，因此f（W）<$V。（ii）<$（i）设V <$Y是开的，且x f （V），则f（x）∈ V，从而存在W x <$D <$O（X）使得x ∈ W x且f（W x）<$V.则x <$W x<$f（V），因此 f1（V）Wx但x1（V）x1（V）4.Dα-连续函数D-10（X）定理3.8因此 f1（V）DO（X），而─在这一节中，我们引入了Dα-连续函数，并研究了它们的一些基本性质。定义4.1.一个函数f：X→Y称为Dα-连续的，如果Y中每个开集的逆像在X中是Dα-开的。定理4.2.(i) 每个α-连续函数都是Dα-连续的。(ii) 每个g-连续函数都是Dα-连续的。证据从定理3.6中可以明显看出。注4.3.(i)Dα-连续函数不一定是α-连续的。因此f是Dα-连续的。（i）（iii） 让FY被 关门了 然后 是\否是 开放 和f1（Y\F）O（X），即 X 1（F）O（X）. 则f∈1（F）是X的Dα-闭的.(iii) （iv）设A∈X，F是Y中包含f（A）的闭集则利用（iii），f∈1（F）是包含A的Dα-闭集.由此得出Cl D（A）<$Cl D（f$1（F））<$ （F），因此f（Cl D（A））<$F。因此f（Cl D（A））Cl（f（A））。(iv) （v）Let B. B.Y和 A//2001（B）. 根据假设，f（Cl D（A））<$Cl（f（A））<$Cl（B）. 这 意味 的Cl D（A）（Cl（B））。 因此Cl D（f $1（B））f $1（Cl（B））。(v) （vi）设B为Y。通过假设，Cl D（f$1（Y\B））<$f（Cl（ Y\B ） ） 。 这 意 味 着 Cl D （ X\f$1 （ B ） ） <$f < （ Y\Int（B）），因此X\Int D（f$1（B））<$X\f$1（Int（B））。通过在两边取补，我们得到f1（Int（B））Int D（f 1（B））。(vi) 设U是Y中的任意开集。则Int（U）=U。借─假设，f1（Int（U））<$IntD（f1（U）），因此f1（U）<$IntD（f1 (see（见下例4.4（i））(ii)Dα-连续函数不一定是g-连续的。(see（见下例4.4（ii））示例4.4. (i)设X= {a，b，c}与拓扑（U））。 然后f1（U）Int D（f1（U））. 根据定理3.14，f∈1（U）在X中是Dα-开的. 因此f是Dα-连续的。定理4.6.设f：X→Y是Dα连续的，g：Y→Z是D α连续的保持连续性。则gof：X→Z是Dα-连续的。{ 并且Y= {x，y，z}与拓扑{x，y}，{z}，Y}.设f：X→Y是由f（a）=f（b）=x，f（c）=z定义的函数。One can have that FX {, {b, c}, X}, GC(X) {,{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}, GO(X){,{a},{b},{c},{a,b}，{a，c}，X}，<$O（X）<${，{a}，{a，b}，{a，c}，X}，DαC（X）=DαO（X）=P（X）。 由于{z}在Y中是开的，f $1（{z}）{c}D <$O（X），但{c}<$O（X）。因此f是Dα-连续的，但不是α-连续的。（ii）设（X，τ）和（Y，σ）是（i）中的拓扑空间，f：X→Y是由f（a）=x，f（b）=f（c）=z定义的函数.由于{z}在Y中是开的，f $1（{z}）{b，c}D <$O（X），但{b，c}<$GO（X）。因此f是Dα-连续的，但不是g-连续的.从上面的讨论中，我们得到了下面的图表，其中蕴涵的逆不一定为真。-连续性n-连续性n-连续性定理4.5. 设f：X→Y是一个函数。则以下是等价的：(i) f是Dα-连续的。(ii) 对每个x∈X和每个包含f（x）的开集V<$Y，存在包含x的Dα-开集W<$X使得f（W）<$V.(iii) Y中每个闭集的逆像都是Dα-闭的在X.证据明显备注4.7.两个Dα-连续函数的复合不一定是Dα-连续的，如下面的例子所示示例4.8. 设X{a，b，c}与拓扑关联{，{b}，{a，b}，X}，Y{x，y，z} 关联 与 拓扑{ 和 与拓扑的Z{p，q，r}由f（a）= y，f（b）= x，f（c）= z，得到f：（X，X）<$（Y，Z）.定义g：（Y，Z）<$（Z，Z）通过g（x）<$g（y）<$p，g（z）= r。可以有F X<${，{c}，{a，c}，X}，GC（X）<${，{c}，{a，c}，{b，c}，X}，GO（X）{，{a}，{b}，{a，b}，X}，D <$C（X），{a}，{c}，{a，c}，{b，c}，X}，D <$O（X）{，{a}，{b}，{a，b}，{b，c}，X}，和FYx{，{y，z}，Y}，GC（Y）x，{y}，{z}, {x, y}, {x, z}, {y, z},Y} ,GO(Y) {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x,z}, Y},D C（Y）O（Y）P（X）。显然，f和g是Dα-连续的。{r}在Z中打开。但（gof）$1（{r}）<$f$1（g$1（{r}））f<$1（{z}）<{c}在X中不是Dα-开的. 因此，gof不是Dα-连续的。5.Dα-开函数与Dα-闭函数在这一节中，我们引入了Dα-开函数和Dα-闭函数，并研究了它们的一些基本性质。埃及基础与应用科学杂志3（2016）26定义5.1.一个函数f：X→Y称为Dα-开（或Dα -open）。推论5.8。 若f：X → Y是Dα-开的，则f （Cl D（B））Cl（f$1（B））Dα-闭），如果每个开（分别为在X中的集合是Dα-开放（分别为Dα-闭）。定理5.2.(i) 每个α-开函数都是Dα-开的。(ii) 每个g-开函数都是Dα-开的。证据从定理3.6中可以明显看出。备注5.3.(i) Dα-开函数不一定是α-开的。(see（见下文例5.4）(ii) Dα-开函数集不一定是g-开的。(see（见下文例5.5）示例5.4. (i)设X= {x，y，z}与拓扑与拓扑关联的 {，b，c}和Y = {x，{x}，{设f：（X，Z）<$（Y，Z）是由f（x）= a，f（y）= b和f（z）= c定义的函数.一个人可以拥有它 FYO（Y）{，{a，b}，{c}，Y}，GC（Y）= GO（Y）= DαC（Y）= DαO（Y）= P（X）. 以来{x}在X中是开的，f（{x}）<${a}<$D <$O（Y），但{a}<$O（Y）。因此f是Dα-开函数，但不是α-开函数.示例5.5.（ii）设X={x，y，z}与拓扑相关联与拓扑图{， ， 相关联的图，{ y}，{x，y}，X}和Y ={a，b，c}。设f：（X，Z）<$（Y，Z）是由f（x）=b，f（y）= c和f（z）=a定义的函数. One can have that FY {, {b, c}, Y}, GC(Y) {, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, Y} , GO(Y) {, {a}, {b}, {c}, {a,b}，{a，c}，Y}，D <$C（Y）<$D <$O（Y）<$P（X）.因为{x，y}在X中是开的，f（{x，y}）{b，c}D <$O（Y），但{b，c}<$GO（Y）. 因此f是Dα-开函数而不是g-开函数。从上面的讨论中，我们得到了下面的图表，其中蕴涵的逆不一定为真。开函数定理5.6.设f：X→Y是一个函数。以下状态是等效的。(i) f是Dα-开的。(ii) 对于每个x∈X和x的每个邻域U，存在Dα- 包含f（x）的开集W<$Y使得W<$f（U）.证据（i）<$（ii）设x∈X，U是x的邻域，则存在开集V<$X使得x∈V <$U.设W=f（V）。 由于f是Dα-开的，f（V）<$W <$D<$O（Y），所以f（x）<$W<$f（U）。(ii)（i）显而易见。定理5.7.设f：X→Y是Dα-开的（分别为Dα-闭）函数和W.如果A是一个封闭的（相应地，开）集，则存在Dα-闭（分别为Dα-开）集H <$Y包含W使得f（H）A。证据让H ∈Y\f（X\A）.以来f1（W）A，我们有f（X\A）≠Y\W. 由于f是Dα-开的（分别为 Dα-闭），则H是Dα-闭（ 分 别 为 Dα- 开 ） 集 和 f （ H ） <$X\f$1 （ f （ X\A ） ） <$X\（X\A）<$A.对于每个集合B，证据 因为对于集合B <$Y，Cl（f（B））在包含f$1（B）的X中是闭的。根据定理5.7，存在Dα-闭集H <$Y，B <$H使得f$1（H）<$Cl（f$1（B））.因此，f$1（Cl D（B））<$f$1（Cl D（H））<$f <（H）Cl（f $1（B））。定理5.9.函数f：X→Y是Dα-开的当且仅当f（Int（A））≠Int D（f（A））对于X的每个子集A。证据设f：X→Y是Dα-开函数，A<$X.则Int（A）是X中的开集，f（Int（A））是包含在 f（A）. 因此f（Int（A））≠Int D（f（A））。 相反地， 让 对X中的每个子集A都有f（Int（A））<$Int D（f（A）），且U是X中的开集。 则Int（U）= U，f（U）Int D（f（U））。 因此f（U）≠Int D（f（U））。定理3.14证明f（U）是Dα-开的。定理5.10.对于任何双射函数f：（X，<$）<$（Y，），下列陈述是等价的。(i) f∈1是Dα-连续函数。(ii) f是Dα-开函数。(iii) f是Dα-闭函数。证据(i)（ii）设U是X中的开集.则X\U在X中闭合。由于f$1是Dα-连续的，所以（f）（X\U）是Dα-闭的 ，Y.即f（X\U）<$Y\f（U）在Y中是Dα-闭的。这意味着f（U）在Y中是Dα-开的。因此f是Dα-开函数。(ii) （iii）设F是X中的闭集.则X\F在X中是开的。以来F是Dα-开，f（X\F）是Dα-开在Y. 的是f（X\F）<$Y\f（F）在Y中是Dα-开的。这意味着f（F）在Y中是Dα-闭的。因此f是Dα-闭函数。(iii) （i）设F是X中的闭集.由于f是Dα-闭函数，所以f（F）在Y中是Dα-闭的.即（f$1）$1（F）在Y中是Dα-闭的。因此f∈1是Dα-连续函数。备注5.11.两个Dα-开函数的复合不一定是Dα-开的，如下面的例子所示实施例5.12. 设X= {x，y，z}与拓扑相关联与拓扑相关联的{x，y}，{z}，X}，Y = { p，q，r }与拓扑关联的{，{p}，Y}和Z = { a，b，c }，{，{b}，{a，b}，Z}.定义 f：（X，n）<$（Y，n）byf（x）=p，f（y）=q，f（z）= r和g：（Y，n）<$（Z，n），其中g（p）=b，g（q）=a，g（r）= c.一个人可以拥有它; F Y<${，{q，r}，Y}， GC（Y）<${，{q}，{r}，{p，q}，{p，r}，{q，r}，Y}，GO（Y）${，{p}，{q}，{r}，{p，q}，{p，r}，Y}，D <$C（Y）D <$O（Y）（X）和FZ<${，{c}，{a，c}，Z}，GC（Z）<$，{c}，{a，c}，{b，c}，Z}，GO（Z）<${，{a}，{b}，{a，b}，Z}，D <$C（Z）<$，{a}，{c}，{a，c}，{b，c}，Z}，D <$O（Z）${，{a}，{b}，{a，b}，{b，c}，Z}. 显然，f和g是Dα-开的功能{z}在X中打开。但gof（{z}）<$g（f（{z}））<$g（{r}）<${c}在Z中不是Dα-开的.因此gf不是Dα-开函数。6.Dα-闭图与强Dα-闭图在这一节中，我们引入了Dα-闭图和强闭图。Dα-闭，并研究了它们的一些基本性质。32埃及基础与应用科学杂志3（2016）26定义6.1. 函数f：X → Y有Dα-闭图，如果对每个（x，y）.备注6.2.显然每个闭图都是Dα-闭的。 从下面的例子中可以看出，相反的情况是不正确的。实施例6.3. 设X= {a，b，c}与拓扑备注6.7.从例2.7可以看出，上述定理的逆命题不成立。定理6.8.设f：X → Y是G（f）Dα-闭的满射.则Y是g-T1.证据设y1，y2（y1<$y2）<$Y. f的主观性给出了元素xo∈ X的存在性，使得的f（x0）= y2.现在（xo，y1）（X <$Y）\G（f）。G（f）的Dα-封闭性提供了{并且Y= {x，y，z}与拓扑U1D <$O（X，x o），V1<$GO（Y，y1）使得f（U1）Cl *（V1）$. {, {x}, {x, y}, Y}.让 f：（X，n）n（Y，n）是一个函数，由f（a）=f（c）=x，f（b）=y。 一个人可以拥有它 FX<${，{c}，X}，GC（X）<${，{c}，{a，c}，{b，c}，X}， GO（X）<${，{a}，{b}，{a，b}，X}，D <$O现在x o<$U1<$f（x o）<$y2<$f（U1）。 这一点以及f（U1）<$Cl *（V1）<$$>的事实保证了y2<$V1。再次从f的主观性给出一个x1 ∈ X使得f（x1）= y1. 现在（X），{a}，{b}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，X}且FY∈{，{z}，{y，z}，Y}，（x1，y2）（X <$Y）\G（f） 和 的 Dα-闭性 的 G（f）规定GC（Y）${，{z}，{x，z}，{y，z}，Y}，GO（Y）${x，{x}，{y}，{x，y}，Y}. 由于U2D <$O（X，x1），V2<$GO（Y，y2）使得f（U2）Cl *（V2）$.{a，c}D} O（X，c）和{y}RIGO（Y，y）但{a，c}O（X）和现在x1<$U2<$f（x1）<$y1<$f（U2）使得y1 第二章.因此，我们得到{y} O（Y）.因此G（f）是Dα-闭的但不是闭的。定理6.4. 让f：（X，n）n（Y，n）是一个函数，(i) f是Dα-闭图;(ii) 对于每个（x，y）（X <$Y）\G（f），存在U <$D <$O（X，x）和V GO（Y，y），使得 f（U）Cl *（V）.(iii)对于每个（x，y）（X <$Y）\G（f），存在U <$D <$O（X，x）和 V <$D<$O（Y，y）使得（U <$Cl D（V））<$G（f）.(iv)对于每个（x，y）（X <$Y）\G（f），存在U <$D <$O（X，x）和VD O（Y，y），使得 f（U）Cl D（V）. 然后(1)（i）优惠（ii）集合V1，V2 <$GO（Y）使得y1∈V1但y2<$V1，而y2∈V2但y 1V 2.因此Y是g-T1。推论6.9。设f：X → Y是G（f）Dα-闭的满射.则Y为Dα-T1。证据由定理6.6（i）和6.8得出。定理6.10.设f：X → Y是G（f）Dα-闭的任意内射。则X为Dα-T1。证据 让x1，x2（x1<$x2）<$X. 的 注入性 的 f意味着(2)（i）（iii）f（x1）≠f（x2）哪里 一 获得 的（x1，f（x2））（X <$Y）\(3)（ii）（iv）(4)（i）（iv）G（f）. D α-闭性的G（f）提供U1<$D <$O（X，x1），V1<$GO（Y，f（x2））等的f（U1）<$Cl *（V1）<$Cl.因此，f（x2）<$f（U1），更不用说x2<$U1。又是（x2，f（x1））（X <$Y）\证据 (i)（ii）设f是Dα-闭图。 然后对于每个G（f）而G（f）的Dα-闭性如前所述给出U2D <$O（X，（x，y）.这意味着对于每个f（x）<$f（U）和y ∈ Cl *（V）。由于y。（ii）（i）让（x，y）（X <$Y）\G（f）.然后那里存在U.这意味着f（x）∈y，对于每个x∈U和y∈Cl *（V）。因此，（U Cl *（V））G（f）<$G（f）。(i)
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