没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
直觉模糊拟度量空间的直观模糊准度量版本的Banach压缩原理
理论计算机科学电子笔记225(2009)269-279www.elsevier.com/locate/entcsIfqm-空间上的压缩映射及其在快速排序递归方程S. Romaguera1、2和P.提拉多1,3外星人Caminos,Dep artamentodeMatema′ticaAplicada,IUMP A-UPVUniversidadPolit′ecnicadeVale ncia46071瓦伦西亚,西班牙摘要最近,C. Alaca,D. Turkoglu和C. Yildiz [Chaos,Solitons and Fractals,2006]利用直觉模糊度量空间的概念,分别证明了著名的Banach不动点定理和Edelstein不动点定理的直觉模糊版本空间由于我。Kramosil和J.Michalek [Kybernetika,1975].本文将Alaca,Turkoglu和Yildiz关于直觉模糊度量空间的概念推广到拟度量空间,并给出了一个直观的模糊准度量版本的Banach压缩原理。我们将此方法应用在直觉模糊拟度量空间(简称ifqm-空间)的框架下,推导了与快速排序算法分析相关的递推方程解的存在性关键词:模糊拟度量空间,直觉模糊拟度量空间,不动点。1引言在[17] J.H. Park引入并研究了直觉模糊度量空间的概念,它推广了A.乔治和P.Veeramani [8]。这些空间最初是在作为高能物理E无限性基础的双缝实验的背景下从量子点的角度出发的,最近由M.S. El Naschie在[2],[3],[4],[5],[6]等中的观点。另一方面,几乎同时,C.Alaca,D.Turkoglu和C.Yildiz[1] 利用直觉模糊的概念证明了著名的Banach不动点定理和Edelstein不动点定理1作者感谢西班牙教育和科学部以及FEDER在资助MTM 2006 -14925-C 02 -01下的支持2电子邮件:sromague@mat.upv.es3电子邮件:pedtipe@doctor.upv.es1571-0661/© 2008 Elsevier B. V.根据CC BY-NC-ND许可证开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2008.12.080270S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269××→模糊度量空间是在I. Kramosil和J. Michalek [13].本文将Alaca,Turkoglu和Yildiz关于直觉模糊度量空间的概念推广到拟度量情形,并给出了一个直觉模糊拟度量形式的Banach压缩原理,应用该原理推导了与快速排序复杂性分析我们关于拟度量空间的基本参考文献是[7]。按照现代术语,对于非空集X上的拟度量,我们指的是X×X上的非负实值函数d,使得对所有x,y,z∈X:(i) x=y当且仅当d(x,y)=d(y,x)=0;(ii) d(x,z)≤ d(x,y)+d(y,z).一个拟度量空间是一个对(X,d),使得X是一个非空集,而d是X上的一个拟度量。X上的每个拟度量d生成X上的一个T0拓扑τ d,它以开球族{Bd(x,r):x∈X,r > 0}为基,其中Bd(x,r)={y∈X:d(x,y)0.拓扑空间(X,τ)称为可拟度量化的,如果存在拟度量d在X上,使得τ= τ d。给定X上的一个拟度量d,则在X X上定义为d−1(x,y)=d(y,x)的函数d−1也是X上的一个拟度量,称为d的共轭,而在X×X上定义为ds(x,y)=max{d(x,y),d−1(x,y)}的函数ds是一个度量X.称拟度量空间(X,d)是双完备的,如果(X,ds)是完备度量空间。 在这种情况下,我们说d是X上的双完全拟度量。根据[21],连续的t-范数是指一个二元运算<$:[0,1] × [0,1] → [0,1],它满足以下条件:(i)<$是结合的和交换的;(ii)<$是连续的;(iii)a <$1 = a,对于每个a ∈ [0,1];(iv)a <$b ≤ c <$d,只要a ≤ c和b ≤ d,并且a,b,c,d ∈[0,1]。通过连续t-连续,我们表示满足以下条件的二元运算Q:[0, 1][0, 1][0,1]:(i)Q是结合和交换的;(ii)Q是连续的;(iii)aQ 0 = a,对任意a∈ [0,1];(iv)aQb≤cQd,当a≤c,b ≤ d,且a,b,c,d ∈ [0,1]时.众所周知,并且很容易看到,如果k是连续t-范数,Q是连续t-范数,则对于所有a,b,c,d∈[0, 1]:ab ≤ a b ≤ a b ≤ aQb。定义1.1[9]。非空集X上的KM-模糊拟度量是一个对(M,M),使得M是X×X× [0,∞)中的一个模糊集,且M是连续t -范数,使得对于所有的x,y,z∈X:(i)M(x,y,0)= 0;(ii) x=y当且仅当M(x,y,t)=M(y,x,t)=1,对所有t>0;对S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269271∗∈∗∗× ×∞∈··∗∈−(iii) M(x,z,t+s)≥M(x,y,t)<$M(y,z,s),对于所有t,s≥0;(iv) M(x,y,):[0,∞)→[0,1]是左连续的。注意,KM-模糊拟度量(M,满足对称公理M(x,y,t)=M(y,x,t)的模糊度量是Kramosil和Michalek [13]意义下的模糊度量。在下文中,KM-模糊拟度量将简称为模糊拟度量。一个三元组(X,M,),其中X是一个非空集,(M,)是X上的一个模糊(拟)度量,称为模糊(拟)度量空间。 这是在命题1中提出的。[9]证明了如果(M,M)是X上的模糊拟度量,则对每个x,y∈X,M(x,y,)是非减的,即当 t ≤ s 时 , M(x,y,t)≤ M(x,y,s)。如果(M,n)是X上的模糊拟度量,则(M −1,n)也是X上的模糊拟度量,其中M−1是X×X× [0,∞)中的模糊集,定义为M−1(x,y,t)=M(y,x,t)。此外,如果我们用Mi表示X × X × [0,∞)中由Mi(x,y,t)= min {M(x,y,t),M −1(x,y,t)}给出的模糊集,则(Mi,n)是X上的模糊度量[9]。类似于模糊度量的情形(比较[9]),X上的每个模糊拟度量(M,r)生成X上的一个T0拓扑τM,它以开球族{BM(x,r,t):x∈X,0 0},其中 B M(x,r,t)={y ∈ X:M(x,y,t)> 1 − r}。例1.2设(X,d)是一个拟度量空间。对于a,b[0, 1],设ab是通常的乘法,设Md是定义在X X[0,)上的函数,Md(x,y,0)=0,Md(x,y,t)=不t+d(x,y,t)当t> 0时。[ 9 ]很容易看出,(Md,·)是X上的一个模糊拟度量,我们称之为d诱导的模糊拟度量. 此外,τ d=τ Md且τ d−1=τ(Md)−1,因此在X上τ ds= τ(Md)i。如果d是一个度量,那么(Md,)显然是X上的一个模糊度量(比较[8])。定义1.3(比较[8])。Fuzzy(拟)度量空间(X,M,n)中的序列(xn)n称为柯西序列,如果对每个ε∈(0,1)且t >0,存在n0N使得M(xn,xm,t)>1 ε对于所有n,mn0。 (柯西序列, 模糊拟度量空间在[10]中称为双柯西序列定义1.4(比较[8])。模糊度量空间(X,M,)称为完备的,如果每个柯西序列关于τM收敛。定义1.5 [9]。模糊拟度量空间(X,M,n)称为双完备的,如果模糊度量空间(X,Mi,n)是完备的.注1.6从前面的定义可以得出,模糊拟度量空间(X,M,τ)是双完备的当且仅当每个柯西序列关于τ Mi收敛。272S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269∗∗∗∗{}× ×∞× ×∞× ×∞∗∗2直觉模糊拟度量空间(ifqm-空间)定义2.1直觉模糊准度量空间(以下称为ifqm空间)是一个5元组(X,M,N,N,Q,Q),使得X是一个(非空)集,N是一个连续t-范数,Q是一个连续t-连续,M,N是X×X×[0,∞)中的模糊集,对于所有x,y,z∈X,满足以下条件:(a) M(x,y,t)+N(x,y,t)≤1,对于所有t≥0;(b)M(x,y,0)= 0;(c) x=y当且仅当M(x,y,t)=M(y,x,t)=1,对所有t>0;(d) M(x,y,t)<$M(y,z,s)≤M(x,z,t+s),对于所有t,s≥0;(e) M(x,y,):[0,∞)→[0,1]是左连续的;(f)N(x,y,0)= 1;(g) x=y当且仅当对于所有t>0,N(x,y,t)=N(y,x,t)=0;(h) N(x,y,t)QN(y,z,s)≥N(x,z,t+s),对于所有t,s≥0;(i) N(x,y,):[0,∞)→[0,1]是左连续的。在这种情况下,我们说(M,N,Q)是一个直觉模糊拟度量(在下面是一个ifqm)。另外,若M和N满足M(x,y,t)=M(y,x,t)和N(x,y,t)=N(y,x,t),对所有x,y∈X且t >0,则称(M,N,N,Q)为X上的直觉模糊度量,称(X,M,N,N,Q)为直觉模糊度量空间.注意[1]的作者在他们的直觉模糊度量空间的概念中要求条件limt →∞M(x,y,t)=1和limt →∞N(x,y,t)=0;然而这些条件在我们的上下文中不是必需的注2.2很清楚,如果(X,M,N,Q)是ifqm-空间,则(X,M,)是定义1意义下的模糊拟度量空间。如果(M,N,,Q)是X上的ifqm,则(M−1,N−1,,Q)也是X上的ifqm,其中M−1是X X [0,)中的模糊集,定义为M−1(x,y,t)= M(y,x,t),N−1是X X [0,)中的模糊集,定义为N−1(x,y,t)= N(y,x,t)。此外,如果我们如上定义Mi,并用Ns表示X X [0,)中的模糊集,由Ns(x,y,t)=maxN(x,y,t),N−1(x,y,t)给出,则(Mi,Ns,Q)是X上的直觉模糊度量。为了在ifqm-空间(X,M,N,,Q)上构造一个合适的拓扑,考虑“球”B(x,r,t)似乎是很自然的B(x,r,t)={y∈X:M(x,y,t)>1−r,N(x,y,t) 0。然后,可以证明,如在[17]中,形式{B(x,r,t):x∈X,r∈(0,1),t > 0}是X上拓扑τ(M,N)的基.S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269273∗∈−∈ −≥下面的结果类似于[11]的命题1命题2.3设(X,M,N,N,Q)是ifqm-空间。 然后,对于每个x∈X,r∈(0,1),t> 0,则B(x,r,t)= BM(x,r,t).证据 显然,B(x,r,t)<$B M(x,r,t)。现在假设yB M(x,r,t)。 则M(x,y,t)> 1r,因此,根据定义5的条件(a),我们有:N(x,y,t)≤ 1 − M(x,y,t)<1 −(1 − r)= r。因此y∈B(x,r,t)。证明到此结束Q从命题1,我们立即推出以下结果。推论2.4设(X,M,N,N,Q)是ifqm-空间。则τ(M,N)= τ M,τ(M−1,N−1)= τ M−1且τ(Mi,Ns)= τMi。推论2.5设(xn)n是ifqm-空间(X,M,N,N,Q)中的序列,且设x∈ X。因此,以下语句是等价的。(1) 序列(xn)n关于τ(Mi,Ns)收敛于x.(2) 序列(xn)n关于τMi收敛于x。(3) lim n→∞Mi(x,xn,t)= 1,对于所有的t> 0.(4) lim n→∞Mi(x,xn,t)= 1和lim n→∞Ns(x,xn,t)= 0,对于所有的t> 0.推论2.6设(X,M,N,N,Q)是ifqm-空间。则(X,τ(M,N))是拟度量化拓扑空间,(X,τ(Mi,Ns))是度量化拓扑空间.定义2.7ifqm-空间(X,M,N,N,Q)中的序列(xn)n称为柯西序列,如果对于每个ε∈(0, 1)和t >0,存在n0∈N使得M( xn,xm,t)>1−ε,并且N(xn,xm,t)<ε,对于所有n,mn0。命题2.8ifqm-空间(X,M,N,Q)中的序列是Cauchy序列当且仅当它是Fuzzy拟度量空间中的Cauchy序列(X,M,X).证据显然,(X,M,N,N,Q)中的每个柯西序列都是(X,M,N)中的柯西序列。相反,假设(xn)n是(X,M,n)中的柯西序列。 设ε ∈(0,1)且t > 0,则存在n0N使得Mi(xn,xm,t)> 1ε,对所有n,mn0.因此Ns(xn,xm,t)≤1−Mi(xn,xm,t)<ε对所有n,m≥n0. 所以limn→∞Mi(xn,xm,t)=1和limn→∞Ns(xn,xm,t)=0。因此,(xn)n是(X,M,N,N,Q)中的柯西序列。Q注2.9Park在[17]中引入了完备直觉模糊度量空间的概念。文[11]证明了直觉模糊度量空间(X,M,N,N,Q)是完备的当且仅当(X,M,N)是完备的。274S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269∗∈∗{}∈--∗≥定义2.10一个ifqm-空间(X,M,N,N,Q)称为双完备的,如果(X,Mi,Ns,N,Q)是完备的直觉模糊度量空间。由注释2.9和定义1.5,我们推出以下结果。命题2.11一个ifqm-空间(X,M,N,N,Q)是双完备的当且仅当模糊拟度量空间(X,M,N,Q)是双完备的。定义2.12 [7]。集合X上的拟度量d称为非阿基米德的,如果对于所有x,y,z ∈ X,d(x,z)≤ max {d(x,y),d(y,z)}.非阿基米德模糊度量空间的概念由Sapena [20]引入。我们给这个概念的(直觉)准度量设置的自然概括。定义2.13[18]一个模糊拟度量空间(X,M,)使得M(x,z,t)min M(x,y,t),M(y,z,t)对所有x,y,zX,t > 0,称为非阿基米德模糊拟度量空间,并且(M,)称为X上的非阿基米德模糊拟度量。定义2.14一个ifqm-空间(X,M,N,N,Q)使得(M,N)是X上的非阿基米德模糊拟度量且N(x,z,t)≤ max N(x,y,t),N(y,z,t)对所有x,y,zX,t > 0,称为非阿基米德ifqm-空间,且(M,N,,Q)称为X上的非阿基米德ifqm。3压缩映射与不动点定理近年来,一些作者研究了(initionistic)模糊度量和模糊拟度量空间中的几类压缩映射和不动点定理(例如见[1],[16],[12],[18],[19]等)。 接下来,我们提出一些新的结果,这将是有用的。定理3.1设(X,M,X)是双完备非阿基米德模糊拟度量空间,T:X→X是自映射,使得M(Tx,Ty,t)1−k+kM(x,y,t)对所有x,y∈X且t> 0(k∈(0,1)). 而T有一个唯一的固定点。证据 紧接着,M i(Tx,Ty,t)1 −k+kM i(x,y,t)对所有x,y∈X且t> 0。固定x∈X。 对于每个n∈N和t>0,我们有:S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269275→- − −Mi(Tn x,Tn+1x,t)1−k+kMi(Tn−1x,Tn x,t)1−k+k(1−k+kMi(Tn−2x,Tn−1x,t))(1−k2)+k2(1 −k+kMi(Tn−3x,Tn−2x,t))(1 −k n)+k n M i(x,Tx,t).所以Mi(Tn x,Tn+1x,t)1−kn,对所有n∈N。因此,对于每个n,m∈N(我们不失一般性地假设,m=n+j对于某个j∈N),我们推出:Mi(Tn x,Tm x,t)=Mi(Tn x,Tn+jx,t)min {Mi(T n x,T n+1x,t),., M i(Tn+j−1x,Tn+jx,t)}min {(1−kn),.,(1−kn+j−1)}=1−kn。给定ε> 0,存在n0∈N使得kn0 <ε。 所以对于n,mn0,则如下:Mi(Tn x,Tm x,t)1−kn1 −k n0>1 −ε。因此序列(T n x)n是(X,M,n)中的柯西序列。因此,存在y∈X使得Tnx→y关于τMi。由于M i(Ty,T n+1x,t)1 −k+kM i(y,T n x,t)且lim nM i(y,T nx,t)= 1,因此lim nM i(Ty,T n+1x,t)=1。 因此,T n xTy相对于τMi,所以y= Ty。最后,假设z∈X满足Tz=z。则Mi(y,z,t)=Mi(Ty,Tz,t)1k+kM i(y,z,t),so(1k)M i(y,z,t)1k,因此M i(y,z,t)=1,t>0。我们得出结论,y=z。所以y是T的唯一不动点。Q定理3.2设(X,M,N,N,Q)是一个双完备非阿基米德ifqm-空间,T:X→X是一个自映射,使得:M(Tx,Ty,t)1−k+kM(x,y,t)对所有x,y∈X且t> 0,(其中k∈(0,1)). 而T有一个唯一的固定点。证据 应用命题2.11和定理3.1。Q例3.3设(X,d)是一个拟度量空间。直接证明d是非Ar chimedean拟度量当且仅当(Md,1−Md,·,Q)是非Ar chimedean ifqm,其中aQb = 1 − [(1 − a)·(1 −b)],对所有a,b ∈ [0,1]。下面的结果,其简单的证明被省略,允许我们以简单的方式从有界非阿基米德拟度量构造非阿基米德ifqm d,它不同于例3.3中定义的ifqm(比较[18],命题1)。提案3.4 设d是集合X上的非阿基米德拟度量,使得对所有x,y ∈ X,d(x,y)≤ 1. 让Md1(x,y,0)= 0,对所有x,y∈X,276S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269∗/∈H∈ ∈∞Md1(x,y,t)= 1−d(x,y)for allx,y∈Xandt>0,Nd1(x,y,0)= 1for allx,y∈X,nd1(x,y,t)= d(x,y) 对所有x,y∈X且t> 0,则下列陈述成立.(1) (Md1,Nd1,N,Q)是X上的非阿基米德ifqm,其中,连续的t-范数,我们用Q表示与k相关的任何t-连续范数,并由下式给出:aQb= 1− [(1−a)<$(1−b)],对于所有a,b∈[0, 1](2)对于每个x,y∈X,t∈(0,1)和ε∈(0,1):M(x,y,t)>1−ε且N(x,y,t)<ε惠d(x,y)<ε惠M(x,y,t)>1−ε(3)τ(Md1,Nd1)=τd=τMd1,且τ((Md1)−1,(Nd1)−1)=τd−1=τ(Md1)−1(4) X中的序列在(X,Md1,Nd1,Q)中是柯西的当且仅当它是柯西的in(X,d).(5) (X,Md1,Nd1,N,Q)是双完全的当且仅当(X,d)是双完全的.4快速排序在递归方程中的应用设是一个非空的字母表。设φ ∞是φ上所有有限和无限序列(“字”)的集合,其中我们采用空序列φ是φ ∞的元素的约定。用±表示,x ∞上的prefix阶,即x±y惠x是y.现在,对于每个x<$∞,用l(x)表示x的长度。则l(x)[1,]当x=φ且l(φ)= 0时。对于每个x,y∈∞,令xy是x和y的公共前缀。因此,函数d±定义在∞×∞上,d±(x,y)=0ifx±y,d±(x,y)=2-l(xHy)否则,是∞上的拟度量。(我们采用2 −∞ = 0的约定)。实际上d±是一个非Archimedean拟度量(例如,见[15]例8(b))。我们还观察到,非Archimedean度量(d±)s是ε∞上的Baire度量,即(d±)s(x,y)=2−l(xHy)对所有的x,y∈∞,使得x/= y。众所周知,(d±)s是完备的. 因此d±是双完全的。M. B. S_m_y_h[22],我们称之为Baire拟度量。观察到条件d±(x,y)=0可以用来区分x是y的前缀的情况和其他情况。S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269277∗∗±±≥ ∈∞∗±±接下来,我们构造一个关于π∞的双完全非阿基米德ifqm的例子,它与上面定义的Baire拟度量有关,定理3.2适用于它(比较[18]命题4)。注4.1Let d±beteBaire拟度量con∞。则d±是<$∞上的一个非正则拟度量,且对所有的x,y ∈ <$∞,d±(x,y)≤1. LetMd±1(x,y,0)= 0,对所有x,y ∈∞,Md±1(x,y,t)=1−d±(x,y) forallx,y∈∞andt >0,Nd±1(x,y,0)=1forallx,y∈∞,对于a l l x,y ∈ ∞且t > 0,nd±1(x,y,t)=d±(x,y).由命题3.4可得:(∞,Md1,Nd1,,Q)是一个双完备的非阿基米德ifqm-空间,其中是任意连续t-范数,Q是它的连续t-范数.例4.2接下来我们应用注4.1和定理3.2来分析快速排序算法的复杂性.在[14]中讨论了快速排序的平均情况分析,其中获得了以下递归方程T(1)=0,且T(n)=2(n−1)+n+ 1 (n − 1),n≥ 2.n n把非负实数的集合看作一个字母表,也就是说,n =[0,∞)。我们将由(Φ(x))1=T(1)给出的泛函Φ:φ∞→φ∞与T相(Φ(x)) =2(n−1)+n+ 1nn nxn−1对于所有的n 2(如果x∈∞的长度为n<,我们写x:=x1x2.. 如果x是无穷词,我们写x:=x1x2. )的。其次我们证明了Φ是双完备ifqm-空间(φ ∞,Md1,Nd1,,Q)上的压缩(在定理3.2的意义下),压缩常数k= 1/2. (虽然证明这一事实的技术类似于[18]中使用的技术p. 2201-2202,为了完整起见,我们在这里给出它为此,我们首先注意到,通过构造,我们有l(Φ(x))=l(x)+ 1,对所有x∈ ∞(特别是,l(Φ(x))=∞,只要l(x)= ∞)。此外,很明显,x±y≤Φ(x)±Φ(y),并且因此对所有的x,y ∈ ∞. 因此Φ(xHy)±Φ(x)HΦ(y)l(Φ(xHy))≤l(Φ(x)HΦ(y))不278S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269∗±±对所有的x,y ∈ ∞. 我们有:Md±1(Φ(x),Φ(y),t)=1 −2− Hl(Φx Φy)≥1− 2−l(Φ(xHy)) = 1− 2−(l(xHy)+1)=1−1 2−l(xHy) = 1−1 +1M(x,y,t)对于所有t>0。2 2 2天±1天因此,Φ是(φ ∞,Md1,Nd1,,Q)上的压缩,压缩常数为1/2。因此,根据定理3.2,Φ有唯一的不动点z=z1z2...,这显然是递归方程T的唯一解,即z1=0,z=2(n−1)+n+ 1nn nzn−1对于所有n≥ 2。引用[1] 阿拉卡角,D. Turkoglu和C.Yildiz,直觉模糊度量空间中的不动点,混沌,孤子分形,29(2006),1073-1078。[2] El Naschie,M. S.,”Cantorian几何的不确定性与双缝实验、混沌、孤子&Fractals9(1998),517-529.[3] ElNas c hie,M. S., Ontheveri ficationofheteroticstringstheoryandheterotic(∞)theory,Chaos,Solitons&Fractals 11(2000),2397-2408.[4] El Naschie,M.S.,双缝实验作为高能物理E无限性的基础,混沌,孤子分形25(2005),509-514。[5] El Naschie,M.S.,‘t Hooft ultimate building blocks and space-time as an infinite dimensional set oftransfinite discrete points[6] El Naschie,M.S.,非欧时空结构和双缝实验,混沌,孤子分形26(2005),1-6。[7] Fletcher,P.,和W.F. Lindgren,[8] 乔治,A., 和P. Veeramani,关于模糊度量空间中的一些结果,模糊集和系统64(1994),395-399.[9] 格雷戈里,五,和S.Romaguera,Fuzzy拟度量空间,应用。将军Topology5(2004),129-136.[10] 格雷戈里,五,S. Romaguera和A. Sapena,A characterization of bicompletable fuzzy quasi-metricspaces,Fuzzy Sets and Systems152(2005),395-402.[11] 格雷戈里,五,S. Romaguera and P. Veeramani,A note on intuitionistic fuzzy metric spaces,Chaos,Solitons Fractals28(2006),902-905.[12] 格雷戈里,五,和A.Sapena,模糊度量空间中的不动点定理,模糊集与系统125(2002),245-252.[13] 克拉莫西尔岛,和J. Michalek,Fuzzy metrics and statistical metric spaces,Kybernetika11(1975),326-334.[14] 克鲁斯河,“数据结构和程序设计”,Prentice-Hall,Inc.,一九八四年[15] Kunzi,H. 私人助理,不对称于pol og y,in:Pr oc。 Coll oquiumonTopolog y,Szeksz'ard,Hungar y,1993,Coll oq. 数学 S oc。 我是波尔和数学。Studies4(1995),303-338.S. 罗马格拉山口Tirado/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 225(2009)269279[16] Mihet,D.,A Banach compression theorem in fuzzy metric spaces,Fuzzy Sets and Systems144(2004),431-439.[17] 朴智星Intuitionistic fuzzy metric spaces,Chaos,Solitons Fractals22(2004),1039-1046.[18] Romaguera,S.,A. Sapena和P. Tirado,模糊准度量空间中的Banach不动点定理及其在词域中的应用,拓扑应用154(2007),2196-2203。[19] Romaguera,S.,和p.Tirado,On fixed point theorems in intuitionistic fuzzy metric spaces,Internat.J. 非线性科学数字。同时,8(2007),233-238.[20] Sapena,A.,一个贡献的研究模糊度量空间,应用。将军Topology2(2001),63-76.[21] Schweizer,B.,和A.Sklar,Statistical metric spaces,Paci fic J.数学10(1960),314-334.[22] Smyth,M.B.,“准一致性:用度量空间表示域,在:编程语言语义学的数学基础,”第三次研讨会,杜兰1987年,讲义计算机科学,卷。298,M.Main等人(编辑),Springer,Berlin,1988,236-253.
下载后可阅读完整内容,剩余1页未读,立即下载
cpongm
- 粉丝: 5
- 资源: 2万+
上传资源 快速赚钱
- 我的内容管理 展开
- 我的资源 快来上传第一个资源
- 我的收益 登录查看自己的收益
- 我的积分 登录查看自己的积分
- 我的C币 登录后查看C币余额
- 我的收藏
- 我的下载
- 下载帮助
最新资源
- C++标准程序库:权威指南
- Java解惑:奇数判断误区与改进方法
- C++编程必读:20种设计模式详解与实战
- LM3S8962微控制器数据手册
- 51单片机C语言实战教程:从入门到精通
- Spring3.0权威指南:JavaEE6实战
- Win32多线程程序设计详解
- Lucene2.9.1开发全攻略:从环境配置到索引创建
- 内存虚拟硬盘技术:提升电脑速度的秘密武器
- Java操作数据库:保存与显示图片到数据库及页面
- ISO14001:2004环境管理体系要求详解
- ShopExV4.8二次开发详解
- 企业形象与产品推广一站式网站建设技术方案揭秘
- Shopex二次开发:触发器与控制器重定向技术详解
- FPGA开发实战指南:创新设计与进阶技巧
- ShopExV4.8二次开发入门:解决升级问题与功能扩展
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
信息提交成功