平衡实验设计：R软件包BDEsize用于有效确定样本大小的关键工具

=−沪公网安备31011502000118号原始软件出版物BDEsize：一个R软件包，用于在平衡实验设计中有效确定样本大小Jong-Hee Chunga，Yong-Bin Limb，Donghoh Kimc，a大韩民国首尔延世大学应用统计系b大韩民国首尔梨花女子大学统计系c大韩民国首尔世宗大学数学和统计系ar t i cl e i nf o文章历史记录：收到2021年2021年10月1日收到修订版2021年10月4日接受保留字：样本量实验平衡设计标准化效应量功率a b st ra ct在平衡实验设计中，确定适当的样本量是至关重要的，统计推断。R包BDEsize计算最佳样本量，以检测在显著性水平上获得一定功效的特定标准化效应量。由R软件包BDEsize生成的诊断图提供了样本量、功效和可检测的标准化效应量之间相互关系的信息。通过对这些图形的研究，我们可以识别出一些对样本量敏感的效应，从而调整样本量以达到实验目的。版权所有©2021作者。由爱思唯尔公司出版这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）中找到。代码元数据当前代码版本1.6用于此代码版本的代码/存储库的永久链接https://github.com/ElsevierSoftwareX/SOFTX-D-21-00103Code Ocean computecapsulehttps://codeocean.com/capsule/1586392/treeGPL许可证（>2）使用的代码版本控制系统无软件代码语言、工具和服务使用R编译要求、操作环境依赖性R、fpow、ggplot2如果可用，链接到开发人员文档/手册https://cran.r-project.org/web/packages/BDEsize/BDEsize.pdf问题支持电子邮件jochung947@gmail.com1. 动机和意义实验设计的一个重要方面是确定所需的重复次数，以具有足够的功效来检测给定显著性水平下的效应。数量当实验中的重复次数越大，统计检验的功效就越大。然而，生成大量的复制是耗时且资源密集的。另一方面，少量的重复不能保证统计可靠性和足够的统计功效。功效是真实效应可检测的概率，效应量通过其大小提供该信息。功效定义为1β，其中β是当无效假设不为真时不被拒绝有一个*通讯作者。电子邮件地址：donghohkim@sejong.edu（Donghoh Kim）.https://doi.org/10.1016/j.softx.2021.100837对于给定的显著性水平，功率和样本大小之间的折衷因此，为了设计实验和建立统计模型，实验者必须考虑样本量、功效、显著性水平、效应量和噪声，这些因素彼此密切相关。一般的方法是确定样本量，以实现足够的功效，给定指定的显著性水平α，效应量δ和噪声标准差σ，当使用感兴趣的因子构建统计模型时。使用非中心F分布函数计算平衡实验设计（DOE）的功效。作为另一种方法，许多研究者提出了在给定α、β和样本量r的情况下求最小可检测标准化效应量的方法，并提供了基于非中 心 F 分 布 函 数 的 表 格 [1Lim [5] 提 供 了 一 个 基 于 新 算 法 的MATLAB工具来生成这些表。2352-7110/©2021作者。 由Elsevier B.V.出版。这是一篇开放获取的文章，使用CC BY许可证（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表SoftwareX期刊主页：www.elsevier.com/locate/softxJong-Hee Chung，Yong-Bin Lim和Donghoh Kim沪公网安备31011502000118号2√cν1√−EEi=1我E−2√≤22D2D=-ij当= −=λ2σ2有许多统计软件程序可用于计算样本量，如SAS、R、Minitab、Design Expert，表1R在BDEsize中的功能。Lenth Java小程序每个软件都有一些限制。中不提供裂区设计的样本量计算设计样本量计算器诊断图[6]或[7]，或[8]。Design-Expert [9]仅在显著性水平为0.05时计算适当的样本量。Lenth Java applet [10]涵盖了大多数实验性设计，并提供了带有图形界面的对话框窗口。然而，很难解释最小可检测标准化效应量、功效和样本量之间的相互关系。我们开发了一个新的R包，称为BDEsize，它计算最佳样本量，以检测具有给定功效和显著性水平的特定标准化效应量[11]。R软件包BDEsize涵盖四种类型的平衡DOE：析因设计，两水平部分析因设计，随机完全区组设计和裂区设计。此外，样本量、功效和可检测的标准化效应量之间的非线性关系可通过调查包装的诊断图来解释。2. 背景考虑一个由多个效应和误差项组成的平衡DOE的典型分析。假设针对备择假设检验固定效应A。检验统计量基于均方比。分子是固定效应A的均方，分母是某些其他效应或误差项的均方，为便于标记，用E对于给定的显著性水平α，临界区域是大于值Fα（ν1，ν2）的上尾面积，其中析因设计大小。全图。全两水平部分析因设计大小. 2levFr图. 2levFr裂区设计大小.裂区.裂随机完全区组设计大小.区组图.区组有了这个样本量，产生的标准化效应量将是2 fλ。我们称之为最小可检测的标准化效应量，记为？。实验者经常指定范围的最小距离一个人想要检测的效果A。效应量的标准化范围为：1maxτi−minτiµD（5）σEσE其中µD是治疗均值的范围。效应量的标准化范围与标准化效应量有关由于处理效应之和等于零，因此对于主效应，1≤其中等式成立，当τ11µD，τ21µD， 其余的τi等于零。 对于双向相互作用效应τij，1≤（七）其中，当τ11= −1µD，τ12=1µD，τ21=Fα（ν1，ν2）是F分布的第（1−α）百分位数，1µ，τ2 2= −1µ，其余为τ固定效应A和项E的自由度ν1和ν2，分别样本量需要以把握度至少为1β的方式确定。在备择假设下，基于具有非中心性参数的非中心F分布计算A效应的把握度该非中心性参数用于确定样本量。设τi（i = 1，.. .，I）是固定效应A的第i个效应，σ2是项E的均方期望。非中心性参数λ[1，2]由下式给出：cν1Φ（A）λ=2σ2（1）其中Φ（A）= ∑Iτ 2/ν1和c是Φ（A）在给定效应量的目标标准化范围为0.01，样本大小也可以基于Eq.（6）和（7）。3. 软件描述BDE大小的包的源代码、二进制文件和参考手册可以从CRAN（Comprehensive R Archive Network）获得[12]。BDEsize包在R中实现，可以通过以下命令安装> install.packages（“BDEsize”）> 库（BDE大小）R软件包BDEsize具有样本大小校准功能，效应A的均方期望值。量Φ（A）表示固定效应A的可变性，并且可以预设期望量Φ（A）以检测备择假设下的固定效应A注意，非中心性参数λ和系数c是样本大小的增函数，并且Φ（A）、σ2和ν1不依赖于样本大小。因此，对于具有II型错误概率β的非中心F分布的非中心性参数fλ，通过寻找满足以下条件的最小整数来确定样本量：cν1Φφ（A）f≤.（二）E该过程可通过目标标准化效应大小等效地完成，计算器和诊断图，显示了四种类型的平衡实验设计的标准化效应量r、功效1β和样本量r之间的相互关系，如表1所示。函数Size.Full（）计算完全析因设计的最佳样本大小。方程的非中心参数fλ。（2）可以通过R包fpow[13]中的ncparamF（）函数获得。Size.Full（）函数的用法如下。Size.Full（factor.lev，interaction= 0，delta_type= 1，delta= c（1，0，1），alpha= 0.05，beta= 0.2，maxsize= 1000）这功能需要的以下参数：The∆∗=Φ（A）2E.（三）factor.lev用于定义全析因设计中每个因子的水平数。对因子数量和因子水平没有限制。两种效应大小样本量确定为满足以下条件的最小整数：可以由delta_type参数定义。有效尺寸可以由固定效应A的可变性Φ（A）来指定2 fλ。（四）cν1由方程式（1）或治疗范围指方程式中的µD（五）、每个效应量分为标准差型和极差型。√σ22Jong-Hee Chung，Yong-Bin Lim和Donghoh Kim沪公网安备31011502000118号3−−==√√×表2输入参数。参数描述factor.lev每个因子水平数的向量interaction指定双向交互作用效应是否包含在具有主效应的模型中。当interaction= TRUE时，模型中包含双向交互作用效应。delta_type指定标准化效应量的类型：1表示标准差类型，2表示范围类型。效应大小的delta 向量：delta[1]表示主效应，delta[2]表示双向交互作用效应，delta[3]表示噪声的标准差。当interaction= 0时，delta[2]为0。αI型错误。betaII型错误。maxsize样本量公差。表3最佳样本大小的函数输出参数参数描述model表示模型的特征向量。n最佳样本量。DeltaA最小可检测标准化效应量的向量。delta_type参数对于标准差类型设置为1，对于范围类型设置为2。delta参数指定主效应和双向交互作用的目标效应大小噪声的影响和标准偏差。前两个元素对应于因子A和B的主效应大小Φ（A）和双向相互作用效应大小Φ（AB），第三个元素对应于公式中的标准差σE。（三）、当最佳样本量太大时，这些信息是不切实际的。样本大小的公差可以通过参数maxsize指定。表2总结了这些输入参数。其他函数共享与Size.Full（）函数类似的输入参数结构。额外的参数或不同的Size.2levFr（）函数提供了二水平部分析因设计的最优样本容量因此，不需要用于级别数的输入参数相反，输入参数nfactor和nfraction指定2（k-p）的因子数k和分数数p部分析因设计。在分辨率III和IV设计中，模型仅包含主效应。因此，若要构建包含双向交互作用效应的模型，nfactor参数应大于4。 函数Size.Split（）对于裂区设计，需要参数whole.factor.lev和split.factor.lev而不是argument factor.lev。对于裂区设计，整区因子和裂区因子的水平数分别由整.因子.lev和裂.因子.lev对整区因子和裂区因子的个数都有限制。它们必须小于或等于2。在裂区设计中，delta参数的四个元素对应于效应量主效应、双向交互作用、标准差整体图噪声和子图噪声。请注意，由函数Size.Block（）生成的样本大小是无重复的随机化完全区组设计的区组数。样本量计算器的每个函数的输出与表3所示相同。输出参数模型由表示模型的特征向量每个因子和交互作用由罗马字母表的大写字母和每对因子的运算符*对于裂区设计，整区因子和裂区因子分别用小写字母和大写字母表示。对于随机化完全区组设计，区组表示为区组输出参数n是满足等式2的最小整数。（四）、输出参数Delta是等式左侧的最小可检测标准化效应量。（4）对于最优样本量n.输出Delta的值小于输入Delta[1]/Delta[3]或Delta[2]/Delta[3]的值。 注意，当等式在等式中成立时，产生范围类型的Delta（6）和（7）。函数plots.Full（）显示完全析因设计的三种诊断图。该函数显示样本量r、功效1β和可检测的标准化效应量ψ。 函数plots.Full（）的输入参数包括函数Size.Full（）的输入参数，另外两个参数是deltao和type。参数类型指定功效与类型=1的最佳样本量n的可检测标准化效应量的关系图，给定功效1的可检测β通过类型=2，功率与样本量的最小可检测的标准化效应量Δ O通过类型=3。对于功效与样本量（按类型= 3）的图，输入参数deltao指定最小可检测标准化效应量。因此，可以检查当deltao的值改变时样本大小如何受到影响，而不管输入参数delta如何。当deltao等于样本量计算器的输出Delta时，该图显示最佳样本量的功效n.函数plots.Full（）的用法是：图。完整（因子.lev，交互= 0，delta_type= 1，delta= c（1，0，1），delta= NULL， alpha= 0.05，beta=0.2，type= 1，maxsize= 1000）两水平部分析因设计、随机完全区组设计和裂区设计的诊断图可 以 通 过 函 数plots.2levFr（ ） 、plots.Block （ ） 和plots.Split（）得到。使用、输入和输出图如下：类似于函数plots.Full（）。4. 说明性实例为了说明BDEsize软件包的用法，我们分析了三种情况：（1）三因子的完全析因设计，（2）两因子的随机完全区组设计，以及（3）一个整区因子和一个裂区因子的裂区设计。本文中使 用 的 所 有 示 例 的 代 码 可 以 从 Code Ocean 平 台（https://codeocean.com/capsule/1586392/tree）访问以再现相同的结果。4.1. 示例1：完全析因设计考虑包含三个因子A、B和C的全析因设计。每个因子的水平数为2、2和3。假设我们有兴趣检查显著性水平α 0下功效为0. 8的主效应和双向交互作用效应。05当每个效应的效应大小范围为1时σE1。通过以下代码获得最佳样本量：> case1- Size.Full（factor.lev=c（2，2，3），+ interaction=TRUE，delta_type=2，+delta=c（1，1，1），alpha=0.05，beta=0.2）根据模型表达式case1$model，目标case1具有模型表达式case1$model、最优样本量case1$n和每个效应的最小可检测标准化效应量case1$Delta的三个输出。看到Jong-Hee Chung，Yong-Bin Lim和Donghoh Kim沪公网安备31011502000118号4−==−×∗=−×××Fig. 1. 样本量r，把握度1之间相互关系的诊断图全因子设计的β和可检测标准化效应量<1;（左上）功效vs <1（右上）<1vs样本量（下）功效vs样本量。输出对象case1的此信息。可以认识到，样本量必须至少为6，才能检测到效应量的目标标准化范围<11次幂为0.8在显著性水平α 0。05.当样本量为6时，因子A、B和AB的效应量的最小可检测标准化范围为0.671，小于效应量的目标标准化范围0.671。实验单位总数为72个。> case1$model[1]A+B+C+A*B+A*C+B*C$n[1]6$DeltaABCA*BA*CB*C0.67078970.67078970.91814130.67078972018年12月31日下面的代码生成Fig. 1，显示把握度1β与可检测标准化效应量的三种类型图，按类型=1，可检测标准化效应量+delta_type=2，delta=c（1，1，1），+ alpha=0.05，beta=0.2，type=1）> 图。全（因子。lev=c（2，2，3），+ interaction=TRUE，+delta_type=2，delta=c（1，1，1），+ alpha=0.05，beta=0.2，type=2）> 图。全（因子。lev=c（2，2，3），+ interaction=TRUE，+delta_type=2，delta=c（1，1，1），deltao=1，+ alpha=0.05，beta=0.2，type=3）图的左上面板。1显示了当样本量为6时，功效1β与可检测的标准化效应量1之间的关系，在α下，这是最佳功效0.80的情况。05.对于视觉指导，0.8和0.9的功效以及1和1.5的可检测标准化效应量被描绘为平行于水平轴和垂直轴的虚线。2 2 3因子设计，方程的系数c。（1）和（4）对于主效应A或B是双向交互作用效应的两倍A×B。请注意，效应量的标准化范围与类型=2的样本量r和功效1−β与主效应和双向交互效应相差2.看到样本量r，当n= 1，类型=3时。> 图。全（因子。lev=c（2，2，3），+ interaction=TRUE，当量（6）和（7）。因此，主效应A、B和双向交互作用效应A和B的可检测标准化效应范围是相同的。此外，由于值Φ（A）是给定处理手段范围的值Φ（A× B）的一半，Jong-Hee Chung，Yong-Bin Lim和Donghoh Kim沪公网安备31011502000118号5−××==××××××==图二. 块数r，幂1之间相互关系的诊断图β和随机化完全区组设计的可检测标准化效应量β;（左上）功效vs β（右上）β vs区组数 （下）功效vs区组数。主效应A或B的参数与双向交互作用效应A B的参数相同，并且主效应的功效 A、B和双向交互作用效果A B完全相同。如果实验者想将功效从0.8增加到0.9，即因子C的最小可检测标准化效应量，A，C，和B，C，将大于1。因此，可以预测，最佳样本量将增加6个以上。因此可以应认识到，因子C、A C和B C是决定样本量的关键因素。图的右上面板。 1显示了可检测的标准化效应量与给定α 0的样本量的关系图。05和0.8的幂。垂直虚线表示最佳样本量。如果样本量减少到5而不是最佳样本量，则因子C、A C和B C所需的最小可检测标准化效应量将增加到约1.05，给定α，至少获得0.8的幂0的情况。05.样本量变大时，功率通常非线性地增加。见图的底部面板。1.一、在垂直虚线的最佳样本量附近，需要更多的样本量来增加功效。4.2. 实施例2：随机化完全区组设计考虑一个析因实验，在一个区组中有三个水平的因子A和四个水平的因子B。假设我们有兴趣进行统计检验，至少有0.8的功效和目标标准化效应量下1个显著性水平α0的情况。05.从Size.Block（）函数中得到的最佳块数是3，实验单元的总数将是36。 当运行三个区组的实验时，主因子和双向交互作用的最小可检测标准化效应量分别为0.679、0.695和0.998。> 大小.块（因子.lev=c（3，4），交互=真，+delta_type=1，delta=c（1，1，1），+ α =0.05，β =0.2）$model[1]“Block+A+B+A*B”$n[1]3$DeltaA BA*B 0.67934380.6949213 0.9979032着眼于双向交互作用，我们研究了区组数量、功效和可检测的标准化效应量之间的相互关系，以检查区组数量是否可以减少。诊断图如图所示。 二、Jong-Hee Chung，Yong-Bin Lim和Donghoh Kim沪公网安备31011502000118号6−×=××图三. 样本量r，把握度1之间相互关系的诊断图裂区设计的β和可检测标准化效应量β;（左上）功效vs β（右上）β vs样本量（下）功效vs样本量。> 图。区组（因子lev=c（3，4），+ interaction=TRUE，+delta_type=1，delta=c（1，1，1），+ alpha=0.05，beta=0.2，type=1）> 图。区组（因子lev=c（3，4），+ interaction=TRUE，+delta_type=1，delta=c（1，1，1），+ alpha=0.05，beta=0.2，type=2）> 图。区组（因子lev=c（3，4），+ interaction=TRUE，+delta_type=1，delta=c（1，1，1），deltao=1，+ alpha=0.05，beta=0.2，type=3）从Size.Block（）和图2的结果可以看出，AB效应是决定最佳样本量的关键因素。此外，图2的右上图显示了区组数量与标准化效应量之间的关系。假设随机化完全区组实验用两个区组顺序运行，AB效应的p值大于0.3。然后，没有必要运行第三个区组，因为A B效应不显著，并且当区组数量为2.4.3. 实施例3：裂区设计考虑一个纸制造商的例子[14]。造纸商研究了制浆方法和蒸煮温度对纸浆抗张强度的影响的论文。通过三种纸浆制备方法中的一种制备一批纸浆，然后将该批纸浆分成四个样品，并在四个温度中的一个温度下蒸煮每个样品。在本试验中，整区因子A为制浆方法，裂区因子B为蒸煮温度。整区因子和裂区因子的水平分别为3和4。通过函数Size.Split（），目标标准化效应量1 、最佳数量对于该裂区设计，重复次数为8，实验单元总数为96。> 大小拆分（整体因子lev=3，拆分因子lev=4，+ interaction=TRUE，+delta_type=1，delta=c（1，1，1，1），+ α =0.05，β =0.2）$model[1]“a+B+a*B”$n[1]8$Deltaa Ba*B 0.96945060.4014209 0.5596178Jong-Hee Chung，Yong-Bin Lim和Donghoh Kim沪公网安备31011502000118号7请注意，水平数与第4.2节中给出的随机化完全区组设计的水平数相同。虽然裂区的最佳样本量大于随机完全区组设计的最佳样本量，但检测整区效应A的精度较低，因为裂区设计的整区效应A的最小可检测标准化效应量为0.9695，随机完全区组设计的主效应A的最小可检测标准化效应量为0.6793。下面的代码生成如图所示的三个诊断图。 3为裂区设计。 图 3意味着最佳样本量取决于整区效应A的可检测性。样本量随着标准化效应量的增加而减少> 图。分裂（整体因子lev=3，+分裂因子lev=4，+ interaction=TRUE，+delta_type=1，delta=c（1，1，1，1），+ alpha=0.05，beta=0.2，type=1）> 图。分裂（整体因子lev=3，+分裂因子lev=4，+ interaction=TRUE，+delta_type=1，delta=c（1，1，1，1），+ alpha=0.05，beta=0.2，type=2）> 图。分裂（整体因子lev=3，+分裂因子lev=4，+ interaction=TRUE，+delta_type=1，delta=c（1，1，1，1），+ deltao=1，α =0.05，beta=0.2，type=3）5. 影响和结论R软件包BDEsize用于计算平衡试验设计的最优样本量，包括完全析因设计、两水平部分析因设计、随机完全区组设计和裂区设计。该软件包直接计算最佳样本量，给出指定显著性水平、功效和目标标准化效应量的三个基本要素[15]。的相互关系通过BDEsize提供的诊断图研究这三个要素之间的关系，以便有效地减少样本量，并确定哪些影响对确定最佳样本量至关重要。此外，当目标标准化效应量的值发生变化时，很容易R封装BDEsize可以很容易地只需从CRAN加载包BDEsize即可安装存档。在本文中，我们描述了R包BDEsize的用法。预计R软件包BDEsize为实验设计的样本量提供了有用的信息竞合利益作者声明，他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作确认本研究由教育部资助的韩国国家研究基金会（NRF）的基础科学研究计划（2017R1D1A1B03030751和2021R1F1A1047506）支持。引用[1] 蒂库湾f检验的功效表。J Amer Statistist Asphalt 1967;62（318）：525-39.http://dx.doi.org/10.2307/2283980网站。[2]Kastenbaum MA，Hoel DG，Bowman KO.样本量要求：单因素方差分析。Biometrika 1970;57（2）：421-30. http://dx.doi.org/10.2307/2334851。[3]福克斯·奥德赫·雷样本量选择：线性模型实验图表，卷。122. 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