拓扑空间同伦理论中的S-映射与收缩性质

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，590埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章关于S-映射到Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理Sχ-因子Amin Saifa，Adem Kılıçmanb，a也门塔伊兹，塔伊兹大学应用科学学院数学系b马来西亚雪兰莪州Serdang市马来西亚普特拉大学数学系，邮编：43400 UPM接收日期：2015年8月19日;修订日期：2016年1月13日;接受日期：2016年3月2日2016年3月26日在线发布本文通过引入变形S-收缩及其较弱形式和ES-同伦扩张性质，推广了拓扑半群同伦理论中的收缩性质。此外，引入了S-映射到Sχ-纤维和Sχ-纤维的覆盖同伦定理，并证明了Sχ-纤维的拉回行为是正确的.MSC：初级54 B25; 54 F45; 54 C56版权所有2016，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍同伦理论是数学的一个重要部分，它有许多应用和许多变体，推广和适应。为了更好地处理局部性∗ 通讯作者。联系电话：+60 389466813;传真：+60 389437958。电子邮件地址：akilic@upm.edu.my，kilicman@yahoo.com（A.Kılıçman）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier特性. Hurewiczation[3]和retractions[1]的概念对于研究拓扑空间之间的相互关系起着非常重要的作用。Cerin在[2]中引入了拓扑空间同伦理论的概念，给出了拓扑半群同伦理论的定义。他将同伦理论中的一些基本性质推广到拓扑半群的同伦理论中的类似结构，如S-收缩、K-收缩、S-同伦控制、Sχ-纤维化和Sχ-纤维化。本文的组织结构如下。第2节专门讨论了几个问题。第三节给出了变形S-收缩、变形K-收缩、强变形S-收缩和ES-同伦扩张性质的概念。Sχ-纤维化和Sχ-纤维化对于研究这些概念之间的相互关系起着非常重要的在S1110-256X（16）30005-0 Copyright 2016，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2016.03.001关键词同伦;拓扑半群;收缩;纤维化关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理591∈=N=→=∈×→=∈× →===∈= ∈∈×→→◦→→=∈→◦˜（{S（S，s），a）的S-反应的定义→◦˜◦ ◦ ◦◦第四节将S-映射的覆盖同伦定理引入到Sχ-纤维和Sχ-上纤维中。我们证明了Sχ-fibrings的拉回是Sχ-fibrings.2. 预赛在本节中，我们提供了一些初步工作，作为本研究的背景，这些工作以前由Cerin在[2]中建立。拓扑半群或S-空间是由拓扑空间S和映射（即，连续函数）a：S SS使得a（ x， a（ y， z）） a（ a（ x，y）， z）对于所有x，y，zS.设χ表示所有S-空间的类。对于每个空间S，自然S-空间是S-空间（S，πi），其中πi是S上由π1（x， y） x和π2（x， y） y给出的连续结合乘法，对于所有x，y S。我们用π表示所有自然S-空间（S，π）的类，其中π π1，π2。S-空间（B，c）称为（S，a）的一个S-子空间，如果B是S的一个子空间，映射a取乘积B B到B和c（ x， y） a（ x， y），对所有x，y B。很自然地，用与所考虑的S-空间上的乘法相同的符号来表示S-子空间的设（S，a）和（O，e）是两个S-空间。函数f：（S，a）（O，e）称为同态或S-映射，如果f是空间S到O和f（a（x，y））e（f（x），f（y））对于所有x，yS.回想一下[2]，两个S-映射的通常合成和通常乘积是S-映射。对于每个空间S，P（S）是指从单位闭区间I[0，1]到S的所有具有紧开拓扑的路所组成的空间。[2]对于每个S-空间（S，a），（P（S），a）是S-空间，其中a：P（S）P（S）P（S）是由a（α，β）（t） a（α（ t），β（ t））定义的映射，对所有α，βP（S），t I。这个S-空间的较短概念是P（S，a）。定义2.1. S-映射f，g：（S，a）（O，e）称为S-同伦，记为f如果存在S-映射H：（S，a）→P（O，e）称为S-同伦使得H（ s）（0）=f（ s），H（ s）（1）=g（ s），对所有s∈S.定理2.2. S-同伦s的关系是（S，a）到（O，e）的所有S-映射的集合上的等价关系。定理2.3. 若S-映射f，g：（S，a）→（O，e）是S-同伦的回想一下[2]，映射f：S→O是Hurewicz纤维化当且仅当S-映射f：（S，π）→（O，π）是SNπ −纤维化。定义2.5.S -映射f：（S，a）→（O，e）称为S χ-上纤维化，如果对每个空间（X，c）∈χ，S-映射g：（O，e）→（X，c），S-同伦G：（S，a）→P（X，c），其中G0=g<$f，存在S-同伦H：（O，e）→ P（X，c），使得H0= g，Ht<$f = Gt，对所有t∈ I.回想一下[2]，映射f：S→O是上纤维化当且仅当S-映射f：（S，π）→（O，π）是SNπ −上纤维化。定义2.6. S-空间（S，a）的S-子空间（B，a）称为（S，a）的S-收缩子空间，如果存在S-映射R：（S，a）（B，a）使得R（s）s对所有sB. S-映射R称为（S，a）到（B，a）的S-收缩。在本文中，j：（B，a）（S，a）表示S-空间（S，a）的每个S-子空间（B，a）的包含S-映射，并表示单位S-映射。定义2.7. 称S-空间（S，a）的S-子空间（B，a）为（S，a）的K-收缩子空间，如果存在S-映射r：（S，a）（B，a）使得rj s id B. S-映射r称为（S，a）到（B，a）的K-收缩。请注意，S-收缩是K-收缩。第一个主张的反面一般来说是不正确的在下面的定理中，[2]证明了一个充分条件.定理2.8. 设（B，a）是S-空间（S，a）的S-子空间，使得包含S-映射j：（B，a）（S，a）是S{（B，a）}-纤维化。则（B，a）是（S，a）的S-收缩当且仅当（B，a）是（S，a）的K-收缩。3. 形变S-收缩定义3.1. S-空间（S，a）的S-子空间（B，a）称为（S，a）的变形S-收缩，如果存在（S，a）到（B，a）上的S-收缩映射R：（S，a）（B，a），使得j Rs id S.j R和idS之间的S-同伦称为变形S-收缩。实施例3.2. 设（S，a）是S-空间，s 0∈ S是幂等元则关系f hsg h和k fs k g对所有的S-映射h到（S，a）和k从（O，e）成立.回想一下[2]，如果S-映射f，g：（S，a）→（O，e）是S-同伦的，那么映射f，g：S→O是同伦的，（S，a）的元素（即，so aso=so）。让L（ S， so）= {α∈P（ S）：α（0）=so}<$P（ S）是L（S，SO）中SO处的常路径每α，β∈S-映射f，g：（S，π）→（O，π）是S-同伦的当且仅当映射f，g：S→O是同伦的。本文中，对任意的S-同伦H：（S，a）→P（O，e），对任意的t∈I，Ht（或[H]t）是指[2]中的S-映射，Ht：（S，a）→（O，e）满足Ht（s）=H（ s）（ t），对任意的s∈S.也对每个S-同伦H：（S，a）→P[P（O），e[H（s）（r）]和[H（s）（r）]（t）的 S-映射Hrt：（S，a）→（O，e）S.定义2.4.S -映射f：（S，a）→（O，e）称为S-纤维化L（S，so），（αaβ）（0）=α（0）a β（0）=s o as o= s o.也就是说，一对（L（S，s0），a）是P（S，a）的S-子空间。类似地，so}，a）是（L（S，so），a）的S-子空间。定义S-收缩R：（L（ S，so），a）→（{so}，a）满足F（α）=so，对所有α∈L（S，so）.（{o}，）oid L（S，so）sj<$R通过变形S-收缩F：（L（S，so），a）→P（L（S，so），a）由Frt（α）=α（r（1−t））给出，对所有r，t∈I，χ若对每个空间（X，c）∈χ，S-映射g：（X，c）→（S，a），且α∈L（S，so），其中j：（{so}，a）→（L（ S， so），a）是包含S-同伦G：（X，c）→P（O，e）使得G0=f<$g，存在S-同伦H：（X，c）→P（S，a）使得H0=g且f<$Ht=Gt，对任意t∈I.地图S-映射f：（S，a）→（O，e）称为S-同伦等价592A. Saif，A. 克利奇若存在S-映射g：（O，e）→（S，a）使得f∈gs id O，关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理593→◦Sr→SrBSrB∈n和一个S-e扩展mapG：（B，a）P[P（{s}），a]到Sgiven1GEG所有的S，t I。对于每一个人来说，= ∈∈→◦==∈B（）（）SrHrt（s）=EG（t），对所有（s， r）∈S01，t∈I.∈g fs id S. S-空间（S，a）的S-子空间（B，a）称为（S，a）的变形K-收缩，如果包含S-映射j：（B，a）（S，a）是S-同伦等价的.由G诱导的（记为EG）是O中的一条路径，由下式给出：G0t（s）s∈S，r=0;Sr∈ ∈;rt请注意，变形S收缩是变形K收缩。收回此外，变形K-收缩是变形H-收缩。[4][5][6][7][8][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][19]][19][19][130]）。的EG（ t）=G（ s）s B， r IEG1t（s）s∈S， r=1最后一个主张的逆命题对乘法π成立，但在一般情况下，参见（[4]，P.30），对于自然S-空间（X，π）和（A，π）.在下面的定理中，我们将确定当第一个主张的逆为真时的充分条件定理3.3. 设（B，a）是S-空间（S，a）的S-子空间，使得包含S-映射j：（B，a）（S，a）是S{（B，a）}-纤维化。则（B，a）是（S，a）的变形S-收缩当且仅当（B，a）是（S，a）的变形K-收缩。证据 我们已经注意到（only if）部分总是真的，它仍然要显示（if）部分。由于（B，a）是（S，a）的变形K-收缩，则存在S-映射r：（S，a）→（B，a），使得这是一个很好的例子，s id B和jrs id S.首先，存在S-同伦F：（B，a）→P（B，a）使得F0=rj且F1=idB。通过假设，存在S-同伦H：（S，a）→P（B，a）使得H0=r，Ht∈Ft，对任意的t∈I.定义S-收缩R：（S，a）→（B，a），由R（ s）=H（ s）（1），对于所有s∈S。注意，对于所有s∈B，R（ s）=H（ s）（1）=F（ s）（ 1）=s。对于所有TI.注意EG是连续的，因为B是闭的S的子空间定义3.5. 称S-空间（S，a）的闭S-子空间（B，a）在（S，a）中具有关于（O，e）的ES-同伦扩张性质，如果给定S-同伦g：（S，a）→P（O，e）和S01-广义映射G：（B，a）→P[P（O），e] toS，其中EG（0）=g（ s）（ r）对所有的（s， r）∈S0 1，存在S-同伦H：（S，a）→P[P（O），e]使得对所有的r∈I，Hr0=gr，对所有的（s， r）∈S0 1，t∈I，Hrt（s）=EG（t）.示例3.6. 设（S，a）是任意S-空间，（B，a）是（S，a）的任意闭S-子空间.设so S是的幂等元，（S，a）。则（B，a）在（S，a）中关于（{so}，a）具有ES-同伦扩张性质.注意，我们只有一个S-同伦g：（S，a）→P（{so}，a）由g（ s）=so对所有s∈S给出01→o由G（ s）（ r）=so，对于所有s∈B，扩张为EG0t（s）=so，1t（）=o∈ ∈（，）∈，=o对于第二部分j<$rsidS，存在S-同伦G：（S，a）→P（S，a）使得G1=j<$r，G0=idS.由于G1=我们观察到E G（0）=s o（0）=s o=s o（r）= g（s）（r）。Sr硼锶（一）由HR St=0。G（s）（2t）对于所有t∈[0，1/2]，s∈S;利用Hrt（s）=so定义S-同伦H：（S，a）→P[P（{so}），a]对所有的s∈S和r，t∈I.注意，对于所有r∈I，Hr0=gr，j[H（s）（2 t − 1）]对所有t ∈ [1/2，1]，s ∈ S.注意，H0rG0idS和H1rjH1jR.也就是说，j RsidS.因此（B，a）是（S，a）的变形S-收缩。 Q在定义（3.1）中，j r和idS之间的S-同伦，称F：（S，a）P（S，a），称为强变形S-收缩，如果F（ s）（ t） s对所有s B，t I，我们称（B，a）是（S，a）的强变形S-收缩在例（3.2）中，F是强变形S-收缩，使得Frt（ so）=so（ r（1-t））=so=so（ r）锶硼定理3.7. 设（B，a）是S-空间（S，a）的闭S-子空间，使得（B，a）在（S，a）中关于（S，a）具有ES-同伦扩张性质.则（B，a）是（S，a）的强变形S-收缩当且仅当（B，a）是（S，a）的变形S-收缩。证据 我们在上面已经注意到，（only if）部分总是真的，它仍然要显示（if）部分。由于（B，a）是（S，a）的变形S-收缩，存在S-收缩映射R：（S，a）→（B，a）与S-同伦F：（S，a）→P（S，a）使得F0=idS和F1=j<$R.定义S-同伦G：（B，a）→P[P（S），a]，Grt（ s）= F（ s）（ r（1- t））˜ ˜ ˜对于所有r，t，I。我们可以很容易地检验一个强变形S-收缩是一个变形S-收缩。这一主张的反面一般是失败的，见（[4]，P.30），对于自然S-空间（X，π）和（A，π）.在定理（3.7）中，我们将确定当第一个主张的逆为真时的一个充分定义3.4. 设（B，a）是S-空间（S，a）的S-子空间，（O，e）是任意的S-空间。对任意t∈I，称S同伦G：（B，a）→P[P（O），e]为（S，a）的S0 1扩张映射，G0t，G1t：（B，a）→（O，e）有扩张S映射对所有的r，t∈I，s∈B.对于每个t∈I，定义S-映射EG0t，EG1t：（S，a）→（S，a），EG0t（ s）= s， EG1t（ s）= F（ R（ s））（1 − t）对于所有的s∈S。注意，对每一个t∈I，Gt（s）=F（ s）（0）=s=EGt（s）由于R是（S，a）到（B，a）上的S-收缩，则到S，分别表示为EG0t，EG1t：（S，a）→（O，e）。对于空间S的每个闭子空间B，S01将被表示为G1t（s）=F（ s）（1−t）=F（ R（ s））（ 1−t）=EG1t（s）594A. Saif，A. 克利奇B∈到S×的闭子空间（S×{0}）<$（B×I）<$（S×{1}）I.在上面的定义中，对于每个（s， r）∈S01，Esr-O中的路对于所有的S B。则EGt和EG1t是Gt和G1t到S。即S-同伦G是S01-扩张的关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理595B∈BS1Bs0→SrBπSrBSrB∈ =∈B0π相反，假设 j：（S0 1，π）→（S×I，π）是SN-地图S对每一个（s， r）S0 1，G在O中诱导的Esr由下式给出⎧EG（ t）=F（ s）（ r（1−t））s∈B， r∈I;对于所有的（s， r）∈S01.则存在S-同伦H：（S，π）→P[P（O），π]使得对所有r∈I，s，Hr0（s）=gr（s）=gr（s， r）∈S和Hrt（s）=EGt（t）=Gr（s， r）（ t）对所有的（s， r）∈S01，t∈I.s∈S， r=0;锶硼因此，j是SNπ-纤维化。<$F（ R（ s））（1−t）s∈S， r= 1对于所有的t∈I。纤维化设g：（S，π）→P（O，π）是S-同伦，G：（B，π）→P[P（O），π]是（S，π）的S01-扩张映射，其中EG（0）=g（ s）（ r），对所有（s， r）∈S01.定义S-映射gr：（S×I，π）注意，对于所有s∈B，r∈I，EG（0）=F（ s）（ r），通过gr（s， r）=g（ s）（ r），对于所有r∈I，s∈S，定义SrF（ s）（0），和EG（0）=F（ R（ s））（ 1）=（j<$R）（ R（ s））=j [R（ R（ s））]s0S-同伦Gr：（S01，π）→P（ O，π）满足Gr（s， r）（ t）=EG（t），其中all（s， r）∈S01，t∈I. 注意=j[R（ s）]=F（ s）（ 1）对于所有的S。也就是说，EG（0）F（ s）（ r）对于所有（s， r）S01。以来（B，a）在（S，a）w.r.t（S，a）中具有ES-同伦扩张性质则存在S-同伦H：（S，a）→P[P（S），a]使得Gr（s， r）（0）=EG（ 0）=g（ s）（ r）=gr（s， r）对于所有的（s， r）∈S01.也就是说，Gr=grj。由于j是SN-纤维化，则存在S-同伦Hr：（S×I，π）→P（O，π）使得HH（ s）=EG（ t）对于所有（s， r）∈S0 1，t∈H0r = gr和Hrj = gr. 则所需的S-同伦H：（S，r0rI.RTSRBπ）→P[P（O），π]定义为：Hrt（s）=Hr（s， r）（ t），对所有r，t∈I，s∈S。 Q利用Fr（s）（ r）=Hr1（s）定义S-同伦Fr：（S，a）→P（S，a）对所有r∈I，s∈S. 注意Fr（s）（0）=H01（s）=EG（ 1）=s和在下面的定理中，我们证明了Sχ-纤维化在求具有变形S-收缩核的扩张S-映射时，财产定理3.9. 设f：（S，a）（O，e）是S χ-纤维化。令（B，c）是S-空间（X，c）的S-子空间，使得（B，c）是变形（X，c）的G-S-收缩. 如果h：（B，c）→（S，a）和k：（X，c）→（O，e）是Sr硼锶596A. Saif，A. 克利奇→SrB∈∈=→Bπ∈◦F（ s）（1）=H11（s）=Es1（1）=F（ R（ s））（ 0）=R（ s）=（jR）（s）对于所有的S。也就是说，Fr是idS和j R之间的S-同伦。因为R是S-收缩，所以Fr是变形S-收缩。关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理597对于一个强性质，我们注意到，对于每个s∈B，r∈I，Fr（s）（r）= H r1（s）= E G（1）= F（s）（0）= s.因此（B，a）是（S，a）的强变形S-收缩核。 Q在下面的定理中，回想一下[2]，函数f：S自然S-空间（S，π）到（O，π）的O是S-映射当且仅当它是连续的。定理3.8. 设（B，π）是S-空间（S，598A. Saif，A. 克利奇π）。 则（B，π）在（S，π）中具有ES-同伦扩张性质任意S-空间（O，π）∈Nπ当且仅当包含S-映射j：（S0 1，π）→（S×I，π）是SN-上纤维化。证据设（B，π）具有ES-同伦扩张性质（S，π）关于S-空间（O，π）。设gr：（S×I，π）→（O，π）是S-映射，Gr：（S01，π）→P（ O，π）是S-同伦，S-映射使得f∈h=kB，则存在S-映射hr：（X，c）→（S，a）使得f∈hr=k且dhr|Bsh.关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理599证据 由于（B，c）是（X ，c）的变形S-收缩，则存在S-收缩映射R：（X，c）→（B，c）和S-同伦F：（X，c）→P（X，c）使得F0=j<$R且F1=idX.德费恩S-映射g：（X，c）→（S，a）与S-同伦G：（X，c）→P（O，e）600A. Saif，A. 克利奇分别由g=h<$R和Gt=k<$Ft对所有的t∈I注意G 0= k <$F 0= k <$（j <$R）=（k <$j）<$R = k |B R=（fh）R = fg.由于f：（S，a）→（O，e）是Sχ-纤维化，则存在S-同伦H：（X，c）→P（S，a）使得H0=g且f<$Ht=对所有的t∈I。定义hr：（X，c）→（S，a），其中hr=H1。注意fhr=fH1=G1=kF1=k对于所有x∈B，关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理601SrH 0（x）= g（x）=（h <$R）（x）= h（R（x））= h（x）.Gr0=grj。用r r定义S-同伦G：（B，π）→P[P（O），π]Grt（s）=Gr（s，r）（t）对所有r，t∈I，s∈B.对于每个t∈I，定义S-映射EG0t，EG1t：（S，π）→（O，π）EG0t（s）=GR（（s，0），t）， EG1t（s）=GR（（s， 1），t）602A. Saif，A. 克利奇PP对于所有s S，分别。注意，对于每个t I，EGt和EG1t分别是G0t和G1t到S也就是说，从e hH1 开始，nhsh|BbyS-homoto pyH|B：（B，c）P（S，a）. Q关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理6034. 覆盖同伦定理本节的主要结果是覆盖同伦理论-rems用于将S-映射映射到S-纤维和S-纤维。604A. Saif，A. 克利奇S-同伦G是到S的S01-扩张映射。对每一个（s， r）∈S01，χ χ关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理605由G诱导O中E-路径由EG t给出B=Grs r606A. Saif，A. 克利奇对于每个S-mpf：（S，a）→（O，e），R_（2）关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理607Sr对于所有的t∈I。608A. Saif，A. 克利奇sr（）（，）（t）关于S-映射到Sχ-上和Sχ-上的收缩性质和覆盖同伦定理609P（S，a）→P（O，e）是S-mapgiven，y∈f（α）=f∈α