同伦分支空间在双同伦理论中的重要性

理论计算机科学电子札记100（2004）95-109www.elsevier.com/locate/entcs流的同伦分支空间菲利普·戈谢PreuvesProgrammesetSyst`emesUniversit'eParis72 Place Jussieu75251 PARIS Cedex 05法国http：//www. pps。你好fr/~gaucher/摘要在这次演讲中，我将解释同伦分支空间函子（和同伦合并空间函子）在双同伦理论中的重要性。关键词：并发，同伦，同伦上极限，模型范畴，单纯模型范畴，正合序列，锥，同调，局部化1介绍在[10]中，读者将能够找到并发的在文献[8]中引入了一个模型范畴-它允许研究HDA的同伦（参见。（6，7）。一个好的同伦概念必须保持HDA的计算机科学属性，如初始和最终状态，死锁和不可达状态。特别是，它必须保持时间的方向，因此有向同伦的收缩被称为双同伦。 这样一来，我们就可以不去研究单流范畴本身，而去研究单流范畴关于双同伦等价的局部化。我将在这次演讲中解释同伦分支空间函子在双同伦理论中的强大功能。相应的论文有1571-0661 © 2004 Elsevier B. V.根据CC BY-NC-ND许可证开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2004.08.01596P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-CCC分支空间与弱双同伦2模型范畴如果C是一个范畴，则用Map（C）表示其对象是C的态射且其态射是C的交换平方的范畴。在范畴C中，对象x是对象y的收缩，如果存在C的f：x−→y和g：y−→x使得g<$f=Idx。C的函子分解（α，β）是从Map（C）到Map（C）的一对函子，使得对于Map（C）的任何f对象，f=β（f）<$α（f）。定义2.1[12，11]设i：A−→B和p：X−→Y是范畴中的映射。则i具有关于p的左提升性质（LLP）（或p具有关于i的右提升性质（RLP）），如果对于任何交换平方一αXIg你好，pJβBJY存在g使得两个三角形可交换。模型范畴的概念有几个版本。下面的定义给出了我们将要使用的定义定义2.2[12，11]范畴C上的模型结构是Map（）的三个子范畴，称为弱等价、上构和上构，两个函因子分解（α，β）和（γ，δ）满足下列性质：(i) （2-out-of-3）如果f和g是C的态射，使得g<$f被定义，并且f、g和g<$f中的两个是弱等价，则第三个也是弱等价。(ii) 如果f和g是的态射，使得f是g的收缩，g是一个弱等价、上纤维化或纤维化，那么f也是。(iii) （提升）定义一个映射为平凡上纤维化，如果它既是上纤维化又是弱等价。类似地，定义一个映射为平凡纤维化，如果它既是纤维化又是弱等价。那么平凡的余振动有关于振动的LLP，余振动有关于平凡的振动的LLP。(iv) 对于任何态射f，α（f）是余纤维化，β（f）是平凡纤维化，γ（f）是平凡余纤维化，δ（f）是纤维化。P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-97C D CDC−→{−}定义2.3[12，11]一个模型范畴是一个完备且上完备的范畴C以及C上的一个模型结构。命题和定义2.4 [12，11]奎伦附加函数是模型范畴之间的一对伴随函子F：n：G，使得下列等价性质之一成立：(i) 如果f是一个协方差矩阵，f（f）是一个常数，那么F（f）也是一个常数。(ii) 如果g是一个纤维化（ （g），则G（g）也是如此。有人说F是一个左Quillen函子。有人说G是一个右Quillen函子。定义2.5 [12，11]一个模型范畴C的对象X是相关的（分别是：当且仅当从的初始对象到X的规范态射<$−→X（分别为从X到最终对象的规范态射X11）是一种纤维化。 a fibration）。对于模型范畴的任何对象X，标准态射<$X：<$−→从初始对象到X的X可以分解为一个复合<$α（<$X）Q（X）β（<$X）X其中，根据定义，Q（X）是一个弱等价于X. 函子Q：C −→ C称为系数置换函子。3提醒有关的类别，在续集中，任何拓扑空间都将被假定为紧生成的（关于这类拓扑空间的更多细节见[1，14]，[13]的附录以及[8]的附录）。设n为1。 设Dn是n维闭圆盘.设Sn−1=<$Dn是Dn的边界，其中n为1。注意，S0是离散两点拓扑空间1， +1。 设D0是单点拓扑空间。 设S-1=S是空集。下面的定理是众所周知的。定理3.1[11，12]紧生成拓扑空间范畴可以给Top(i) 弱等价是弱同伦等价。(ii) 纤维化（有时称为Serfibrations）是满足关于连续映射Dn−→ [0，1] ×Dn的RLP（右提升性质）的连续映射，使得x<$→（0，x）且对于n 0。98P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-→−→−→+(iii) 上构式是满足LLP（左提升性质）的连续映射，其关于包含映射Sn −1−→Dn满足RLP的任何映射。(iv) 任何拓扑空间都是纤维性的。(v) 由此模型结构所产生的同伦等价与通常的同伦等价一致。定义3.2[8]一个连续流X由一个拓扑空间PX，一个离散空间X0，两个从PX到X0的连续映射s和t，以及一个连续的结合映射<$：{（x，y）∈PX×PX;t（x）=s（y）} −→PX，使得s（x<$y）=s（x）和t（x<$y）=t（y）。一个连续映射f：X−→Y的态射由一个集合映射f0：X0−→Y0和一个连续映射Pf：PX−→PY组成，使得f（s（x））=s（f（x）），f（t（x））=t（f（x））和f（x<$y）=f（x）<$f（y）。相应的类别将由Flow表示。拓扑空间X0称为X的0-骨架. 拓扑空间PX称为路空间，其元素称为X的非常数执行路。Flow的初始对象是空集。 终端对象1是由10={0}，P1={u}定义的流，并且必然uu=u。定义3.3[8]设Z是一个拓扑空间。那么Z的球是一个简单的Glob（Z），定义如下：Glob（Z）0={ 0， 1}，PGlob（Z）=Z，s= 0，t= 1，复合律是平凡的。定理3.4[8]可以给出一个模型结构，使得：(i) 弱等价是弱S-同伦等价，也就是说，弱S-同伦等价是一个映射流f：X−→Y的态射，使得f：X0−→Y0是集合的同构，f：PX− → PY是拓扑空间的弱同伦等价。(ii) 纤维化是满足关于态射Glob（Dn）−→ Glob（[0，1] ×Dn）（n0）的RLP的连续映射。这些纤维化恰好是连续流f：XY的态射，使得Pf：PXP Y是Top的一种纤维化。(iii) 上构是满足LLP的态射，关于满足RLP的任何映射，关于态射Glob（Sn−1）−→Glob（Dn），n0和关于态射<$−→ {0}和{0，1} −→ {0}。(iv) 任何一个人，都是一种执着。设Igl是图Glob（Sn−1）Glob（Dn）的态射集，n0. 用Igl表示Igl与图的两个态射的并P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-99++−→++−→。R：{0， 1}→ { 0}，C：{0}。定义3.5[4]一个Igl-胞腔复形是一个流X，使得从流的初始对象到X的流X的规范态射是Igl元素的推出的transfinite合成。完整和忠实的子类别其对象是Igl-细胞复合物的Flow的将由Igl细胞表示。++Igl胞元复合体的I gl胞元++它是足够的模型高维自动机（HDA），在至少那些由precubical集建模的[9，2]。HDA的这种几何模型被设计为定义和研究保持待建模的HDA的计算机科学性质的等价关系，使得其随后能够在Igl细胞的方便的局部化中工作。例如，被保留的属性是初始或最终状态，是否存在死锁和不可达状态[8]。系数置换函子是一个函子Q：Flow−→Iglcell。的来自混凝土HDA的水流都是混合的。4同伦分支空间函子一个执行流的分支空间是以相同方式开始的非常数执行路径的芽空间。在[ 8 ]中还引入了从拓扑流范畴到紧生成拓扑空间范畴Top的分支空间函子P−，以拟合在[9]中引入的HDA建模的严格球状ω-范畴的分支半球神经的定义。[5]。命题4.1 [8，4]设X是一个连续波。 存在一个拓扑空间P-X在同胚下是唯一的，并且存在一个连续映射h-：P-X P-X，满足以下泛性质：(i) 对于PX中的任何x和 y，使得t（x）=s（y），等式h−（x）=h−（x<$y）成立。(ii) 设φ：PX−→Y是连续映射，使得对PX的任意x和y，使得t（x）= s（y），等式φ（x）= φ（x <$y）成立. 存在唯一的连续映射φ：P-X-→ Y使得φ= φ <$h-。此外，一个具有同胚P−X<$=P−αXα∈X0其中P−αX：=h−。。β∈X0Pα，βX<$. 映射X<$→P-X产生一个函数100P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-−→−→−→−→−→P-从流量到顶部。定义4.2[8，4]设X是一个多项式。拓扑空间P-X称为X的分支空间。命题4.3[4]存在拓扑流f：X−→Y的弱S-同伦等价使得拓扑空间P-X和P-Y不是弱同伦等价。命题4.3的证明思路如下。对于给定的连续流X，根据命题4.1，拓扑空间P-X是由X的合成律诱导的连续映射PX×X0PX-→PX和投影映射PX×X0PX-→PX在第一个因子上的余均衡器。 一个人不能期望一个coequalizer将一个对象化的弱同伦等价变换为弱同伦等价必须使用一种同伦余均衡器。如果两个同伦流是弱S-同伦等价的，那么它们应该满足相同的计算机科学性质。在上面的例子中，我们得到了两个这样的流，但是它们具有非常不同的分支空间。但定理4.4[4]若f：XY是余模流之间的余模流的弱S-同伦等价，则拓扑空间P-X和P-Y是同伦等价的。这表明分支空间的定义是直到同伦的好定义。事实上，我们有定理：定理4.5[4]存在一个函子C−：Top Flow使得函子对P−：Flow « Top：C−是一个Quillen伴随。特别地，re是一个同胚P−（l−i→mXi）<$=l−i→mP−Xi。定义4.6一个连续流X的同伦分支空间hoP−X通过定义是拓扑空间P−Q（X）。定理4.7[4]函子ho P−：流顶部Ho（Top）满足以下普适性质：如果F：Flow Ho（Top）是发送弱S-同伦等价到同构的另一个函子，并且如果存在自然变换F <$P−，则后者的自然变换因子唯一地作为复合F ho P−P−。直到同伦，同伦分支空间hoP−（X）是良好定义的，并且对于任何系数多项式都与P−X重合，因此特别是对于任何多项式来自HDA。分支空间函子和同伦分支空间函子的行为对于建模HDA的同伦流是相同的，并且对于其他的同伦流可能不同。P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-101−→。α。。wherePX：=hS−→−→−→−→5同伦归并空间函子这是前一个函子的对偶形式。 本节收集了一些关于它的结果。命题5.1[4]设X是一个多项式。存在一个拓扑空间P+X，它在同胚下是唯一的;存在一个连续映射h+：P× P+X，它满足以下泛性质：(i) 对于PX中的任意x和y，使得t（x）=s（y），等式h+（y）=h+（x ≠ y）成立。(ii) 设φ：PX−→Y是一个连续映射，使得对于PX的任意x和y，使得t（x）=s（y），等式φ（y）= φ（x <$y）成立. 当pφ：P+X−→Y→h时，存在唯一的连续性，使得φ=φ→h+.此外，一个具有同胚P+X=P+Xα∈X0++αP+：流量−→顶部。β∈X 0Pβ，αXβ。 映射X›→P+X产生一个函子定义5.2[4]设X是一个多项式。拓扑空间P+X称为X的合并空间。定理5.3[4]存在函子C+：Top Flow使得函子对P+：Flow « Top：C+是Quillen附接。特别地，re是一个同胚P+（l−i→mXi）<$=l−i→mP+Xi。定义5.4[4]通过定义，一个连续流X的同伦合并空间hoP+X是拓扑空间P+Q（X）。定理5.5[4]函子ho P+：流顶部Ho（Top）满足以下普适性质：如果F：Flow Ho（Top）是另一个发送弱S-同伦等价到同构的函子，并且如果存在自然变换F <$P+，则后者的自然变换因子唯一地作为复合F ho P+P+。6第一个应用：研究弱双同伦弱S-同伦等价类是一个假设保持各种计算机科学性质的同构类的例子。这类的态射满足以下性质：102P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-++++GL。α++++00(i) 三取二公理，即如果三个态射f，g和g f中的两个属于S，那么第三个也属于S：这个条件意味着类S定义了一个等价关系。(ii) 嵌入函子I：Iglcell−→Flow诱导函子I：Igl细胞[S-1]-→分别位于一类I-胞腔复形范畴和一类关于弱S-同伦等价的同伦流范畴，弱S-同伦等价是范畴的等价特别地，它反映i s o morphis s，也就是说，如果X=Y且如果I（X）=I（Y）。在这种情况下，任何人都可以使用具有以下内容的对象的w孔类别：是一个更丰富的数学框架。在[8]中引入了T-同伦等价类，以从计算机科学的角度识别Igl- cell复形等价，并且在Iglcell[S-1]中未识别。 实际上，如果Iglcell[S-1]的两个对象X和Y同构，则0-骨架X0和Y0同构。合并弱S-同伦等价和T-同伦等价的概念的推广得到了0-双同伦等价类ST0定义6.1 [8]设X是一个多项式。设A和B是X0的两个子集.我们说A被B包围（在X中），如果对任何α ∈ A，或者α ∈ B，或者存在PX的执行路径γ1和γ2，使得s（γ1）∈B，t（γ1）= s（γ2）= α和t（γ2）∈B。我们用AB表示这种情况。定义6.2[8]设X是一个多项式。设A是X0的子集.则XverA的约束XTA是满足（XTA）0=A的唯一性，并且P（XTA）=（α，β）∈A×APα，βX具有由PX诱导的拓扑。定义6.3[8]双行f：X−→Y的态射是0-双同伦等价当且仅当满足以下条件：(i) f：X−→YTf（X0）的变形模是一个弱S-同伦多项式方程组. 特别地，集合映射f 0：X0−→ Y 0是一对一的。(ii) 对于α∈Y0\f（X 0），拓扑空间P−αY和P+Y是单粒子.(iii) Y0f（X0）.0-双同伦等价类记为ST0。但事实证明定理6.4[4]函子Iglcell[ST-1]-→Flow[ST-1]不重新互选同构 更确切地说，存在一个Igl-细胞复合物C3cor-cor-cor-cP. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-1030Stαst STStSt−→+0响应于在Igl单元[ST-1]中与有向段I不是同构的三个计算的并发执行，尽管相同的流程C3在Flow[ST−01]中同构于I。正确的行为是Flow [-1]中的0。实际上，表示n个进程并发执行的HDA必须等价于好的同伦并发方法中的有向段。因此，对这个事实的解释是0-双同伦等价的类0不够大。定义6.5[4]双行f：X−→Y的态射是1-双同伦等价当且仅当满足以下条件：(i) f：X−→YTf（X0）的变形模是一个弱S-同伦多项式方程组. 特别地，集合映射f 0：X0−→ Y 0是一对一的。(ii) 对于α∈Y0\f（X 0），拓扑空间P−αY和P+Y是弱的可收缩的(iii) Y0f（X0）.1-双同伦等价类记为ST1。任何0-双同伦等价当然是1-双同伦等价。此外，弱S-同伦等价与T-同伦-py等价的组合已经可以给出ST1\ST0的元素！和定理6.6[4]通过对T-同伦的概念进行适当的弱化，得到了一类态射ST1，其中hST0<$SgTl1，图中C3和I在局部化I+cell[ST−11]中同构。实际上，有两种自然的方式可以削弱0的定义。 可以用弱可收缩或可收缩来替换语句中的单例。这样，我们得到另一类态射ST J1，其中STJ1<$ST1，并且我们有：定理6.7[4]局部化Iglcell[STJ-1]和Iglcell[ST-1]相等，+1+1valent.不幸的是，命题6.8 [4] ST 1的两个态射的合成不一定属于ST 1.利用同伦分支空间函子，引入了一类新的2阶同伦流态射.定义6.9[4]双行f：XY的态射是2-双同伦等价当且仅当满足以下条件：104P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-++◦+1+2+1+2+22+2+3(i) f：X−→YTf（X0）的变形模是一个弱S-同伦多项式方程组. 特别地，集合映射f 0：X0−→ Y 0是一对一的。(ii) 对于rα∈Y0\f（X 0），拓扑空间hoP-Y和hoP+Y是弱的α α可收缩的(iii) Y0f（X0）.2-双同伦等价类记为ST2。还有：定理6.10[4]我们有范畴的等价Igl细胞[ST-1]Igl细胞[ST-1]其中I glcell[ST-1]（resp. I glcell [ST-1]）是范畴的局部化，I gl-胞腔复形关于1-双同伦等价（分别2-双同素等价）。 ST 2在合成下关闭。 此外，嵌入函子I：I glcell−→Flow诱导了范畴的等价性I：I gl电池[ST-1] F低[ST-1]。特别地，函子Iglcell[ST−1]−→Flow[ST−1]反映同构，phisms。+2 2性质f ∈ ST 2和g ∈ ST 2= g ∈ ST 2没有理由被2-双同伦等价满足。事实上，如果gf和f都是2一对一的集合映射，那么g也没有理由是一对一的。 因此，为了理解Flow[ST-21]的同构，我们可以引入另一个构造。定义6.11[4]设X是一个多项式。 则X0的子集A是本质的，如果X 0<$A，且如果yα∈/A，则p是hoP−X和hoP+X的空间α α是弱收缩的定义6.12[4]如果满足以下条件，则双行f：X−→Y的态射是3-双同伦等价：(i) A∈X0是必不可少的当且仅当f（A）∈Y0是必不可少的(ii) 对任意本质A <$X0，存在本质子集B <$A，使得f：XTB−→YTf（B）是一个弱S-同伦方程.3-双同伦等价类记为ST3。定理6.13[4]局部化Iglcell[ST-1]和Iglcell[ST-1]是等式：等价的，态射类ST 3满足三取二公理。P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-105......，t/wGL，，t/WGL+St+的、、CC+33此外，嵌入函子I：Iglcell−→Flow诱导了一个等价类别I：I gl电池[ST-1] F低[ST-1]。特别地，函子Iglcell[ST−1]−→Flow[ST−1]反映同构，phisms。+33类ST2不满足三取二公理，但是收缩不变的。类3确实满足三取二公理，但可能不是收缩不变的。所以上面的定义都不允许描述Iglcell[ST-1]的同构。 情况可以概括为+2个用下面的图表：Igl细胞glJ1Wglzgl−1I+cell[S−1]I+cell[ST−01]I+cell[ST−1 ]I+cell [ST−21] I+cell [ST3]w/ww？？WJ/WJ w？？Jw？？JFlow[S−1]Flow[ST−01]Flow[ST−11]，Flow[ST−21]Flow[ST−31]，，，，，，，、、、 、、，，，流符号？？这意味着我们不知道函子是否是范畴的等价。符号/表示对应的函子不是等价的。7第二个应用：分支同调在下面的意义上，单流范畴是一个单纯模型范畴[3]定义7.1[15，12，11] x单纯模型范畴是一个模型范畴，对于任何对象X和Y，它都有一个单纯集合Map（X，Y），满足以下公理：(i) 集合Map（X，Y）0正则同构于C（X，Y）(ii) 对于任何对象X，Y和Z，存在单纯集的态射Map（Y，Z）×Map（X，Y）−→Map（X，Z）它是关联的106P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-C| −|−→ −→C(iii) 对于C的任何对象X和任何单纯集K，存在C的对象X<$K，使得存在单纯集的自然同构Map（X<$K，Y）<$=Map（K，Map（X，Y））(iv) 对于任意的对象X和任意的单纯集K，存在一个对象XK使得存在单纯集Map（X，YK）的自然同构(v) 对于任何上纤维化i：AB和任何纤维化p：XY，单纯集Q（i，p）：Map（B，X）−→Map（A，X）×Map（A，Y）Map（B，Y）是单纯集的纤维化。此外，如果i或p是平凡的，则纤维化Q（i，p）也是平凡的。回想一下，存在一对伴随函子|−|：SSet«Top：S其中是 几 何实现函子，S是奇异神经函子。SSet的n-单形记为n [n].它的边界用[n−1]表示。设n是n维单形.紧生成拓扑空间的范畴Top是一个单纯模型范畴，通过设置Map（X，Y）n：= Top（X ×n，Y），X <$K：= X ×|K| 01- 02 |K|，X）。单纯集的范畴SSet也是单纯模型范畴，通过设置Map（X，Y）n：=Top（X× N [n]，Y），X<$K：=X×K和XK：= Map（K，X）[15]。这意味着，模型范畴的流可以在单纯集范畴上得到丰富，而且这种丰富与定义7.1意义上的模型结构是相容的。符号n是对应于n维单纯形的由于这种富集的存在，存在同伦余极限的显式公式[11]。特别是，一个图的同伦推出看起来如下：定义7.2[11]图的同伦推出A BJCP. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-107⊗∆−−−→−−−→∗−1是双曲曲线A组0B组A0AJ1JC然后很容易证明：定理7.3 [3]设X是一个连续图。 那么拓扑空间holim ho P-（X）和ho P-（holimX）是同伦等价的（它们确实都是余维的）。特别地，同伦分支空间函子与同伦推出交换。定义7.4 [3]设f：X −→ Y是一个双态射。的圆锥体Cff是同伦推出的范畴XfYJJ1Cf其中，1是终端流。根据定理定理7.5 [3]终端流的同伦分支空间是可压缩的.可以容易地推导出分支同源性的长精确序列定义7.6[3]设X是一个多项式。则第（n + 1）支同调群Hn−+1（X）被定义为增单纯集N −（X）的同调群，定义如下：(i) Nn−（X）=Sn（hoP−X）forrn0(ii) N−（X）=X0(iii) 增广映射：S0（hoP-X）-→X0是由映射γ<$→s（γ）从hoP-X =S0（hoP-X）到X0。定理7.7[3]对于任何一个X，有(i) H0−（X）=ZX0/Im（s）108P. Gaucher / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 100（2004）95-−→(ii) 短正合列0→H1−（X）→H0（hoP−X）→ZhoP−X/Ker（s）→ 0(iii) Hn−+1（X）=Hn（hoP−X），其中n为1。定理7.8[3]对任意的同态f：XY，都有长正合列· · ·→Hn−（X）→Hn−（Y）→Hn−（Cf）→. . 。· · ·→H3−（X）→H3−（Y）→H3−（Cf）→H2−（X）→H2−（Y）→H2−（Cf）→H0（ho P-X）→ H0（ho P-Y）→ H0（ho P-Cf）→ 0.对于n 0，函数X<$→Hn−（X）是2-二次同态py等价的.函子X<$→H0（ho P−X）仅在弱S-下不变。同伦等价因此，上面的长正合序列是不令人满意的。它仍然需要找到一个确切的序列，其每一项将是一个函子不变的2-双同伦等价。引用[1] 布朗河，澳-地“拓扑学”，埃利斯·霍伍德有限公司，奇切斯特，1988年，第二版，xviii+460页，一般拓扑，同伦类型和基本广群的几何帐户。[2] 克里德利格河，实现并发程序的静态分析器：问题和观点，在：程序和系统分析中的逻辑和操作方法，1996年，pp. 244 http://citeseer.nj.nec.com/11028.html -259，www.example.com。[3] Gaucher，P.，分支同源性的长精确序列，arXiv：math.AT/0305169。[4] Gaucher，P.，同伦分支空间和弱双同伦，arXiv：数学，AT/0304112。[5] Gaucher，P.，HDA的分支神经和Kan条件，第11类的理论和应用pp.75-106.[6] Gaucher，P.，同伦上的并发过程（I），C. R. Acad. Sci. 巴黎系 我数学。 336（2003），pp.593[7] Gaucher，P.，到同伦的并发过程（II），C. R. Acad. 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