理论计算机科学电子笔记167（2007）179-202www.elsevier.com/locate/entcs算子方程解的可计算性Volker Bosserho1，2Institutfur？TheoretischeInformatikundMathematikUniversit？tderBundeswehr德国慕尼黑摘要我们研究算子方程的图灵机为基础的框架内的可计算性分析。有没有一种算法可以将对（T，u）（其中T是以程序的形式给出的）映射到Tx=u的良好近似解？这里我们考虑T是Hilbert空间的有界线性映射的情况。我们特别感兴趣的是计算广义逆T<$u，这是反问题理论中解的标准概念。 典型地，Tt是不连续的（即方程Tx=u是不适定的），因此没有可计算的映射。然而，在这方面，我们将使用正则化理论中定理的有效版本来证明映射（T，T<$u，u，<$T<$u <$）<$→T<$u是可计算的。然后，我们继续研究平均情况下的解决方案的可计算性有关的高斯措施，已被认为是在信息基础上，复杂性这里Tt被认为是L2-空间的一个元素。我们定义了这类空间的适当表示，并利用本文第一部分的结果证明了（T，T<$，<$T<$<$L2）<$→T<$是可计算的。保留字：可计算泛函分析，算子方程，正则化，高斯测度1介绍1.1不适定算子方程我们研究了以下问题：给定两个可计算（实或复）赋范空间X和Y，以及一个计算有界线性映射T：X→Y的程序，我们能否有效地找到一个计算1 这项工作得到了DFG赠款HE 2489/4-1的支持。2 电子邮件：volker. unibw.de1571-0661 © 2007 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2006.08.013180诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179∈⊕→ǁ − ǁ ǁ ǁ⊆→⇒我T−1？在连续对象上的可计算性模型，我们将发现我们的考虑应该是[20]的基于图灵机的方法，特别是它对可分赋范空间的扩展（例如，在[3]的介绍部分我们假设熟悉这些概念。[3]当然，T−1只对内射T是有好定义的。在X和Y是Banach空间，T是双射，布拉特卡巴拿赫如果我们限定X和Y是希尔伯特空间，则存在Tx=u的解的更广泛的概念，这在反问题理论中是很好地建立的，并且允许我们也处理非内射T-它被定义为最佳近似解，它是残差的最小化者。TXu并最小化X在所有剩余的极小化者中; T<$u对于所有u都是定义良好的范围T（范围T）且为a闭线性映射 给出了广义逆的详细处理在[9]中;最重要的事实也可以在[8，第2.1节]中找到当值域T是闭的时，T是有界的。然而，在许多重要的应用中尺寸范围-这是不完整的。在[11，8]中给出了一些例子。无界线性映射S：Y X的逼近问题被认为是一个不适定问题，这一问题可以追溯到Hadamard。可计算映射必然是连续的，这是可计算分析中的一个基本事实。因此，在不适定的情况下，T<$Pour-El和Richards下面（这里我们给出Brattka的公式[2]）：定理1.1设Y，X是可计算Banach空间，S：Y→X是闭无界线性算子。设在dom S中存在可计算序列（en）n∈N，使得span {en}n∈N在Y中稠密，且（Se n）n∈N是X中的可计算序列。则存在可计算点u0∈Y使得Su0∈ X不可计算。Q很容易构造一个可计算的紧算子T：l2l2，使得Tfuls满足定理5的假设。一般的线性不适定问题也在本文[3]实际上，我们将使用[20，3]中定义的这些参数δX，νN，ρ和ρ>。4B有界T（B）紧5用于执行上述操作之前，请执行以下操作：achunitvecto1ei。诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179181→基于信息的复杂性（IBC）在这个框架中，一个问题是，通过应用连续线性实函数的有限集合来检索的关于某些u ∈ D的“信息”是否元素Su达到有限精度。Werschulz [21，定理2.1]得到了下面的否定结果：定理1.2若Y和X是赋范空间，且S：DX是定义在Y的某个线性子空间D上的线性无界映射，则对任意f0，.，f n−1∈ L（Y，R）且任意C > 0存在u1，u2∈D，，≤ 1，使得和fi（u1）=fi（u2），对所有0≤i≤nS（u1）− S（u2）> C。QTraub 和Werschulz（在[17]的第6章）把这个结果类比于Pour-El 和Richards1.2正则化在数值数学中，已经发展了一些方法来部分克服与求解不适定算子方程Tx=u相关的困难。一个标准的方法（可以追溯到吉洪诺夫和菲利普斯的思想）是用一系列“附近”适定方程代替原始方程这些方程的解然后收敛到原始方程的解。然而，一般来说，人们不知道通过正则化获得的近似值与实际解有多接近，除非关于解的先验信息可用。有大量关于正则化方法的文献;例如参见[8]。本文的第一部分致力于一般正则化方法的有效版本：在第2节中，我们将首先给出有界自伴算子的谱定理和算子微积分的一些背景。然后，在第三节中，我们给出Groetsch定理的一个有效形式，雅各布斯，它说我们可以从u，T，T和T<$u计算T <$u。1.3平均案例解决方案在基于信息的复杂性中，Werschulz和其他人也研究了在平均情况下的不适定线性逼近问题S：λY→X。6IBC的介绍可以在以下网站找到：在各论中[15，22，13，17]。182诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179在此设置中，另外假设D：= domS和S是可测量的，并考虑X上的测量μ，使得μ（D）= 1。现在的问题是，对于任何给定的精度，是否有元素f0，.，f n∈ LY，R和a映射（所谓的∫（f0（u），.，f n（u））−SuDμ（du）小于1。在这种情况下（见[21，12，22，18]和综述[16]）的一个重要的积极结果是，对于Y和X是实可分Banach空间，γ是Y上的中心高斯测度，每个γ-可测线性映射（定义见下文）都在Lp（Y，γ;X）中，并且形式[y] →f0（y）x0+f1（y）x1+.. . +fn−1（y）xn−1]，fi∈Y<$，xi∈X是Lp-稠密的，其中p≥1.这清楚地暗示了线性不适定问题对于高斯测度平均是可解的在[22，第7.5.1节]中，这是针对X是Hilbert空间并且p=2而示出的;在[23，第7.5.1节]中[18]这一说法是含蓄的。为了完整性，我们在第4节收集了高斯测度的先决条件后，在第5节给出了证明。我们将在下面看到，T<$是可测的，所以刚才提到的IBC结果完全适用于它。从可计算性理论的观点来看，问题出现在什么情况下合适的泛函fi和元素xi可以有效地找到。更确切地说，我们提出以下问题：设X和Y是可计算实Hilbert空间，γ是Y上的高斯测度. 是否存在一个有效的过程，它将每个m ∈ N和每个对于某个T：X→Y的程序转换成一个数n∈N和一个向量（a0，. ，a n−1，b0，. ，b n−1）∈ Y n× X n使得T<$−0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. +an−1，. <$bn−1<$L2（Y，γ;X）≤2−m？为了正确地研究这个问题，我们将在第6节中定义L2（Y，γ;X）上的一个有效性如果我们允许一个用于T的程序和一个由T的所有有理上界L2（Y，γ;X）组成的列表作为附加输入，那么我们可以构造一个用于上述任务的算法这是我们的主要结果，2诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179183在第7节证明。我们的算法在本质上依赖于本文第一部分中有效的正则化方法。184诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179BBR81.4确认作者要感谢Peter Hertling的有益讨论和评论。2有界自伴算子对于赋范空间X和Y，设L（X，Y）表示从X到Y的有界线性映射空间。为方便起见：L（X）：=L（X，X）。对于（实或复）Hilbert空间X和任意自伴算子T∈ L（X），设σ（T）表示谱，mT和MT表示T的谱界，即mT是σ（T）的最小元，MT是σ（T）的最大元。[10，第117页]）。记住：T= max {|M T|、|M T|}。我们现在陈述谱定理（的简化版本）。[10，Theo-rem 5.2.7]）：定理2.1设X是Hilbert空间，T∈ L（X）是自伴的. 让（E λ）λ∈R∈（L（X））是由T生成的谱族. 然后我们有（i）Eλ2−Eλ1是非正则自伴的，且llλ2≥λ1。（二）对所有的a mT和b≥ MT。布T=λ dEλ一Q这里积分被解释为算子值Riemann-Stieltjes积分：对于每个f∈C[a，b]布f（λ）dEλ一定义类似于经典的Riemann-Stieltjes积分，其Riemann和的形式为克i=1f（λi）（Eλi−Eλi−1）其中ha=λ0<.. . <λn=b且λi∈[λi−1，λi]。[7]用（X，Y）来表示这个空间更常见，但我们更喜欢将这个符号与Borelσ-代数联系起来使用。[8]见[10]。 谱族的定义及其进一步的性质在本文中并不重要。诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179185∫Q以下事实可以在[10]的第3.3节中找到定理2.2设T和（E λ）λ∈R与谱定理中的相同.设f是一个在区间[a，MT]上 连续 的 实 函 数 ， 对某<个 amT.B然后af（λ）dEλ=：f（T）对所有b≥MT存在（且不依赖于选择a，b）。以下属性成立：(i) 算子f（T）是自伴的。(ii) 映射f <$→ f（T）是线性的。(iii) （fg）（T）= f（T）g（T）。(iv) 对于任何实多项式p（x卢恩 a xi，我们有p（K卢恩 a Ki.（i）=i=1i）=i=1i（v）f（T）≤ max {|f（x）|：x ∈ [a，MT]}。下一个引理在下面会很有用。引理2.3设T和（E λ）λ∈R如谱定理中所述。 设（fn）n∈N是连续函数序列，使得f n∈C [an，MT]，对于某些An mT.进一步假设（n ∈ [max {an，am}，MT]）[n ≤ m <$f n（t）≤ f m（t）].然后我们有：（一）（n∈X）[n≤m<$ ≤]。(ii)根据另一项假设，（<$n∈N）（<$t∈[an，MT]）fn（t）≥0并且n（T）h=0n→∞对于某个h∈ X存在，我们有（n ∈ N）<$u − f n（T）h<$2 ≤ <$u<$2 − <$f n（T）h<$2。证据 设h ∈ X是任意的，n ≤ m. 我们考虑Riemann和，186诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）1792222“我的天，22我[max{an，am}，MT]。.克 fn（λ∈i）2（Eλ-EλΣ克）h，h=fn（λ<$i）2<$（Eλ-Eλ）h，hi=1克ii−1i=1.克**∈R，≥0Σ≤i=1 fm（λ<$i）2<$（Eλ-Eλi−1）h，h=i=1 fm（λi）2（Eλ-Eλi−1）h，h.对黎曼和取一个极限，我们得到其中，h ∈f n（T）h，h∈ ≤ h ∈f m（T）h，h∈.由于fn（T）和fm（T）是自伴的，我们得到：≤。对于（ii）的证明，我们进行类似的操作：.克i=1克fn（λ∈i）2（Eλ-Eλi−1Σ）h，h=i=1克≤.i=1fn（λi）fn（λi）<$（Eλi−Eλi−1）h，h<$≥0fm（λi）fn（λi）<$（Eλi−Eλi−1）h，h<$Σ克=i=1fm（λi）fn（λi）（Eλi−Eλi−1）h，h.对黎曼和取一个极限，我们得到fn（T）h，h因此通过自伴性≤.我我我诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179187对于m→ ∞，这产生<$fn（T）h<$2 ≤ <$fn（T）h，u<$。188诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）1792 2 2 22ǁ ǁ∞t+2N从这个我们得到u − f n（T）h<$=Q3用可计算序列逼近T下面的定理（回到Groetsch和Jacobs）可以在[8，定理4.1]中找到。这是我们进一步调查的关键定理3.1设X，Y是Hilbert空间，T∈ L（X，Y）. 设（fn）n∈N∈（C[0，T]）是连续函数族，使得（<$t∈（0，<$T<$2]）limfn（t）= 1/t，然后超级|n（t）| ：t∈ [0，<$T<$2]，n∈N}<∞.limfn（T<$T）T<$g=T<$gn→∞对于每个g∈dom T<$. Ifg∈/domT<$thenlimf n（TT）T g =.n→∞Q当然，在上述定理中，fk有许多可能的选择我们现在将固定一个（这导致了Tikhonov正则化方法，参见。[8，第5章]）：推论3.2设X，Y是Hilbert空间。设T∈ L（X，Y）. 设置1fk（t）：=1k+1对于k∈N，t >−（k + 1）−1。 则对于任何g∈ dom T <$(i) limk→∞fk（T<$T）T<$g=T<$g，(ii) k（TT）Tg在k中单调增长，（iii）<$T <$g − f k（T <$T）T <$g <$2≤ <$T <$g<$2 − <$f k（T <$T）T <$g<$2。证据 很容易验证f k满足定 理 的假设3.1 其产生（i）。（ii）和（iii）由引理2.3得出： 一个刚刚n→∞诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179189†k+2记住σ（T <$T）<$[0，<$T<$2]并观察到每个f k在某个紧区间[ak，<$T<$2]上是连续的，ak<0。Q推论3.3设X，Y是Hilbert空间，T ∈ L（X，Y）. 然后dom T †和T 是可测量的。证据由定理3.1和推论3.2，存在一个连续映射序列，使得domT<$是它的收敛域，T<$是它的逐点极限。Q我们的下一个目标是推论3.2的有效版本。我们引入可计算的希尔伯特空间：定义3.4可计算赋范空间（X，X）α）（见[3]）是可计算的Hilbert空间，如果（X，α）是可计算的Hilbert空间. ）是完整的，也是完整的。它是由一个内积引起的。[6]包含了Hilbert空间上许多经典结果的有效版本。可计算Hilbert空间也在[5]中被考虑注3.5可计算希尔伯特空间的内积总是可计算的（通过极化恒等式）.上一节中的运算符演算是有效的。Pour-El和Richards已经（以不统一的方式）使用了这一事实[14]证明了第二大定理。统一版本的详细推导见[7]。对于我们需要的特殊情况，我们给出一个简短的证明。定理3.6设X是可计算Hilbert空间，其Cauchy表示为δ X（见[3]）.设fk如推论3.2所示。映射{（T，k，h）：T∈ L（X）非负自伴，k∈N，h∈H} →H，（T，k，h）›→fk（T）h是（[δ X→δ X]，νN，δ X）-可计算的。证据 它展示了如何有效地找到fk（T）h的2 − m -逼近，给定m，k，一个快速收敛的逼近序列（hi）i∈N（即，h ∈ X的逼近序列<$h−hi <$≤ 2−i），以及T的一个[δ X→δ X]-名称。通过[3，定理9.10]<，我们可以计算一个数s∈Q，使得因此σ（T）<$[0，s]。f k可以在I k上求值：= [−1 ，s]。记得fk（T）≤supfk（Ik）=：r. r是简单的（k+1）（k+2），所以我们可以有效地选择一些i∈N，使得r2−i≤ 2−m−2。然后，可以有效地选择一个上界q ∈ Q，以使？h i？。由等效Weierstrass定理190诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179X为oh∗LX为oh|.X为oh−1X为oh(see [20]），我们可以有效地找到一个多项式p，使supI |f k-p|≤q−1 2 −m−2。所以=≤q−1 2 −m−1。我们有p（T）hi−fk（T）h≤hihi−h≤q2−m−2q+r 2−i-m-1p（T）h i可以被有效地近似;我们计算一个2 −m−1-近似，比如y。 最后，我们有y−f k（T）h≤ 2 −m。Q众所周知，有界线性映射的伴随T_∞映射T ›→ 然而，T不是可计算不变的，因此不可计算（见[6]）。鉴于这一事实，以下定义是有意义的：定义3.7设X，Y是具有柯西表示的可计算希尔伯特空间，δX、δY方向。定义一个表示Δ→L（X，Y），→X为ohp，q= T ：T [δ X→δ Y]（p）= T [δ Y→δ X]（q）= T.这是（X，Y）的最弱表示，它允许对映射及其伴随进行评估。从现在起，这一事实将被隐含地使用。注3.8设K（X，Y）<$L（X，Y），K（Y，X）<$L（Y，X）是所有紧映射的子空间.存在比[ δ X → δ Y ]强的K（X，Y），K（Y，X）的表示|K（X，Y），[δ Y→ δ X] |K（Y，X），关于它K<$→K <$是可计算的。(This可计算Schauder定理被证明在[6]中）。 因此，K（X，Y）的表示比Δ→K（X，Y）下一个定理是作为推论3.2的直接组合得到的，定理3.6和Δ→的定义：定理3.9设X，Y是可计算Hilbert空间. 定义集合A1：={（T，g）：T ∈ L（X，Y），g ∈ dom T <$}.存在一个（[Δ→，δY]|A（1，νN，δX）-可压缩映射GI1：A1×N →X使得(i) limk→∞ GI1（T，g，k）=T<$g，Δ≤2诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179191X为oh†≤2−(ii) [001 pdf 1st-31files][001 pdf 1st-31files][001 pdf 1st-31files][ 001pdf 1st-31files]（iii）<$T<$g− GI 1（T，g，k）<$2≤ <$T<$g<$2 − <$GI1（T，g，k）<$2。推论3.10设X，Y是可计算的Hilbert空间。 定义集合A2：={（T，g，c）：T ∈ L（X，Y），g ∈ dom T <$，c=<$T<$g <$}.映射是（[Δ→GI2：A→X，（T，g，c）<$→T<$g，δY，ρ>]|A2，δX）-计算。证据当我们以适当的形式给出T和g时，我们可以使用前面定理中的GI 1并计算收敛到T<$g的序列。我们有一个所有的合理上界的列表，所以对于每个m∈N，我们可以有效地（通过穷举搜索）找到一些k m，其中Tg- Gl1（T，g，km）−2m. 前面定理的第（iii）项得出：则GI1（T，g，km）是T<$g的2−m-近似。Q4关于高斯测度的讨论在这一节中，我们从高斯测度理论中收集一些定义和事实详情可参见[1]。 我们还向读者指出[19]，这是对无限维向量空间上的一般概率分布的全面处理。请注意，虽然前面几节的结果对实空间或复空间都成立，但从现在开始我们将把自己限制在实空间。定义4.1R上的Borel概率测度γ称为Gaussian，如果存在某个a∈R，使得γ要么是a处的Dirac测度δa，要么具有密度1t<$→σ2πexp.Σ（t a）2-2σ2对于某些σ >0。a称为均值，σ2为γ的方差。这个定义可以推广到广泛的一类拓扑向量空间： 局部凸空间（l.c.s.）X是一个实拓扑向量空间，其拓扑是由分离X中9个点的一个范数族{p α}α∈A生成的。 存在关于X的最小σ-代数9空间X上的函数族{fα}被称为分离X中的点，如果对于任何x，y∈ X，xy，存在一个α使得fα（x）fα（y）.Q22192诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179B∈◦Eγγγγp⊆∗XX的所有元素都是10可测的;这个σ-代数称为X上的圆柱σ-代数，记为E（X）。E（X）与Borel集的σ-代数（X）相一致（即由 所 有 开 集 生成 的σ-代数），如果X是完全的和可度量的。定义4.2设X是一个l.c.s.一个在（X）上的概率测度γ称为高斯的，如果对于任意fX<$，在R上的导出测度γf−1是高斯的。这里，γ的平均值aγ是代数对偶（X<$）J到X<$的元素，定义为通过aγ（f）=X f（x）γ（dx），协方差算子Rγ：X→（X）J由下式定义：∫Rγ（f）（g）=[f（x）−aγ（f）][g（x）−aγ（g）]γ（dx）.X设G（X）表示X上的所有高斯测度的集合，并且设G0（X）：{γ∈ G（X）：aγ= 0}是X上所有中心高斯测度的集合。高斯测度γ由其协方差算子和均值唯一定义。它对每个p≥1都有强阶p，即∫<$x<$γ（dx）<∞.某些γ∈ G（X）的再生核Hilbert空间X∈L2（γ）是集合的闭包{f−aγ（f）：f∈X}嵌入L2（γ）。对于中心γ，我们将不区分元素f及其在X中的等价类X射线的元素是真实的γ γ高斯随机变量 协方差运算符扩展到X：Rγ（f）（g）：=∫f（x）[g（x）− a γ（g）] γ（dx），f ∈ X<$，g ∈X<$.X这是高斯测度的一个重要特征，即当高斯随机变量的集合V X R γ（f）（g）= 0，对所有f，g ∈ V，f/= g.从现在开始，我们只考虑可分Banach空间上的中心高斯测度。[10]在本文中，X′是指（拓扑）线性空间X的拓扑对偶，X′是指（拓扑）线性空间X的代数对偶。诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179193γ∈γ∈∈∗γ→--γX引理4.3设X是可分Banach空间，γ ∈ G0（X）.(i) 对于每个fX<$，存在唯一点xfX使得Rγ（f）（g）=g（xf），对所有gX<$。从现在起我们将把Rγ看作到X的映射。(ii) 像Rγ（Xγ）是X的所有具有全γ测度的线性子空间的交。Q注4.4对于希尔伯特空间X，我们可以将Xγ与X等同，因此我们可以在X上定义Rγ。如果X是另外可分的，则通过前面的引理，Rγ将X映射到自身。对于所有的x，y∈X，我们有公式∫<$R γ x，y<$=<$x，ω<$y，ω<$γ（dω）。Rγ-引理4.5设X是可分Banach空间，γ∈G0（X）. 让{fn} n∈N<$X是分离X中的点的函数族。（如一个族总是存在的;这是哈恩-巴拿赫定理的一个推论。则X∈ N与空间fnn∈NL2（γ）。Q定义4.6设（Ω，A，μ）是一个测度空间。 我们表示完成A相对于μ乘Aμ，即Aμ：={A<$N：A∈ A，（<$J∈ A）μ（J）= 0，N<$J}.Aμ是一个σ-代数。定义4.7设X，Y是局部凸空间，μ是E（X）上的测度。一个（E（X）μ，E（Y））-可测映射F：X→Y称为μ-可测线性映射，如果存在一个通常意义下的线性映射F<$：XY满足F=F<$μ-a. e. F或Y=R是μ-可满足的线性泛函的一个特例。引理4.8设X是可分Banach空间。则f是γ-可测线性泛函当且仅当f ∈X<$。Q11如果前一个或第二个节点是核，则在一个可接受的情况下，b asis{ei}i∈NthsumuAei，eiuc onve rgs.194诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179μQγ∗p⇒引理4.9设X，Y是局部凸空间，γ∈G0（X）. 设F：X→Y是一个线性映射且（E（X）γ，E（Y））-可测.则γ<$F−1∈ G0（Y）.Q引理4.10设X，Y是分别具有σ-代数A1和A2的 局 部 凸 空 间. 设μ是A1上的测度。 设L ∈ A1是X的线性子空间，使得μ（X\L）= 0.设F：L→Y是（A1，A2）-可测线性映射.存在一个（A1，A2）-可测线性映射F0：X→Y与L上的F重合.5一个表示定理设X是可分Banach空间，γ∈G0（X）.通过引理4.5，我们可以在X中选择一个由X中的元素组成的完备的标准正交序列（ei）i∈N。对于每个γ-可测线性泛函f，引理4.8和引理4.3收益率，该系列e i（. ）f（Rγ（ei））我是f在L2（γ）中的正交展开式所以序列（f（Rγ ei））i∈N在l2.这一点，结合ei是独立的实标准高斯随机变量的事实，得出该级数也几乎到处都是f（cf.[1，定理1.1.4]）。设Y是另一个可分Banach空间，F：X→Y是一个γ-可测线性映射。对每一个f∈Y<$ ，我们有f<$F是一个γ-可测线性泛函。所以对于每个f∈Y<$Σe i（. ）（f<$F）（Rγ（ei））我几乎处处收敛到f<$F。 由于F是高斯随机元素，我们有X<$F<$dγ∞，因此[19，练习V.3.4（b）]得出，Σe i（. ）F（Rγ（ei））我我们要去所有的地方。AsF具有Gaussian分布，有X<$F<$dγ∞，对每个p≥1。 因此[19]中的定理V.3.3（隐含-对于Φ（x）= x p）的Lp（X，γ;Y）. 我们总结如下：定理5.1设X，Y是可分Banach空间。 设γ ∈ G0（X）. 让F：X→Y是γ-可测线性映射. 设{e n}n∈N<$X <$是a诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179195γ系统在X.然后γ2γ联系我们X..X中的完备标准正交系然后Σ∞n=0例e n（. ）F（Rγ（en））在Lp（X，γ; Y）中收敛于F，对所有p≥ 1和γ-a.e.Q推论5.2设X，Y是可分Banach空间. 设γ∈G0（X）. 设S：D→Y是定义在X的可测线性子空间D上的线性可测映射，其中γ（D）= 1。 设{en}n∈N<$X <$是一个完备的正交正规矩阵，γΣ∞n=0例e n（. ）S（Rγ（en））是定义良好的，并且在Lp（D，γ; Y）中收敛于S，对于每个p ≥ 1。证据引理4.10得出S有一个（B（X）γ，B（Y））-可测扩张F，它与D上的S重合。因此，根据引理4.3的第（ii）项，S和F在Rγ（en）上特别一致。我们得到：德国-1S（x）−i=0时ei（x）S（Rγ（ei））∫γ（dx）=X乌斯季-1F（x）−i=0时ei（x）F（Rγ（ei））γ（dx）。定理5.1立即给出了这个要求。Q下面的误差公式已经出现在[15，Section 6.5.3]中：定理5.3设X是可分Banach空间，Y是可分Hilbert空间。设γ∈G0（X）.设F：X→Y是γ-可测线性映射.设e0，. e n−1∈X<$n在X <$n中正交。 然后德国-1F（x）−j=0ej（x）F（Rγ（ej））<$∫γ（dx）=XF（x）乌斯季-1γ（dx）−j=0<$F（R γ（ej））<$.证据 设ai是Y中的一个完全正交序列. a i，F（. ）是γ-可测线性泛函，因此是X的元素。毕达哥拉斯身份持有：- 是的..a i，F（x）乌斯季-1Dpp2X2196诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）17922.j=0...γ（dx）.∫乌斯季-1= ai，F（x）<$γ（dx）−Xj=0F（R γ（ej））≠.e（x）<$a，F（R（e））<$j iγj2诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179197222⊆→X通过这个等式和单调收敛定理，我们得到∫F（x）−X乌斯季-1j=0ej（x）F（Rγ（ej））<$γ（dx）∫ Σ∞=Xi=0F（x）-乌斯季-1j=0ej（x）F（Rγ（ej））<$2γ（dx）Σ∞=i=0时∫F（x）-X乌斯季-1j=0ej（x）F（Rγ（ej））<$2γ（dx）Σ∞=i=0时∫ .乌斯季-1ai，F（x）j=0Σ2ej（x）≠ai，F（Rγ（ej））≠γ（dx）Σ∞=i=0时∫. ∫A i，F（x）γ（dx）−X乌斯季-1乌斯季-1j=0ΣF（Rγ（ej））=<$F（x）<$γ（dx）−Xj=0<$F（R γ（ej））<$.Q推论5.2意味着-翻译成语言的信息为基础的复杂性-线性问题S：X Y是可解的平均相对于高斯措施，如果X和Y是可分的Banach空间。[12]当然，我们希望从这个结果中受益，以解决我们的线性不适定问题的模型示例：X，Y是希尔伯特空间，S= T†对于无界T。给定T的（一个程序）和某个预定的误差界2−m，我们能否计算T<$的近似，使得关于某个高斯测度γ（γ（domT<$）= 1）的期望（二次）误差小于2−m？如果我们希望直接应用定理5.1中的级数公式，我们会遇到这样的问题，即我们必须计算元素Tt（Rγ ei）。但我们知道（见导言）这一般是不可能的。此外，我们需要确定为了达到误差界，必须计算级数的多少个被加数1322198诉Bosserhoff/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167（2007）179[12]在IBC文献中，我们只在Y是可分希尔伯特空间的情况下发现了这个结果;参见[22]，[16]。[13]这类问题在IBC中通常被忽略：人们并不要求算法在精度参数上是一致的此外，一个算法可以使使用“预先计算”的常量。 有时候，这是因为人们相信，其中这些常数“很难预先计算”是“例外的”（参见，[13，NR 2.9.5]）。
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