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计算抽象线性Cauchy问题的可计算性
Electronic Notes in Theoretical Computer Science 167(2007)33—59(2007)www.elsevier.com/locate/entcs首页 > 外 文书 > 人文 > 心理 励志 >Computable Analysis of the Abstract在 一 个Banach 空间 及其 应用 中 的 Cauchy 问题( I )KlausWeihrogen 其它1美国 数学 与 计算机 科学 大学 Department ofMathematics and Computer Science University of哈根哈根 ,GermanyNingzhong 的2Department of Mathematical SciencesUniversity 数学 科学 大学辛辛那提Cincinnati辛辛那提 ,USAabstract抽象我们 研究 了 抽象 线性 Cauchy 的 计算 能力problem 问题du(t)/dt = Au(t),u( 0 ) = x ∈ x ,( 1 )where哪儿A is a linear operator,possibly unbounded,on a banach space线性运算符,可能未绑定,在香蕉空间x。 We give necessary and su hicient conditions for 我们 提供 必要 的 和 有 需要的A寻找 解决 方案 操作 员K:x”u of the problem 问题 ( 1 )是可计算的。For studyingcomputability we use the representation approach to computable analysis developed byWehrauch and others.对于学习计算能力,我们使用演示方法来计算分析开发的计算机及其他。该方法与Pour—El/Richards使用的模型一致。Keywords:2 . 计算 分析 、 分 析 方程式 ( Computable Analysis , Partial di erential Equations ,Cauchy )problem 问题1Email :李 文 强@fernuni-hagen.de2Email :陈 晓 晓@uc.edu1571 - 0661 © 2007 Elsevier B . V. Open access under ( 爱思 唯 尔 B . V. )CC BY-NC - ND license 。编号:10.10.2006.08.00634K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-1Introduction介绍The study of numerical algorithms for solutions of diential equations ofphysics是数值分析的核心。2000年,《解决方程的数值技术,包括确定要素方法和发明要素方法》(The numerical technology for solving dientialequations includes definite—dience methods and elements methods)出版。最好的方法是通过一个可用的量进行操作,当第二种方法可以通过功能将其分解成简单的部件来解决问题。片名 : The Aim Is2 、 建立 数量 稳定 的 算法 , 迅速 转换 为 正确 的 解决 方案 。 但 可以 找algorithm 是否 发明 了 每 一 种 可能 的 方程 ?更正式的方式,问题成为或不是它总是可以通过适当的方程式来计算物理过程。这个问题是在图灵机上进行计算分析的研究,这是对计算能力和基于连续性问题的复杂性的研究。在计算分析的背景下,如果有一台可处理的机器(oracle或type—2),则可以计算出一种近似值转换为从近似值到给出参数的解决方案。因此,如果一个解决方案是可计算的,那么用于数字解决方案的转换算法的存在是有保证的。5 月 26 日 , 图灵 算法 的 最 新 研究 结果 - - MauriceAlthough Very Inticate at Times , Turing Algorithmspossibly 可 能 的 beTranslated Into数字Algorithms 的 。5 . There have many studies on computability of solutions of partial dierential equations ( PDE ) ( 有些 研究 表明 , 有些 人 认为 PDE 是 可行 的 )1,2,4,5,8,7,12,14,13” [ 1 ] 【 责编 :大 部分 的 结果都 是 与 个人 接近 的equA Atio ;ns,Fo ;rExA AMple,LineA ArHe 他AAt,wA AvEo ;rsChr¨oding ErEqu国 ,及tHe 他KDV 方程式这可能是非线性方程的情况,一般而言,非线性方程在普通情况下有小的,他们可能不得不在一个案例的基础上进行交易。但如何使用linear PDE?是否有任何图灵算法解决了一个线性PDE类?在本文中,我们通过半组理论研究了这个问题。我们将展示如何在图灵机上计算一个半组,均匀连续或强大连续,从其在下的生成器,反之亦然。因此,我们现在使用两种图灵算法来计算任何线性抛物线方程,均质或不均匀的初始值问题。半组理论是对抽象Cauchy问题的研究,其定义为初始值问题,其定义为:在Banach spaces中的值的顺序方程,由线性驱动,但无边界的运算符。 AnK。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-35J――123∈∈abstractCauchy 。problem 问题CAN be Written在TheForm of↓iSightDu(t)= Au(t),t > 0,↓dtiSight⎩u( 0 )= x ,(2)wherExisA ABana Chspa CE及AΣ:x→xA Alinear 线性o ;pE顾问 | thEi黑 -value x∈x是给予。 所以 if A=3J= 1 丁 磊2/丁磊x2是 拉普拉斯 操作 员及x = l2(R3( 1 ) Then the problem (2( 1 ) 热 方程 的 初始 值 问题du丁 磊2 u丁 磊2 u丁 磊2 u3dt = α x2+ α x2+ α x2, x∈R& t > 0, u( 0 ) =F∈ x 。123here 这里A is A A linear 线性but Unbounded 无 边界运营 商 。 OR IFA = i Σ3丁 磊2α -x2,i=√;J= 1 J1 , 则 问题 (2( 重 定向 自 Initial value problem )ThesChr¨oding ErEquationdu。丁磊2udt = iαx2丁磊2u+α x2丁磊2uΣ+α x2, x∈R3&t > 0, u( 0 ) =F∈ x 。again 又A is unbounded on 无 边界l2(R3).作者 : Pour-El andRichards ' First Main Theorem [ 编辑 ] 9] ,A is uncomputable in thesense that exist computable functions ( 英 语 : is uncomputable inthe sense that there exist computable functions )Fx( weakly ) twicedifferentiable , such that . ( 两 次 , 可 接受 , 请 看 )AF = A(F)x Are 否Computable 。the主问题研究classically 经典 的Regarding The abstract Cauchy 。例如 : sin (2下 一篇 : 下 一篇 : 在 什么 条件 下A例如 : does (2提供 一 个 独特 的 解决 方案 ?这个问题已经得到了很好的研究。《我不知道如果》It’s Known That If A一个统一体的产生器(Generator of aUniformly)连续 半 群 ( Continuous semigroupe )w(t),t ≥ 0, ofiSightiSight36K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-∈Bounded 的linear 线性操作 员 ,w(t):x → x,then(2( A ) 接受 一 个 单位 ( RESP )解决方案(solution)u(t(forevery) x x x这个保证可以作为证明u( t()= w( t)x。In suchcases , if one can compute the semi-group 如果 一 个 人 能 搞定 半 人小组w(t) from A 1 , 求 tan (2).什么 是 - - 教育on A are需要两 个Compute w(t)及vice versa is A A主《 Concern of the Present 》纸 。该论文被组织作为后续。在 第 2 节 中 , 我们 做 了 一些 回顾 - IC 发明 和 事实 相关C0bounded linear operators in banach spaces ( 班纳 空间 中的 绑定 线性 运算 符 )在第3节中,我们详细介绍了计算和相关发明的模型。在 第 4 节 中 , 我们 展示 了 如何 从 其 边界 线性 到 终 例 生成 器和 服务 构建 一 个 统一 的 化合 物 - uous 半 组 。versa 。K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-37≤∞{∈。≥∈≥ǁ―― ǁ≥在第5节中,不同的图灵算法被构造为从它们的终基因产生器中编译严格的连续半组和分析半组。在第6节中,两个图灵算法用于计算线性抛物线方程的解决运算符,均质或不均匀。2终 末Generators 产生 器在 这 一 节 中 , 我们 总结 了 一些 发明 和 事实 。半 集团2013 年 , Thereader is referred to (6 [ 更多 细节 。 Let x成为一个香蕉空间。 A一 个家庭 参数w(t) , 0t<, of bounded linear operators from 相关x两个x is called a semi-group of bounded linear operators on 是 什么 意思x IF(i) w( 0 ) = i I ’ m the identity operator on ( 我 是 同一 操作 员 )x),(ii) w(t + s)= w(t)w(s)for every 所有t ,s ≥ 0( ThesemiGroup 半 组property ) 。缐 性 操作 者 The LinearOperator A陈 晓 晓By及) sin (A)= x x:limt0+。w(t)x ― ― x存在tax = limt 0 +w(t)x ― ― x=tD+。w(t)x。dtt = 0(3)for x ) sin ( A ( 重 定 向 自 Semiconductor generator ) w ( t ) .semigroup 半 集团w(t) ,t 0 , of bounded linear operators on 线性 操作 符x我 叫 called uniformly continuous 连续 的IFlimw(t)i=0。(4)t 0 +theFollowing theorms 理论显示The relationship 关系Between A A uniformly的Continuous 连续 的semiGroup 半 组w(t( D ) 是 一 种 发电 机A。理论 2.1A linear operator A 是 一 个 统一 的 、 正式 连续 的 半 组 发生 器 。(t), t 0 If and only if a is a bounded linear 如果 只有 一 个缐 性运营 商 。理论 2.2让 W(t), t 0 #36825 ; 是 统一 的 。continuous semi-group ofbounded linear operators 永久 性 的 线性 操作 符 then}38K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-(i) 在 此存在A A常量一 次≥ 0 SUCH thatǁw(t)≤ E一 次 Tforany t ≥ 0,(ii) 在 此存在A A unique Bounded 的linear 线性operator 操作 员A SUCHthat w(t)= E at,K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-39∈—― ―→≥(iii) 10 、 运算 符 A ( B ) 是 一 个 连续 的 生成 器 。{w(t)}t≥ 0,(iv) 唐 飞 T→w(t)可 在 标准 中 实现及Dw(t)= aw(t)= w(t)a .dtsemigroup 半 集团w(t) ,t≥ 0 , of bounded linear operators on线性 操作 符x我 叫 called A Astrongly连续 半 组 或 A C0半 导体 集团 ,IFlim w(t)x = xfor every 所有xx 。(5)t 0 +《The Resolvent Set》ρ(A缐性操作符(linear operator)A这是一套完整的组合。Numbers数字β for which什么β iA IS INVERTIBLE,即:R(β,a == β iA)− 1:xx英文 片名 The Bounded Linear运营商 。The following two theory show the relation between the semi-group and itsin finitesimal generator . 以下 两 个 理论 展示 了 半 组 与 其 内部 发生 器之间 的 关系 , 这 是 半 组 理论 中 的 基本 问题 之 一 。operators 。理论 2.3对于 θ≥ 0 0, 且 m≥ 1, a linear operator A is the in finitesimalgenerator of a C 线性 运算 符 A 是 一 个 C 的 不定 式 生成 器0半 组 W(t)satisfying 满意 的||w(t)||≤me θ t if and only 如果 只有IF(i) Ais A A Closed map及DOM(A)is Dense在x ,(ii) Theresolvent 解决 方案set ρ(A)of A contains The Interval 采访(θ ,)及ǁR(λ ,A)M≤(λ ― ― θ)nfor λ > θ , n=1, ,2···3 , 求 tan (a , θ , m) a piece of type-IG information for ( 类型 -IG 信息 )A( IG refers to “ in finitesimal generator ” ) , 如果 条件 允许的 话 。2.3。i及2.3。ii例如 : sin (a , θ , m). Theorem 理论2.3shows that a piece of type-IG information 对 类型 - IG 信息 的 一 点 看法Ais necessary and su weepcient for 需要 的A 2 . be the in furnitesimal generatorof a a 在 某 个 时间 点 发生 器C0半 集团Theorem 理 论 2.4 Let w ( t ) , t 0 , be A A C0semiGroup 半 组 ofBounded 的 linear 线 性 常 用的operators with the in furnitesimalgenerator A . then(i) There exist constants θ > ( There exist constants θ )0 0, 且 m≥ 1SUCH thatθ tn40K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-x。ǁw(t)≤ mefor 0 0 ≤t<∞。(ii) 每 一 个 X∈x , t→w(t)x 是 一 个 连续 的 函数( 0 ), ,)Into(iii) 每 一 个 X∈DOM(A), w(t)x∈DOM(A)及Dw(t)x = aw(t)x = w(t)ax 。dtK。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-41∈⟨⟩⊆××一次⇒列表(iv) 每 一 个 X∈ DOM(A),w(t)x ― ―w(s)x =∫tw(τ)Axdτ =s∫taw(τ)XD 你 好 。sA C0semiGroup 半 组w(t) can be constructed from itesimal . ( 可以由 其 构造 而 成 )generator 生成 器A as Follows :w(t)x=limEtAλx,xx,( 6 )λ,所以where 哪儿A λ,for every 所有λ> θ,is The Yosida近似 Approximation陈 晓晓By A λ=托尼AR(λ,A). NoticethatA λ= λ AR(λ ,A)= λ2R(λ ,A)― ― λ i及( 7 )A λ x = λ R(λ ,A)axforx∈) sin (A)。 (8)3Computability on Banach 的 使用Spaces在 本文 中 , 我们 使用 演示 方法 来 研究 在 分析 和 鉴别 方程( TTE ) 的 可 计算 性10].第 一 部 第 13 集 TTE " concrete " com -putability on the set Σ ∗Of Finnite Words And The Set 的 故事一 次of finnitesequences of symbols from a fnite alphabet Σ is fettned explicitly by meanof Turing machines . of 图灵 机 的 平均 值 明确 定义 。Computablefunctions are continuous w . r . t the discrete topology on 德国∗和 CantorTopology on Σ一 次。 As usual we use canonical tupling 我们 通常 使用 常规 兴奋剂func -tionsmapping nite fiftures of elements 映射 有限 的 元素∗或 σ一 次Injectively的两 个 σ ∗或 σ一 次。These functions as well as the projects of their inverses arecomputable 作为 其 反向 的 投影 是 可 计算 的(10].Computability on abstract set 抽象 运算M Introduced By 的ν 注释:⊆ Σ∗→M or代表 δ:⊆ Σ →M凡 在 有限 或 有限 的 符号 序列 中 , 分别 为 已使用 的姓名 Names关于 “ Abstract ” 的 文章x∈ M。For given naming systems 提名 系统γ i:⊆Y i→M i, ,Y i∈ {Σ ∗, ,Σ一 次} for i=0, ,1,...,n多 功能 A Multi-FunctionF:M1... M nM0例如 : sin (γ1,...γ n γ0· 电脑( Continuous ) ,分别 地 ) 、IF在此 is A A Computable 计 算 机 ( Continuous ) 尊 重 ) Function h :⊆Y1×... ×Y n→Y0( 重 定向 自 Called A )现实 化ofF( 英文 ) such42K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-≤一次thatγ0·h(y1,... y n)∈F(x1,..., x n) , 则 sin (γ1(y1),...γ n(y n) )=(x1,...,x n)∈)sin(F).可 重复 性 和 等效 性 可 证明γ1≤γ2, ,IM1⊆M2首页 > 外 文书 > 人文 > 心理 励志 > TheIdentity Mapping(γ1, ,γ2计算机 , Computable , andγ1,γ2Iγ1≤γ2及γ2γ1。 Naming 命名Systems induce The SAME计算机 能力 ,IThey areequivalent。对于许多家庭空间的研究,在分析中有典型的NAM—ING系统。Let ◎n:⊆ Σ ∗→n be some standard notation of the nat - 乌拉尔 数字 ,让 我们ρ:⊆ Σ →R 3 . be the cauchy real numbers ( 柯西 是 实际 数字的 表示 )10]. canonical product of 相关γ1及γ2确 的 。ByK。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-43↓社会⟨⟩∈3( γ1γ2] ⟨y1 , y2⟩ = = γ1 ( y1 ) γ2 ( y2 ) ) . 函 数 y = ( γ1γ2γ0 ) -Computable , i it is([γ1,γ2],γ0· 计算机 。 there 那里is故称A Acanonical 的Presentation 介绍(γ1→ γ2) , 求 实数 a 的 值 ; (γ1γ2( Continuous functions ) F : M1→M2 。 the 介 绍 ( γ1→γ2 [ typeconversion as ] 类型 转换Follows :3.1.1 转换 类型 ( Type Conversion )10” ( )让 Δ i:⊆ Σ一 次→M i( I = 1, ,2, ,( 3 )做 介绍 。For any function 任何 功能F:M1×M2→M3相信 T(F) :M1→M2 By t(F)(x)(y):= F(x ,y)。 thent·[[Δ1,Δ2]→Δ3],(Δ1→(Δ2→Δ3]]。( 9)在 部分 、F is ( )Δ1, Δ2], Δ3计算机 ( Computable ) , i t(F) = (Δ1, ,(Δ2→Δ3 [ 计算机 。 for Δ1=(Δ2→Δ3 [ 我们 已经 知道 了 评估 功能ev:(F ,x)”F(x)is([[Δ2→ Δ3],Δ2],Δ3Computable ,Hence([Δ2→ Δ3],Δ2,Δ3· 计算机 。for γ:⊆Y→x第 一 � l 租 � U 物 � Y 的 品名 、 � 格 、 � 盗 俊① | 量 ( � � 合同 附件 ) : _γ]一 次作者/Of The Set x一 次of sequenceson 结果x是否 发现 有γ⟨y0, y1, y2,..。⟩ = = γ(y0)γ(y1)γ(y2),..。).WeHave(γ]一次,(◎n→γ]。( 10)定义 3.2计算 空间 ( Computable Metric Space )10( 1 ) 求 tan (X ,D , α ,( 这 是 一 个 可 计算 的 度量 空间 )IF(i) D:x×x→R英文 名 : Is a Metric On x及D这 是 一 套 dense set inx,(ii) α: ⊆Σ∗→D is a notation with recursive 相关 的domain ,(iii) 限制 限制D两 个D×D例如 : sin (, α , α ,ρ· 计算机 。theCauchy 。Presentation 介绍Δ x:Σ一 次→ x of A A Computable 计算机metric空间 (x ,D ,D ,α)is陈 晓 晓as Follows :Δ x(p)=xp = w0, w1-w2..。, ,(w i) sin (α( Such )thatD(x ,α(w i))≤ 2 ― ―i( for all i ∈ n)。M44K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-∈∈Thus , a Cauchy name ( 你 的 名 字 ) pΣ一次 of an xx Encodes asequence in the dense set ( 英 语 : Encodes a sequence in the denseset ) ( Dense set )D IT IT IT Converges x迅捷For a continuous function between computable metric spaces a modulus 在计算 空间 之间 连续 发挥 作用of continuity at a point can be computed . 在一 个 点 上 连续 性 可以 是 计算 的 。12 月 28 日 , Lemma 2.6 [10”( See So )(11].引理 3.3 ( Modulus of Continuity )For computable metric spaces 可计算 指标 空间x和 Y 与 Cauchy 表示 δ x, 则 Δ Y, 分别 , 该 功能方法 : (f ,x , m)|⇒ 列表k mapping every continuous function 每 一 个 连续的 函数F:x→Y , ev-ery x∈X And Every M 的 留言 板∈n一些 k∈n寻找 那个 D(F(x), F(y) )≤ 2 ― ―m如果 D(x ,y)≤2 ― ―Kis([Δ x→ Δ Y],Δ x,◎n,◎n)Computable 的 。K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-45B||||→→⊆→→本文 的 主要 理论 将 被 证明可 计算 的 Banach spaces什么 是 特殊 计算 指标 ?Spaces 。定义 3.4计算机 香蕉 空间 ( Computable Banach Space )9) , 则 a =(x , d , α 1 ) 这 是 一 个 可 计算 的 香蕉 空间IF(i) (x ,||||( 一 个 Banach )空间 ,(ii) (x ,D ,D ,α)SUCH that D(x ,y)= ||x ― ― y||is A A Computable计算机metric空间 ,(iii) with respect to 表示ρ of R英文 片名 The Cauchy Representation Δxof x, 求 tan (x , y)→x + y 2012 年 第 二 届 中国 (A , X)→ax Are Computable 的operations 。In many applications there is a canonical 有 很多 种 应用有效 生成 集Effective generating set(9] E:nx首页 > 外 文书 > 人文 > 心理 励志 >That the Rational Linear Span D of its range is dense in 数量 是 多少x。In such case , usually a " good " notation 通常 是 一 个 " 好 " 的 标记αof D can be constructed from the numbering 数字 组成E canonically 。在The Following B =(x ,||||,D ,α)威尔be A A fixed Computable计算机Banach space with cauchy representation 有 柯西 表示 的 空间Δ x。3 .快速 转换 序列 的 限制B is computable ( 8.1.8 in )(10]):柠檬 3.5The Function Lim :⊆x一 次→x , 求例如 : sin (x i) iN ∈ N( ) = x↓ 社会(i)||x― ―x i||≤ 2 ― ―iis([Δ x]一 次,Δ x)Computable 可计算( 和equivalently 的([◎n→ Δ x],Δ x)Computable ) 。从 介绍 到 现在Δ x:⊆ Σ一 次→x is admissible , 一 个 函数F:x x x1 , 则 实数 a = (Δ x, Δ x( continuous ) 。标准答案(StandardRepresentation)Δ xΔ x]::Σ一次C(x,x)是表示集合的一种all continuous functions from所有持续的函数x两个x。In particular , itrepresents the linear continuous 在 局 部 , 它 代 表 了 线 性 连 续Functions 。We 范 晓 萱A A Presentation 介绍Δ Gof The set lcg of linear 线性operators 操 作 员 on B 无 空 闭 合 图 = non-empty closed graph asFollows :46K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-Δ G(p)=A:↓ 社会↓↓在 此are p i,q i∈) sin (Δ x)寻求 那p = ⟨p0,q0,p1,q1,.. 。⟩⎩及{(Δ x(p i),Δ x(q i))|i ∈n} is Dense在摄影 棚(A)thusA A Δ G- 姓名of A ∈ lcg is A A列表of A A Dense set在its Graph 。 同样的 ,WeK。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-47×iSight000111iSightxixi作品 介绍 About a Representation Δ ggof the 其中set lcgLCG AS :Follows :↓iSight在 此are p i,q i,r i∈) sin (Δ x)SUCHthatiSight↓p=⟨p,q,r,p,q,r, . 。 。⟩,Δ gg(p) = (A ,B) :↓社会iSight{(Δ x(p i), Δ x(q i) )|i∈n}如果 Dense在摄影 棚 (A),iSight⎩AN D{(Δ(p),Δ(r))|i∈n}isDensEinG阿甲(B), 则 a (Δ x→Δ x( 重 定向 自 Continuous Linear Operator )A一Upper Bound of its operator 操作 员norm ǁAǁ = sup ǁx= 1ǁF(x)ǁ及A ADense subset of its图形可以是计算机。 On the other hand , for a continuous linear 另 一 只手 , 为了 一 个 连续 的 缐 性operator 操作 员A:x→x, its values on a dense set and an upper bound of its norm aretohicient to compute , 其它 优惠/消息ax为 大家x ∈x E , E ,, 则 a =(Δ x→Δ x] 的 名字 。柠檬 3.6For continuous linear functions A 连续 线性 函数:x→ x ,(i) theMulti-Function A |⇒ 列表B SUCH that ||A||≤ B is([Δ x→Δ x],OD)Computable 的 。(ii) TheFunction A”A 是([Δ x→ Δ x],Δ G)Computable 可 计算(iii) TheFunction(A ,B)”A for ||A||≤ B is(Δ G,你 ,(Δ x→ Δ x])Computable ,proof。i。 Lemma 的 使用3.3( 2 ) 2sin (A ,0, ,( 0 ) , 从A我们可以 计算 一些K∈ nSUCHthat ||x||≤ 2 ― ―Kimplies ||ax||= ||ax ― ― A 0 ||≤ 2 − 0= 1, Hence||A||≤ 2 K。ii. 集 The Set {(x , ax)|x∈例如 : tan (α)} 2013 年 12 月 21 日@上午 11 时 26 分 i 'll be there (A). 吴 亦凡 (α) , 且 具有 循环性α≤Δ x我们 可以 轻松 地 计算 A Δ G的 值 为 A (Δ x→ Δ x ◎ 片 名Name of A。iii. LetΔ G(p)= A及p = ⟨p0,q0,p1,q1,.. 。⟩. since The set{(Δ x(p i), Δ x(q i) )|i∈n} 2013 年 12 月 21 日@上午 11 时 26分 i 'll be there (A) , 为any x( given by a )Δ x别名 : We CanFound Some i寻求 那||x― ―Δ x(p i)||<2 ― ―i/b。 then48K。 魏 冉 、n . zhong 的/电子Notes 文件在理论 上Computer Science 167( 2007 年 )33-||ax― ―Δ x(q i)||=||ax― ―A Δ x(p i)||≤||A||||x― ―Δ x(p i)||≤2 ― ―i。在 那 之前 ,The Multi-Function(A ,B 、x) |⇒ 列表(y i) iN ∈NSUCH that ax =例如 : Lim (y i)iN ∈ N例如 : sin
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