→→→→理论计算机科学电子笔记253（2009）3-15www.elsevier.com/locate/entcs关于（不连通）图的一个老式代数的注记法比奥·加杜奇1意大利比萨大学信息技术学院G.拉斯佩齐亚马可尼摘要图与接口是一个简单而直观的工具，允许一个图G与环境交互，通过装备它与两个态射JG，IG。 这些“句柄”用于定义图形运算符，并提供图形重写的归纳表示。有界面图的一个主要特征是它们被刻画为自由代数的项。到目前为止，这只可能与离散接口，即，不包含边缘。该注释示出了类似的自由构造也可以利用断开的接口来执行，即，仅包含连接到至多一条边的节点关键词：图的代数表示，不连通图，DPO方法，并行导子。1引言具有接口的图使（超）图G具有态射j：JG，i：IG表示G与环境可能的相互作用。事实上，这些[5]和其中的参考文献）或用于提供代数图重写的归纳表示，特别是DPO方法（参见例如，[1]及参考文献。有界面的图与cosspan的范畴概念有明显的对应关系。因此，它们经常被认为是系统规范的合适域，例如在Walters等人的工作中[8]。 最近，它已经在借用上下文机制的基础上[4，11]，用于为图变换配备合适的标记转换系统语义。 此外，寻找代数之间的对应关系（某种）图与接口和（适当的变种）monoidal类别-这项工作得到了欧盟FP 6-IST IP 16004SEN SORIA的部分支持。1电子邮件地址：gadducci@di.unipi.it1571-0661 © 2009 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2009.10.0144F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）3类似于这种图形结构的表示-通常以分类术语来追求。这项研究有相当长的历史，至少从80年代中期的工作，Stefanescu的其他人（见overviewo发表在[13]，并再次参考文献[1，2]）。塞林格最近的一项调查[12]为monoidal categories的图形语言文献提供了一个简洁，但范围广泛和统一的说明。例如，让我们考虑可能循环（超）图的情况。相当粗略地，采用图变换术语，图和范畴之间的联系的关键推理被清楚地告诉。将签名图视为一个图（排序是节点，运算符是边），并关注在其上键入的图，即，其中节点（边）由排序（分别为运算符）标记：具有离散接口的任何这样的图（即， 使得I，J只是节点的集合）唯一地由一个合适的monoidal范畴的箭头表征，（几乎）自由地 从 k 生成。 看其他的[6]。正如我们所写的，这种特性允许提供DPO重写的归纳表示，并且它可以专门用于图以外的结构（例如例如术语图）。然而，离散接口的限制是不幸的，因为它归结为重写规则没有在这篇笔记中，它被示出如何从类型图U开始，定义一元签名<$U，其中合适的dgs-monoidal范畴DGS（<$U）的箭头对应于在U上类型化的具有断开接口的图，即，使得I、J中的节点连接到至多一个边。从离散到断开连接的接口的转变是一个关键，因为DPO方法的所有并发特性现在都被保留了。本说明的结构安排如下。第2节回顾了关于有接口的类型图的基本概念;而第3节执行了关于dgs-monoidal范畴的相同任务，说明了它们与有离散接口的图的对应关系。第4节给出了离散和不连通图的主要评论，而第5节给出了一些关于不连通DPO重写的初步结果。最后的第6节结束了这一说明，并提供了一些进一步的文献指针。2图和带接口的本节给出了一些关于（超）图、类型图和带接口图的基本定义，以及带接口图上的两个算子。2.1类型图我们现在提出有关类型图的基本概念，如讨论的，例如。在[3]中。定义2.1（图）一个图是一个四元组N，E，s，t，其中N是F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）35⇒→⟨ ⟩ →→−→节点，E是边的集合，s，t：E → N是源函数和目标函数。从现在开始，我们用NG，EG，sG和tG表示图G的分支;此外，对于列表S，我们用|S|它的底层设置。定义2.2（两类图）一个图G是离散的，如果边的集合EG是空的;它是不连通的，如果s（e）和t（e）不包含重复元素，| s（e）| ∩ |t（eJ）|=|s（e）| ∩ |s（eJ）|=|t（e）| ∩ |t（eJ）|对于所有的边e，eJ∈EG.一个离散的图通常被表示为一个集合。定义2.3（图态射）设G，GJ是图。 图态射f：G → GJ是一对函数fN，fE，使得fN：NG→NGJ，fE：EG→EGJ并且它们保持源函数和目标函数，即，fNsG=sGj fE和fNtG=tGj fE。图的范畴用Graph表示，并且类似地，其完全子范畴分别为不连通图和离散图的DGraph和IGGraph我们现在给出类型图的定义：它可以被简洁地描述为一个标记在一个结构上的图，这个结构本身就是一个图。定义2.4（类型图及其态射）设T是一个图。一T上的类型图G是图|G|图态射τG：|G| → T.设G，GJ是T上的类型图. 一个类型化的图态射f：G → GJ是一个图态射f：|G| → |GJ|与类型一致，即，使得τG= τGJ<$f。T上类型化的图的范畴记为T-图，其变体记为T-DGraph和T-IGGraph.在下面，我们假设一个固定类型图T。2.2带接口的我们将需要操作来组成图。因此，我们为类型化图配备了合适的[1]一个介绍。定义2.5（有接口的图及其态射）设J，K是类型图。具有输入接口J和输出接口K的图是三元组G=j，G，k，其中G是类型图，j：JG和k：KG是输入和输出类型图态射.设G，Gj是具有相同界面的图. 接口图态射f：GGJ是底层类型化图之间的类型化图态射f：G GJ，其保持输入和输出态射。设一个图的输入接口为J，输出接口为KbyJj G←kK.如果它的接口J和K是断开的（离散的），则它是断开的。在滥用符号的情况下，在下文中，我们将属于输入（输出）态射的图像的项分别称为输入（输出）。在分类文献中，具有接口的图就是所谓的科斯潘。实际上，我们下面介绍的图上的两个二元运算符是6F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）3⊗−→←其动机是将cospans刻画为合适的monoidal范畴。 我们使用图形启发的术语，因为它与以下部分的开发更一致。然而，为了正确地定义算子，我们需要强制执行两个约束。首先，我们假设图的不交并的选择是固定的（或者，等价地，图中的范畴余积被选择）。此外，我们隐式地将具有接口的图作为其同构类的代表，有时用相同的符号表示同构图及其组件的类。定义2.6（顺序和并行组合）设G=JjG←kKjJkJ−→GJ=K−→GJ<$I是带干涉的g raphs。它们的基本组成是具有接口G的图; GJ=JjJJGJJkJJI，对于GJJ，kjJ−→ ←当K−→ G和K−→ GJ时，jJ和kJJ是唯一诱导的。设G =JjG←kK和GJ=JJjJGJKJ KJ是有界图。他们的−→−→ ←JJJkJJ平行合成是指具有接口GGJ=（JJ J） GGJ（K KJ）的图，其中j j j和k j j是图中的不交并，jJ J和kJ J是唯一导出的箭头.直观地，序列组合G;GJ是通过取G和GJ下面的图的不交并，并将G的输出与GJ的相应输入粘合（可能模一些进一步的项目合并）来获得的。平行合成G<$GJ是通过简单地取G和GJ下的图的不交并而得到的。请注意，这两个操作都是在“具体”图上定义的。 然而，他们的结果并不取决于代表的选择 它们的同构类。注意，在定义2.6中引入的顺序和平行复合分别对应于范畴Cosspan（T-图）中的标准复合和该范畴中的monoidal算子。实际上，利用上述算子，具有接口的T-型图（的同构类）形成对称monoidal范畴，表示为F（T-Graph）;并且分别对于具有不连通和离散接口的T-型图的全子范畴D（T-Graph）和I（T-Graph）也是 有关该范畴的monoidal结构的详细信息， 我们参考例如[2，附录]。3具有DGS-Monoidal结构的范畴本节回顾了dgs-monoidal范畴的定义，并说明了dgs-monoidal范畴的箭头与带界面的类型图之间的对应关系。F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）370∇ ∇⊗∇⟨∅ ∅⟩∇ ⟨⟩⊗→ ⊗∇∇3.1一类monoidal范畴定义3.1（DGS-Monoidal范畴）一个（严格）gs-monoidal范畴C是一个六元组C0，n，e，ρ，n，！使得<$C0，<$，e，ρ<$是对称严格monoidal范畴且！a：a→e，a → a，a→a是两个箭头族（由对象a ∈C0索引）满足！e=Ide，一致性公理a;（a）=idaa;ρa，a=a而么同性公理a一个混蛋！b=！a一个（严格）dgs-monoidal范畴C是一个八元组的C0，n，e，ρ，n，！，Δ，？使得两个六元组都是C0，，e，ρ，，！和Δop，Δ op，Δ op，Δop，？op_s_s_monoidal cat_egories2 满足划分公理a;Δa=ida Δa;一个gs-monoidal函子<$F，φ，φe <$：C → CJ是一个对称monoidal函子（即一个函子F具有两个自然同构φe：F（e）→ EJ和φ：F（ab）F（a）jF（b））使得F（！a）; φe=！JF（a）和F（a）; φ =JF（a）;对于dgs-monoidal函子，同样地，另外保持Δ和？. 类别DGS表示（严格）dgs-monoidal范畴及其函子的集合。模仿术语和树之间的对应关系，自由gs- monoidal范畴的箭头对应于非循环术语图（在其他场合中， 看到例如[1]），并且自由dgs-monoidal范畴的箭头对应于图（参见例如[6]）：以与签名上的项由其自由代数理论的箭头表示相同的方式。作为一个例子，缺乏自然的态射（即， 公理s;=;（s s））允许区分项的共享和项的两个副本的出现现在，让我们再次考虑具有（离散/不连通）界面的图的范畴实际上，对于每个接口X，态射X由三元组表示 X，X，X ，X，还有明显的箭头;形态！X由三元组X，表示，并且对于Δ X和？X. monoidal结构不是严格的，因为平行合成例如不是结合的。现在，通过滥用符号，我们让F（T-图）（D（T-图）和I（T-图））也表示具有（分别为不连通和离散）接口的图的monoidal范畴，类型在T上，具有额外的（非严格）DGS-上面概述的单体结构。2Cop表示C0的对偶范畴，将箭头的方向颠倒，包括族0然后呢？op.Δop8F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）3zf∈→∈埃斯岛你好，你好，你好，、3.2代数与范畴我们现在正式地说明图与dgs-幺半群范畴之间的对应关系。在不同的伪装下，这一结果经常得到证明，大概是从S·tefanescu在Eig hties的工作开始的。我们只是参考[1，6]的精确使用的术语。定义3.2（（广义）签名）A（广义）签名=是一个集合S，一个族O=算子的σ，σJ∈SOσ，σJ，其中σ，σJ∈SO.换句话说，对我们来说，（广义）签名只不过是一个（超），图：排序是节点，并且运算符O Oσ、σJ是分别具有源元组s（o）=σ和目标元组t（o）=σJ的边。然后我们将互换使用这两个术语。现在考虑与一元签名关联的自由构造（即，使得σ，σJ∈S）是dgs-monoidal范畴DGS（S）：它的对象是各种元组，它的箭头是归纳生成的，将每个算子os，sJ与一个箭头o：s sJ联系起来，并且相对于定义3.1中要求的公理和附加箭头是封闭的。命题3.3设λ是一元签名，DGS（λ）是λ上的自由dgs- monoidal范畴。然后，存在从DGS（DGS）到具有离散接口的DGS-型图的第I类（DGS-图）的完全忠实dgs-幺半群函子。上面的结果意味着，DGS（X）的箭头与具有离散界面的X-型图是双射对应的，只要选择界面（意味着选择同构不连通界面的典型代表最重要的是，这个命题指出这些图的同构可以用方程的形式来描述，因此可以用dgs-monoidal范畴的定律来验证。3.3最基本的例子为了帮助我们直观地理解上述命题3.3中的对应关系，考虑图1所示的图：它们是在类型图T E上打印的，T E只包含两条边，标记为g和f，以及三个不同的节点，标记为X、Y和Z。节点由它们的排序表示。此外，输入（输出）接口中的节点是用虚线（分别为实线）圈起来表示的：这可能是限制性的（一个节点可能在一个接口中出现两次），但对于这个简单的例子来说就可以了。最后，边是具有进入tenches（从源）和离开tenches（到目标）的框。X，zg，zY，，zr，Z~，~，，Xzg，zY，、、、，zr，Z~，~，X， zg，zY，，zr，Z~，~，，r，r，rgzY，，frgfFig. 1.具有离散接口F1、F2和F3的图。zfzfzf、、F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）39∇⊗∇⊗∇ ∇⊗∇∇⊗ ⊗∇ ⊗∈∈--∈∈∈∈GG例如，图F1包含四个节点和四条边。标记为X的节点是输入节点，而Z是输出节点。边的标记是通过将它们的类型装箱：F1中标记为f的两条边有一个到标记为Z的节点的输出张力，以及一个来自两个不同节点的输入张力，都标记为Y。作为一个签名，TE包含三个排序，X，Y，Z;和两个运算符g OX，Y和fOY，Z。3现在，图F1和F2是箭头Xi（g）的图形对应物g）;（f）f）;Δ Z和g;Y;（ff）;Δ Z，分别属于hom-set DGS（X，Z）[X，Z].它们显然不是同构的，明显的区别是F2中包含边g的子图的重复（或缺少）。这种差异反映在以下事实上，g ;Y不是自然变换族，因此g;Y与X;（gg）。类似地，图F3是图F3的对应物。X;（gg）; Δ Y;Y;（ff）;Δ Z，它与F1和F2的差值为共享节点Y。4一个不连通图代数在前一节中，我们回顾了一个关于离散界面图的基本的、著名的结果。我们现在计划展示如何提升该结果，以捕获断开连接的接口，用一个简单的例子来完成本节4.1从图形到一元签名本节介绍了激发论文的评论，将T型上的不连通图与自由代数联系起来，用于导出签名T。定义4.1（图签名）设G是一个图。与G相关联的一元签名G具有S = EGNG作为排序的集合，并且O =eE，nN Oe，n作为算子族，对于siOe，n（tjOe，n），如果列表s（e）的第i个元素是n（列表t（e）的第j个元素分别是n）。换句话说，排序集由边集和节点集的不相交并集给出;而一元运算符模拟源函数和目标函数 的曲线图。解决方案确实是老式的：它对应于仅从超图中构造具有一元边的二分图命题4.2（不连通图的代数）T-型图的范畴T-Graph同构于环AIT上代数的范畴AlgT，并且它的T -型不连通图的全子范畴T-DGraph同构于环AIT上自由代数的范畴AlgT的全子范畴.证据很简单。事实上，对于完整的类别T-图和Alg-T，它是众所周知的，激发了例如图重写社区对一元代数的兴趣。不连通的情况也很简单，因为只有边和节点的集合是相关的。这一点可能被忽视了，因为迄今为止，这种图几乎没有什么用处。3与传统的图重写不同，tenetron方向采用了“数据流”而不是“控制流”的观点。10F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）3E3、、E3、、∈{}∈关于我们EN，S1你好，EZN，不、1下面的结果是命题3.3和命题4.2的结果。推论4.3设DGS（T）是T上的自由dgs-monoidal范畴。然后，存在从DGS（T-图）到具有不连通接口的T -型图的范畴D（T-图）的完全忠实dgs-monoidal函子。4.2另一个最基本的例子我们现在详细讨论一个非常基本的例子：事实上，这是所有例子中最基本的一个。其中让我们考虑图2中的类型图U。它有唯一的节点N和唯一的边E，显然s（E）=t（E）=N。作为一个签名，它只包含一个排序N和一个操作符E ON，N。U上的代数不是那么有趣。基本上，这些都是简单的图表（即，使得在两个节点之间最多存在一个边），另外验证从每个节点离开的正好是一个tenumerance。相反，在U上类型化的图是标准图，而离散图只是节点的集合。至于不连通图，直到同构，它们可以简单地表示为一组边和一组孤立节点。现在考虑图2右边的图，它有两个节点/排序，即E，N，和两个边/运算符，s1，t1OE，N;并且让G是图3左边的U型图（关于图1，为了清楚起见，项目被索引）。对应于G的环U上的代数有XE= E1，E2，E3和XN= N1，N2，N3，N4分别作为载体中的类E和N的集合。 也直观地给出了操作员，与s1（Ei）= N1和t1（Ei）=Ni，i = 1，2，3。值得注意的是，一个不连通图是同构的代数上的自由生成从它的基础集的边缘和孤立的节点。 考虑到例如图3右边的不连通图d（G）：它对应于具有变量XE和XN的（排序）集合的在GU上的自由代数。事实上，它是G的一种不连通变体，正如它在定义5.6中被形式化了一样。图二、类型图U（左）和相关的一元签名U，作为图（右）。s1（E1）zE1，zt1（，E1）zE2，zN2，N1s1（E3）s1（E2）zE2，zt1（，E2）N2N3N4N3t1（E3）N4图3.第三章。一个U型图G（左）及其不连通变体d（G）（右）.E1N1，rF. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）311→→R→⇒→|←− −→ ←−⇒5不连通图重写现在轮到考虑图重写，展示如何使用断开连接的规则仍然允许捕获框架的并发特性5.1DPO重写在本节中，我们将介绍重写类型（超）图[3]和具有接口的图定义5.1（生产）T型生产p：（L←l−K−→rR）是一个产生式名p和一对图态射l：KL，r：KRT-图。注意，我们不假设左手边射l是内射，T-图 。我们说一个产生式是不连通的（离散的），如果中间图K是这样的。定义5.2（导子）设p：（L<$l−K −→R）是一个T型图，G是T型图. p在G中的一个匹配是一个态射mL：LG。通过产生式p和匹配mL从G到H的直接推导是如图4所示的图，其中⑴和⑵是T图中的推出。我们用p/m表示这个推导：G=H，对于m=L，K，R，或者简单地用G= H。p： L，rlKrzR，mL（1）mK（2） mR、、、G，rDzH，勒什尔河见图4。 直接推导。在给出有接口图之间的导子的定义之前，我们需要引入迹关系的概念定义5.3（跟踪关系）设p是一个图的产生式，设p/m：G=H是一个直接推导，如图4所示。那么，与求导相关联的轨道关系tr（p/m）是由r（l）− 1：G → H给出的关系的对（关于g raphs和n odes）。设p/m：G = H是G的一个直导子，F是G的一个子图.然后，轨道关系tr（p/m）是F上的泛函，如果它对F的项的限制tr（p/m）F：FH实际上诱导了一个图态射。只要它是功能性的，跟踪关系就在推导之前和之后识别单个项。然后，它用于在派生过程中强制保留接口。定义5.4（有界面的图之间的推导）设G=JjkjJkJ−→G K和H=J H K是有界面的图，设p/m：G=H是直接推导，使得轨迹关系tr（p/m）是j（J）的函数，并且12F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）3→−→K⇒k （K ）。我们称p/m ：G=H 是有界图之间的一个直导子，如果jj=tr（p/m）<$j和KJ=tr（p/m）<$k.因此，直观地，具有接口的图之间的推导是底层图之间的直接推导，使得输入和输出被保留。最后，我们可以讨论连续步骤的独立性定义5.5（序列独立性）设p1/m1：G = H和p2/m2：H = H是两个直接求导，如图5所示。然后，如果存在两个图态射i1：R1→D2，i2：L2→D1使得l2i1=mR1且r1i2=mL2。5.2关于不连通导子众所周知，从可达性的角度来看，将注意力限制在离散产生式上并不意味着失去任何一般性。从并发性的角度来看，情况不再如此，因为中间图的项表示在派生期间被保留（即，读取但不消耗）的那些项。定义5.6（不连通图）设G是T-型图.它的不连通变体d（G）是由G的边集和结点集生成的与自由代数相联系的不连通图。这个定义给出得很好，因为在T-型图中的一个代数唯一地标识一个T-型图。因此，对于T-型图G，我们用dG：d（G）G表示图的显态射.定义5.7（断开接口和生产）设G=JjG←-K是一个有界面的图。则它的不连通变体是具有不连通接口的图d（G）=d（J）j <$dJGk <$dK d（K）.−→ ←−Letp：（L←l−K−→rR）为T型生产。然后，它的离散变量是不连通的生产d（p）：（Ll <$dKd（K）r <$dK R）。←− −→因此，我们可以从一个图或一个产生式中得到一个不连通图，最重要的是，导子也是引理5.8设p是一个图的产生式，p/m：G=H是一个直接导子，如图4所示。然后有一个直接导子d（p）/d（m）：G=<$H，其产生式d（p）和匹配式d（m）=<$mL，mK<$dK，mr<$。通过查看图6，可以很容易地恢复上述结果的证明。导子d（p）/d（m）称为p/m的不连通变体，记为d（p/m）。推论5.9设p是一个图的产生式，p/m：G=H是有界图之间的一个直导子。然后在具有界面d（p/m）的图之间有一个直接的推导：d（G）=d（H）.F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）31312GD⇒⇒−→←−∈→HLL1，Kr1r1zR1，LL2，Kr2r2zR2，mL1mK1、、、mR，1，ccCmK2MR2，，rrrcr，，D1l1r1zH，rl2位D2zI，2图五. 对于p1/mL1：G=H和p2/mL2：H=I的序列独立性。d（p）：L，rldd（K）rd zR，idLdK，l ，rIDR、L，r KmLmK、、、zR，MR、，rz，l图第六章直接派生的不连通变体唯一重要的是要注意tr（p/m）和tr（d（p/m））明显一致， 而且，具有界面的图的J（ofK）的像 JGK将G的同一子图刻画为其不连通变体的接口d（J）（分别是接口d（K）的）的像，因为dJ（dK，分别是）是满射的。请注意，d（p）比p可以进行更直接的推导。然而，前一类可以被适当地限制：选择匹配mL，可以获得一一对应，例如通过仅考虑经由所谓的自然推出补获得的那些推导。我们请读者参阅[7，第3节]。从我们的观点来看，可以把结果陈述如下。命题5.10（分离保持独立性）令p1/m1：G= H和p2/m2：H = I是两个如图5所示 的直接 导数。 则这 些导子 是序列 独立的 当且仅 当d （ p1/m1 ） 和d（p2/m2）是序列独立的.6结论和进一步工作本文的核心是第四节：主要讨论离散图与不连通图之间的对应关系，并说明如何从一个类型图T构造一类表示T-型不连通图的代数。图的构造使人想起超图作为二部图的表示。作为一个典型的例子，我们关注的是在签名U上类型化的图，其排序为N，一元运算符为E ON，N，对应于标准图：每个图都由签名U上的代数标识，排序为E，N，运算符为s1，t1：E N;在U上类型化的具有不连通接口的图，唯一地由DGS（U）的箭头表征。与此相关，第5节讨论了有关DPO重写与断开规则的初步结果。不连通图从以下角度来看是相关的：2∗Rr14F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）3图重写的观点，因为它们允许通过DPO方法获得的直接推导的归纳表示，但保留其所有的并发功能。虽然后一个问题在第5节中有一些细节讨论，但我们不处理前一个问题，我们请读者参考[6]，特别是[7]。实际上，不连通图是在那里首次研究的，本文可以被认为是那里出现的一些结果的重新表述和推广（到超图），部分通过[10]中的一些评论进行了过滤的确，以前有很多鼓舞人心的作品，即使我在这里稀疏地引用其他论文。我提前道歉，并请读者参考下面参考书目中出现的几个项目中的参考文献。然而，请注意，即使是相同的名称dgs-monoidal范畴是我们目前采用的变体，并且等价的结构在文献中以不同的伪装出现，例如交换可分代数[10]或作为（折叠的，其中a=a）紧闭范畴的实例[12]。我们想进一步研究DGS（DGS）的属性，根据粘合剂类别的使用作为DPO重写的泛化框架[9]，并可能在使用借用的上下文机制提取的标签中包含并发性。确认我 非 常 感 谢 Andrea Corradini 、 Aberto Lluch-Lafuente 和 Giacoma ValentinaMonreale对本文进行了有趣的讨论和仔细的阅读。引用[1] Corradini，A.和F. Gadducci，重写循环结构：操作和cat egori calrestriction之间的等价性，InformatiqueTh'eoriqueetApplications/TheoreticalInformaticsand Applications 33（1999），pp. 467-493.[2] Corradini，A.和F. Gadducci，多重代数和部分代数的函子语义及其在句法，Theor。Comp. Sci. 286（2002），pp.293-322.[3] Corradini ， A. ，联 合Mo ntanari ， F. Rossi ， H. 埃 里 格 河He ckel 和 M.Lüowe ，Algebraicapproachestographtransformation I：Basic concepts and double pushout approach，in：G.Rozenberg，编辑，Handbook of Graph Grammars and Computing by Graph Transformation，I：Foundations，World Scienti fic，1997 pp.163-245[4] Ehrig，H. 和B. Kéonig，在DPO应用程序中推导互模拟一致性，以使用借用的上下文进行语法重写，计算机科学中的数学结构16（2006），第16页。1133-1163.[5]Gadducci，F.，图重写π演算，计算机科学中的数学结构17（2007），pp. 407-437[6]Gadducci，F.和R.Heckel，An inductive view of graph transformation，in：F.Parisi-Presicce，编辑，最近的趋势在代数发展技术，LNCS1376（1997），页。 219-233.[7] Gadducci，F.，R. He ckel和M. Llab r′es，Abi-cat egori calaxiomatisation ofconcurent graphrewritingg， in ： M. 霍 夫 曼 ， D.Pavlov i`c 和 G. Rosolini ， 编 辑 ， Cat egoryTheoryandComputerScien ce ，Electric.Notes in Theor. Comp. Sci. 29（1999）。[8] Katis，P.，N. Sabadini和R.Walters，SPAN（Graph）：A categorical algebra of transition systems，in：M. Johnson，editor，Algesthetics Methodology and Software Technology，LNCS1349（1997），pp.307-321[9] 拉克 ，S.和P.所 以 波 辛 斯 基 ，一种 粘 性 和 准 粘 性 的粘结剂，Informatique泰 奥 里 克etApplications/Theoretical Informatics and Applications 39（2005），pp. 511-545F. Gadducci/理论计算机科学电子笔记253（2009）315[10] 罗斯布鲁河， N. Sabadini和R. 沃尔特斯，计算colimits组成，在：P. Degano，R. De Nicola和J. Meseguer，编辑，Concurrency，Graphs and Models，LNCS5065（2009），pp. 581-592.[11] Sassone，V. 和P. So bocin'ski，Reactivesystemsovercos pan s，in：LogicinComputerScien ce（2005），pp. 311-320[12] Selinger，P.， Monoidal范畴的图形语言综述，载：B。 Coecke，编辑，New物理结构，物理讲义（2009），即将出版。可查阅http://arxiv.org/abs/0908.3347。[13] Stefanescu，G.，《新工作代数》，Springer，2000年。
我的内容管理
展开
