双拓扑空间中新型广义闭集及连续函数的构造与证明

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，318原创文章双拓扑空间中的新型广义闭集H.M. 阿布多尼亚埃及Zagazig大学理学院数学系接收日期：2012年3月7日;修订日期：2012年10月1日;接受日期：2013年3月14日2013年5月4日在线发布本文在双拓扑空间（X，s1，s2）中引入了一类新的闭集，并利用它构造了新的正规型，同时引入了双拓扑空间之间连续函数的新形式。最后，证明了新的正规性在双拓扑空间之间的某些连续函数MSC：54C08 54C10 54C20？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 引言和附录在文献[1-5]中引入并研究了正则闭集、广义闭集（brie-闭，g-闭）、准开集、正则广义闭集（brie-闭，rg-闭）和广义准闭集（brie-闭，gp-闭）的准开集和正则开集的概念已被推广到双拓扑空间[6]，分别称为ij-准开和ij文[7]中引入了弱正规性和几乎正规性。在[8]中引入了正规空间的一种弱形式，称为轻度正规空间。在[9]中，作者用预开集定义了预正规空间，最近，在[10]中，[10]作者继续研究了预正规空间的进一步性质，并定义和研究了轻度p-正规（分别为：几乎p-正规）空间是广义的电子邮件地址：donia_1000@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier两人都是正常的（分别为几乎正规）空间和p-正规空间。文[11]中引入了广义预正则闭（brie-regular，gpr-闭）集的概念.文[12]中引入了副正规空间的概念.文[13，14]将g-闭集，gp-闭集，rg-闭集，轻度正规空间和几乎正规空间的概念本文将GPR-闭集的概念推广到双拓扑空间（X，S1，S2），称之为ij-GPR-闭集。同时，我们在双拓扑空间中构造了基于ij-预开集的一类新的正规性，称为预正规、几乎预正规和轻度预正规。我们利用ij-GPR-闭集类来刻画这些类型的正规性，并构造了新的连续函数类型。我们证明了引入的双正规性在某些类型的连续函数下是保持的。设A是双拓扑空间（X，s1，s2）的一个子集，其内部（分别为X，s1，s2）是X的一个子集，其内部（分别为X ， s1 ， s2 ） 是 X 的 一 个 子 集 。 闭 包 ） 关 于 拓 扑 si（i=1，2）将由inti（A）（resp. cli（A））。我们用i-C（X）表示关于拓扑si的在下文中，令i，j2{1，2}且i，j。1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.03.005关键词ij-近开集;ij-近连续函数; Binormal;几乎副正态和轻度副正态双拓扑空间中的新型广义闭集319（二）（二）2222定义1.1[6]。一个双拓扑的子集A 空间 （X，s1，s2）被称为(1) i j-预打开，如果A在tic ljA中。(2) ij-正则开，如果A=inti（clj（A））。ij的补数-preopen（resp. ij-正则开）集称为ij-预闭（分别为. ij-正则闭）集。我们表示所有ij-预开（分别）的集合。ij-预闭，ij-正则开，ij-正则闭）集分别由ij-PO（X）（分别为. ij-PC （X）、ij-RO（X）和ij-RC（X））。定义1.2[6]。对于任意双拓扑空间（X，s1，s2）和AcX，ij-预内部（resp.i j-预闭）表示为pinti jA（相应地，pclijA），并定义为pintijASfFX：F2ij-POX;FA}（分别） pc li j-PCX;F≥A}）。定义1.3.双拓扑空间（X，s1，s2）的子集A称为(1) ij-广义闭[14]（briefly，ij-g-closed）如果Ac U，U sicl j（A）c U.(2) ij-正则广义闭[13]（brie-brief，ij-rg-closed）如果Ac U，Uij-RO（X）cl j（A）c U。(3) ij-广义 预封闭的 [14个] （布里奇特， ij-gp -关闭）如果AU;U2si）pclj iAU.定义1.4.称双拓扑空间（X，s1，s2）的子集A是ij-广义预正则闭（brie-gpr- closed）的，如果AcU，U2（ij-RO（X））pcl（A）cU.ij-g-closed的补数Ij-RG-闭、Ij-GP-闭和Ij-GPR-闭）集分别称为Ij-G-开（Ij-Gij-rg-open、ij-gp-open和ij-gpr-open）集合，并在下面的引理中定义。定义1.4是Noiri定义8的一个特例[15]。从[15]中的命题4，我们得到如下引理。引理1.1. 双拓扑空间（X，s1，s2）的子集A是：(1) ij-g-开当且仅当AsF，F2i-C（X））intj（A）sF(2) ij-rg-open当且仅当As F，F2 ij-RC（X））intj（A）sF(3) ij-gp-开当且仅当AsF，F2i-C（X））pintji（A）sF(4) ij-gpr-开当且仅当As F，F2 ij-RC（X））pintji（A）sF我们表示所有ij-g-闭（分别为）的集合。ij-g-open，ij-rg- closed ， ij-rg-open ， ij-gp-closed ， ij-gp-open ， ij-gpr-closed，ij-gpr-open）集合。i j-GO （X），i j-RGC（X），i j-RGO（X）、ij-GPC（X）、ij-GPC（X）、ij-GPRC（X）和ij-GPRO（X））。ij-GPR -闭集的任意并是ij-GPR-闭集。但是两个ij-GPR-闭集的交集不需要是IJ-GPR-闭集，如以下示例所示。实施例1.1.设X={a，b，c，d}，si={X，i，{a}，{d}，{a，d}}并且s2={X，I，{b}，{a，b}}。我们有{b，c}，{b，d}2个21-GPRC(X) 但{b，c}\{b，d}={b}R21-GPRC（X）.提议1.1. 下图显示了上述不同类型的闭集之间的关系。其中这些暗示都不是可逆的，如以下实施例所示。实施例1.2.令X={a，b，c，d}，si={X，i，{a}，{a，d}}，并且s2={X，l，{a，b}，{c，d}}。（箭头1，5）{b}212-GC（X）\21-PC（X），但{b}R2-C（X）。（箭头2，6）{d}212-RGC（X）\12-GPC（X）但{d}R12-GC（X），因为存在包含{d}的{a，d}2s1，使得 2-cl（{d}）={c，d}6<${a，d}。（箭头3）{a，b}212-GPC（X）但{a，b}R12-PC（X）。（ 箭 头 4 ） {a ， b} 21-GPRC （ X ） 但 {a ， b}R21-GPC（X），由于存在包含{a，b}{ a，b} 2，pcl（{a，b}）=X6 <${a，b}.（箭头7）{c}221-GPRC（X），而不是{c}R21-RGC（X），因为存在包含{c}的{c，d}221-RO（X），使得1-cl（{c，d}）={c，d}6<${c}。注1.1.对于任何双拓扑空间（X，s1，s2），我们注意到：(1) 类ij-GC（X）和ji-PC（X）是独立的(2) 类ij-RGC（X）和ij-GPC（X）是独立的。下面的例子研究了前面的评论。实施例1.3. 令（X，s1，s2）如例1.2所示：（1）{c，d} 21-RGC（X）但{c，d}R21-GPC（X），{c} 21-GPC（X）但{c}R 21-RGC（X）。（2）{a，c}12-GC（X），但{a，c}R 21-PC（X），还有，{d} 21-PC（X）但{d}R12-GC（X）。定理1.1.对于任何双拓扑空间（X，s1，s2），AcX，以下成立：(1) 如果A2 ij-GC（X）\si，则A2 j-C（X）。(2) 如果A2 ji-GPC（X）\si，则A2 ji-PC（X）。320H.M. 阿布多尼亚2222222222222222221122121212222(3) 如果A ij-RGC（X）和si=ij-RO（X）则Aij-GC（X）。(4) 如果Aij-GPRC（X）和si=ij-RO（X），则Aij-GPC（X）。(5) 如果Aij-GPRC（X）和j-C（X）= ji-PC（X），则Aij-RGC（X）。(6) 如果Aij-GPC（X）和j-C（X）=ji-PC（X），则Aij-GC（X）。证据 明显H定理1.2. 对任意双拓扑空间（X， s1， s2）。 若A2 ij-GPRC（X）和AcBcji-pcl（A），则B2 ij-GPRC（X）.证 据 设 B∈U ， U ∈ j-RO （ X ） . 由 于 AcB 和 ij-GPRC（X），则ji-pcl（A）cU.因为Bcji-pcl（A），所以我们有ji-pcl（B）cji-pcl（A）cU.因此B2ij-GPRC（X）. H定理1.3. 设（X，s，s）和.X;sω;sωε是两个双拓扑，证据 直截了当。H在图2.1中，箭头是不可逆的，因为可以看到以下示例：实施例2.1.设X={a，b，c，d}，Y={u，v，w}，si={X，/，{a}，{a，d}}和s2={X，l，{a，b}，{c，d}}。r1={Y，l，{u}，{v，w}}和r2={Y，I，{v}，{u，v}}。设f：（X，s1，s2）f（Y，r1，r2）.（箭头1，2）如果f由f（a）= u，f（b）=v和f（c）=f（d）= w定义。我们有f是12-预连续的，但它不是1-连续的。由于存在{u} 1-C（Y）但f-1（{u}）={a}R1-C（X）。同样，f是12-g-连续的，但它不是2-g-连续的。连续的 以来 那里 存在 {u，w}2-C（Y） 使得f-1（{u，w}）={a，c，d}R2-C（X）.（箭头3，4）如果f由f（a）=f（b）= u f（c）= v和f（d）= w定义。我们有f是12-gp-连续的，但它不是12-g-连续的.由于存在{w} 2-C（Y）但f-1（{w}）={ d} R12-GC（X）. f也不是21-预连续的。由于存在{u，w} 2 2-C（Y）使得f-1（{u，w}）={a，b，d} R 12-PC（X）.空间。如果A2ij-GPRO（X1）和B2i* j*-GPRO（X2），则A·B2 i· i*，j· j*-GPRO（X1·X2）.证据 让一ij-GPRO（X1），Bi*j*-GPRO（X2）W=A·BcX·X。设F=F·FCW，Fi·i*，j·j*-RC（ X1·X2）. 然后，有F1ij-RC（X1）和F2i*j*-RC（X2），F1cA，F2cB和所以F1c品吉（A）和F2pintjωiωB。因此，F1×F2（箭头5，6）如果f由f（a）=f（d）=v f（b）=u和f（c）=w定义。我们有f是12-gp-连续的和12-pre-gp-连续的，但不是12-pre-gp-连续的.由于存在{v}221-PC（Y）使得f-1（{v}）={a，d}R12-GPC（X）.备注2.1.对于任何函数f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2），我们注意到：品脱ωωA × B因此A·B2i·i*，j·j*-GPRO （X1j×j;i×iX2）。H2. 几类ij-近连续函数在这一节中，我们引入了两种类型的双拓扑空间之间的连续函数，并研究了它们的性质。定义2.1[14]。的函数 f：（X，s，s）f（Y，r，r）是(1) ij-g-连续和ij-pre-gp-连续是独立的。(2) ji-precontinuous和ij-g-continuous是独立的。(3) Ij-GP-连续和Ij-pre-GPR-连续是独立的。下面的例子证明了前面的评论。实施例2.2（i，ii）[分别（三、四）和2.4（五、六）]调查被称为：1 2 12注2.1（1）[分别(2)和（3）]。(1) ij-预连续的，如果6V2i-C（Y），f-1（V）2ij-PC（X）实施例2.2. 令f：（X，s，s）fi（Y，r，r）如例2.1所示。(2) ij-g -连续的，若6V2j-C（Y），f-1（V）2ij-GC（X）.1 2 12(3) ij-gp -连续的，如果6V2j-C（Y），f-1（V）2ij-GPC（X）。(4) i-连续的，如果6V2i-C（Y），f-1（V）2i-C（X）.定义2.2.函数f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）被调用：(1) ij-预探-连续 如果 6V ji-PC （Y），f-1（V）ij-GPRC（X）.(2) ij-前-gp-连续的，如果6Vji-PC（Y），f-1（V） ij-GPC（X）。定理2.1. 先前的双拓扑空间之间的函数连续性概念之间的关系如下图所示：·双拓扑空间中的新型广义闭集3212222(i) 如果f由f（a）= v，f（b）= u和f（c）=f（d）= w定义。f是12-g-连续的，但不是12-准gp-连续的.由于存在{v} 21-PC（Y）使得f-1 （{v}）={a} R12-GPC（X）.(ii) 如果f被定义为f（a）=f（c）= v，f（b）= u和f（d）= w。f是12-准gp-连续的，但不是12-g-连续的.由于存在{w} 2-C（Y）使得f-1（{w}）={d} R12-GC（X）.(iii) 如果f定义为f（a）= f（b）=v f（c）= u和f（d）=w。f是21-预连续的，但不是12-g-连续的.由于存在{w} 2-C（Y）使得f-1（{w}）={d} R12-GC（X）.(iv) 如果f被定义为f（a）=f（c）= w，f（b）=v和f（d）=u。f是12-g-连续的，但不是21-预连续的.由于存在{w} 2-C（Y）使得f-1（{w}）={a，c} R2 1-PC（X）.(v) 如果f由f（a）=v，f（b）=f（d）=w和f（c）=u定义。我们有f是12-gp-连续的，但它不是12-pre-gpr-322H.M. 阿布多尼亚2222222222◦ 2◦22连续的 由于存在{v} 21-PC（Y），f-1（{v}）={a}R12-GPRC（X）.(vi) 如果f被定义为f（a）=f（d）=w，f（b）=u和f（c）=v。 f是12-pre-gpr-连续的，但不是12-gp-连续的.由于存在{w} 2-C（Y）使得f-1（{w}）={a，d} R12-GPC（X）.定义2.3.函数f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）被调用：(1) i j-R -映射，如果6V2i j-RO（Y），f-1（V）2i j-RO（X）;(2) ij-预不定式，若6V2ij-PC（Y），f-1（V）2ij-PC（X）;(3) ij-r -闭的，若6G2ij-RC（X），f（G）2ij-RC（Y）;(4) ij-pre-gp -closed若6G2ij-PC（X），f（G）2ji-GPC（Y）;(5) ij-pre-rgp -closed如果6G2ij-PC（X），f（G）2ji-GPRC（Y）;引理2.1. 为任何 满射功能f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）以下是等价的。(a) f是ij-pre-gp-闭函数。(b) 对任意BcY，Uij-PO（X）使得f-1（B）cU，存在Vji-PO（Y）使得BcV和f-1（V）cU.证据必要性，设BcY，Uij-PO（X）使得f-1（B）cU.设f是ij-准gp-闭函数，则f（U）是ij-准gp-闭函数.设V=f（U）。由于f-1（B）cU，则B=f（f-1（B））cf（U）= V且f-1（V）= f-1（f（U））cU。H充 分 性 ， 设 G ij-PO （ X ） ， f （ G ） sF 使 得 Fi-C（Y），则Gsf-1（F），FcY.这意味着存在V2ji-G（Y）使得FcV和f-1（V）cG.由于V2j-C（Y），F2j-C（Y）和FcV.因此，pintij ≥ F。由于Vcf（G），则Fpinti jVpinti jfG。这意味f（G）2∈N（Y）.因此，f是ij-pre-gp-闭函数.引理2.2. 对于任意满射函数f：（X，s1，s2）fi（-s1，s2）f（Y，r1，r2）下列等式是等价的。(a) f是ij-pre-rgp-闭函数。(b) 对任意BcY，Uij-PO（X）使得f-1（B）cU，存在Vji-GPRO（Y）使得BcV和f-1（V）cU.证据 类似于Lemma 2.1。H定理2.2. 设f：（X，s1，s2）f（Y，r1，r2）是ij-pre-gp-连续的（分别）ij-预-gp-连续）函数，且g：（Y，r1，r2）fi（Z，g1，g2）是ij-预不定函数，则g∈f：（X，s1，s2）fi（ Z ， g1 ， g2 ） 是 ij- 预 -gp- 连 续 （ 分 别 为 . ij-pre-gpr-continuous）证据设Vij-PC（Z），由于g是ij-预不定的，则g-1（V）ij-PC（Y）.由于f是ij-pre-gp-连续的，则f-1（g-1（V））= （ gf ） -1 （ V ） ji-GPC （ X ） . 因 此 ， g f ij-pre-gp-continuous. H3. 双拓扑空间在这一节中，我们介绍了双拓扑空间中的三个正规性概念，即预正规，轻度预正规，双拓扑空间中的新型广义闭集323\222N2 2222\2222n 2 22 n 2n）2 2 \2222而且几乎是超常的我们用ij-GPR-开集给出了这类副正规性的一个新刻画.定义3.1[12]。双拓扑空间（X，s1，s2）称为双正规的，如 果 给 定 不 相 交 子 集 A ， B ， A2i-C （ X ） 和 B2j-C（X），存在不相交子集U，V使得U2sj，V2si，AcU和BcV.定义3.2.称双拓扑空间（X，s1，s2）是预双正规的，如果给定不交子集A，B，A2i-C（X）和B2j-C（X），存在不交子集U，V使得U2ij-PO（X），V2ij-PO（X），AcU和BcV.定理3.1.对于任何双拓扑空间（X，s1，s2），以下陈述是等价的：(a) X是前副正规的;(b) 对任意不交集Ai-C（X）和Bj-C（X），存在Uij-GPRO（X），Vji-GPRO（X）和U V= /，使得AcU和Bc V(c) 对任意Ai-C（X），Gsj和GsA，存在Uij-GPRO（X）使得AcUcpclij（U）cG.证 据 （ a ））（ b ） 。 设 A2i-C （ X ） ， B2j-C（X）和A1B=I.由于X是前副正规的，则存在U2ji-PO （ X ） ， V2ij-PO （ X ） 和 U\V=I 使 得 AcU 和BcV，由此，存在U2ij-GPRO（X），V2ji-GPRO（X）和U\V=I使得AcU和BcV.(b) ）（c）。设A2i-C（X），G2sj和GsA.则A2i-C（X），XnG2j-C（X），（XnG）\A=1.则存在U2ij-GPRO（X），V2ji-GPRO（X）和U|V=1使得AcU和XnGcV.由于V2ji-GPRO（X），XnG2ji-RC（X）和XnGcV，则利用引理1.1（4）我们有pintij（V）sXnG.U\V=I意味着U\pintij（V）=I。因此，AcUcXnpintij（V）cG，这就得出AcUcpclij（U）cXnpintij（V）cG。因此，AcUcpclij（U）cG.(c)（一）.设A i-C（X），B j-C（X）和AB=I.则Ai-C（X）， XBsj 和AcXB.因此，存在Gij-GPRO（X）使得AcGcpclij（G）cXB。由于AcG，Aij-RC（X）和Gij-GPRO（X），则利用引理1.1（4）我们有Acpintji（G）.由此得出BcX pclij（G）=pintij（Gc），pintji（G）ji-PO（X），pintij（Gc）ij-PO（X）和pintji（G）pintij（Gc）=1.设U=int j（cl i（pint-ji（G）和V=int i（cl j（pint ij（G c）。则U，V是不相交的，U ji-PO（X）和Vij-PO（X）此类美国和VsB. H定义3.3.空间（X，s1，s2）称为几乎预二进制的，如果 给 定 不 交 子 集 A 和 B ， A2i-C （ X ） ， B2ji-RC（X），存在不交子集U和V使得U2ji-PO（X），V2ij-PO（X），AcU和BcV.定理3.2.对于任何双拓扑空间（X，s1，s2），以下陈述是等价的：(a) X几乎是前副正规的;(b) 对 于 每 个 不 相 交 的 集 合 Ai-C （ X ） 和 Bji-RC（X），存在不相交的子集Uij-RC（X）和Vji-RC（X），使得AcU和BcV;324H.M. 阿布多尼亚2我我n22n2222nn 2nn\2222n2n\）22\2222222 2\2 2\2 2\2\22IJIJIJ我-n2n 222 n 2n）2 2\2\222人22 2\(c) 对 于 每 个 不 相 交 的 集 合 Ai-C （ X ） 和 Bji-RC（X），存在不相交的子集Uji-GPRO（X）和Vji-GPRO（X），使得AcU和BcV;(d) 对 于 每 个 Ai-C （ X ） 和 Kji-RO （ X ） ， 以 及KsA ， 存 在 Uij-GPRO （ X ） 使 得 AcUcij-pcl（U）cK。证据很明显，（a）（b）（c）。(c)（d）.设A∈C，K∈RO（X），K∈A.这意味着A sc和X Kji-RC（X）和（X A）A=/那么，存在Uij-GPRO （X ）和Vji-GPRO （ X）使得AcU ， XKcV 和UV=/.由于Vji-GPRO（X），XKji-RC（X）和XKcV，则根据引理1.1（4），我们有pintij（V）sXK.因为UV=I 意 味 着 U pint ij （ V ） = I 。 因 此 ， AcUcX pintij（V）cK，这就得出AcUcpclij（U）cX pintij（V）cK。因此，我们认为，AcUcpclij（U）cK(d) （一）. 设Ai-C（X），Bi-RC（X）和AB=I.这意味着Ai-C（X），XBji-RO（X）和AcXB.因此，委员会认为，存在Uij-GPRO（X）使得AcUcpclij（U）cXB.由于A c U，Aij-RC（X）和Uij-GPRO（X），则通过使用引理1.1（4），我们有A cpint（U）。由此得出BcX pcl（U）= pint（U c），pint j（U）ji-PO（X），pint ij（U c）ij-PO（X）和pint ji（U）pinti-j（U c）= 1.设 G = int j（cl i（pint ji（U）和H=int i（cl j（pint ij（U c）。则G，H是不相交的，G2ji-PO（X）和H2ij-PO（X）使得G是A，H是B.H证据设A2i-C（Y），B2j-C（Y），A\B=/，由于f是满射i-连续的， 则f-1 （A）2i-C（X）， f-1 （B）2j-C（X）和f-1（A）\f-1（B）=f-1（A\B）=/.由于X是预二进制的，所以存在Uji-PO （X ），Vij-PO （X ）和UV=f，使得f-1（A）cU和f-1（B）cV. 由于f是ij-准gp-闭的，根据引理2.1，存在G ij-闭（Y）和H ij-闭（Y）使得A c G，B c H，f-1（G）c U和f-1（H）c V. 因为U和V不相交，所以G和H也不相交。由于G ij-ij（Y）和H ij-ij（Y），根据引理1.1（3），则我们有Acpint-ji（G），Bcpintij（H），因此pintji（G）pintij（H）=1。因此，Y也是前副正规的。H定理4.2. 若f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）是ij-R-映射的ij-pre-rgp-闭满射，且X是轻度预正规的，则Y也是轻度预正规的.证据 设A2 ij-RC（Y），B2 ji-RC（Y），A\B = /，由于f是满射ij-R-映射，则f-1（A）2 ij-RC（X），f-1（B）2 ji-RC（X）和f-1（A）\f-1（B）=/. 由于X是轻度预副正规的，则存在Uji-PO（X），Vij-PO（X）和UV=f使得f-1（A）cU和f-1（B）cV.由于f是ij-pre-rgp-闭的，根据引理2.1，存在Gij-GPRO（Y）和Hji-GPRO（Y）使得AcG，BcH，f-1（G）cU和f-1（H）cV.因为U和V不相交，所以G和H也不相交。由于G2ij-GPRO（Y）和H2 ji-ij（Y），根据引理1.1（4），则我们有Acpint ji（G），Bcpint ij（H），因此pint ji（G）\pint ij（H）=/。因此，Y也是轻度预副正规的。H定理4.3. 如果f：（X，s，s）f（Y，r，r）是ij-pre-rgp-闭的1 2 12定义3.4.称双拓扑空间（X，s1，s2）是轻度预双正规的，如果给定不交子集A2ij-RC（X）和B2ji-RC（X），存在不交子集U2ji-PO（X）和V2ij-PO（X）使得AcU和BcV.定理3.3.对于任何双拓扑空间（X，s1，s2），以下陈述是等价的：(a) X是轻度前副正规的;(b) 对 任意 A2ij-RC （ X ） ， B2ji-RC（ X ） 和 A\B=I，存在U2ij-RC（X），V2ji-RC（X）和U\V= I使得AcU和BcV;(c) 对 任意 A2ij-RC（ X ） ， B2ji-RC（ X ） 和 A\B=I ， 存 在 U2ij-GPRO （ X ） ， V2ji-GPRO（X）和U\ V=I，使得Ac U和Bc V;(d) 对任意的A2ij-RC（X），K2ji-RO（X）和AcK，i-映射，i-连续，满射且X是几乎预正规的，则Y也是几乎预正规的。证据设A i-C（Y），B i-RC（Y）和A B=I.由于f是ij-R-映射，则f-1（B）ji-RC（X）. 由于f是i-连续的，则f-1（A）i-C（X），我们有f-1（A）f-1（B）=f。由于X几乎是预副正规的，则存在Uji-PO（X），Vij-PO（X）和UV= f使得f-1（A）cU和f-1（B）cV.由于f是ij-pre-rgp-闭的，根据引理2.1，存在G ij-GPRO（Y）和H ji-GPRO（Y）使得AcG，BcH，f-1（G）cU和f-1（H）cV.因为U和V不相交，所以G和H也不相交。由于G ij-GPRO（Y）和Hji-ij （ Y ） ， 通 过 引 理 1.1 （ 4 ） ， 则 我 们 有 Acpint ji（G），Bc pint ij（H），因此pint ji（G）pint ij（H）=1。因此，Y也几乎是前副正态的。 H定理4.4.如果f：（X，s，s）f（Y，r，r）是ij-pre-gpr-continuu-，存在U2ij-ij（X），使得AcUcpclij（U）cK;1 2 12(e) 对任意A2ij-RC（X），K2ji-RO（X）和AcK，存在U2ij-GPRO（X），使得AcUcpclij（U）cK;证据 类似于定理3.2。 H4. 保持定理在这一节中，我们证明了这三种类型的双正规性性质在双拓扑空间之间的某些类型的函数下保持不变。定理4.1. 如果f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）是ij-预-gp-闭的，i-连续的，满射的，并且X是预子正规的，那么Y也是预子正规的。双拓扑空间中的新型广义闭集325\222人12如果Y是预正规的，则X也是正常前证据 设A2i-C（X），B2j-C（X）和A1B = I. 由于f是i-闭内射，则f（A）2i-C（Y），f（B）2j-C（Y）和f（A）f（B）=1.通过Y的预双正规性，存在U ji-PO（Y），V ij-PO（Y）和UV=f使得f（A）cU和f（B）c V. 由于f是ij-pre-gpr-连续的，f-1（U）ij-GPRO （ X ） 和 f-1 （ V ） ji-GPRO （ X ） 使 得 Acf-1（U），Bcf-1（V）和f-1（U）f-1（V）= 1。因此，根据定理2.1（b），X是前副正规的。H定理4.5. 如果f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）是ij-pre-gpr-continuousij-rc-preserving，injection且Y是轻度预副正规的，则X也是轻度预副正规的。326H.M. 阿布多尼亚\\22222 2\2 2\证据 设A2 ij-RC（X），B2 ji-RC（X）和A1 B = 1.由于f是ij-rc-保持注入，则f（A）2 ij-RC（Y），f（B）2 ji-RC（Y）和f（A）\f（B）= f。利用Y的弱预正规性，存在U ji-PO（Y），V ij-PO（Y）和UV=/使得f（A）cU和f（B）cV. 由于f是ij-pre-gpr-连续的，f-1（U）ij-GPRO（X）和f-1（V）ji-GPRO（X）使得A c f-1（U），B c f-1（V）和f-1（U）f-1（V）=1。因此，根据定理2.3（c），X是轻度预副正规的。H定理4.6. 如果f：（X，s1，s2）fi（Y，r1，r2）是ij-pre-gpr-continuous ij-rc-preserving，i-closed injection，且Y是几乎预二进制的，则X也是几乎预二进制的。证据 设A2i-C（X），B2ji-RC（X），A1B = f.由于f是ij-rc-保持和i-闭注入，则f（A）2 i-C（Y），f（B）2 ji-RC（Y）和f（A）\f（B）= f. 通过Y的几乎预二正态性，存在U_（ij）-PO（Y），V_（ij）-PO（Y）和U_V = f，使得f（A）c_U，f（B）c_V. 由于f是ij-pre-gpr-continuous，f-1（U）ij-GPRO（X）和f-1（V）ji-GPRO（X）使得A c f-1（U），B c f-1（V）和f-1（U）f-1（V）= 1. 通过定理2.2 (c)因此，X几乎是前副正规的。 H引用[1] M.H. 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