证明e是开集当且仅当e的余集是闭集
时间: 2023-08-15 09:01:48 浏览: 100
### 回答1:
首先,先给出开集和闭集的定义。开集是指在拓扑空间中,如果一个集合内的任何一点都可以找到一个相应的开球,使得这个开球都在该集合内,则这个集合被称为开集。闭集是指在拓扑空间中,如果该集合的补集是开集,则该集合是闭集。
现在,证明e是开集当且仅当e的余集是闭集,可以分为两个部分:
1. 如果e是开集,则e的余集是闭集。
假设e是开集,其余集为E-e。由于e是开集,因此对于任何属于E-e的点,都存在一个属于e的开球,使得该点在这个开球内。所以E-e是开球的并集,开球的并集是开集的定义,即E-e是开集的补集,因此E-e是闭集。
2. 如果e的余集是闭集,则e是开集。
假设e的余集为E-e,E-e是闭集。对于任何一个e内的点p,假设p的邻域中存在点不属于e,则该点属于E-e。因为E-e是闭集,因此存在一个开球,包含这个不属于e的点,并且这个开球不交于E-e。那么这个开球就是p的一个邻域,并且p是任意点,所以e是开集。
综上所述,e是开集当且仅当e的余集是闭集。
### 回答2:
要证明e是开集当且仅当e的余集是闭集,我们需要证明两个条件:
1. 假设e是开集,我们需要证明e的余集是闭集。
- 定义:开集是指对于每个点p∈e,都存在一个p的邻域,该邻域的每个点都在e内。
- 假设x是e的余集中的极限点,即x不在e内,但是e中存在一个点p∈e,满足x是p的极限点。
- 由于e是开集,根据定义,可以找到一个p的邻域,包含在e内。
- 然而,由于x是p的极限点,邻域中的点也会接近x,但是这些点不在e内。所以这个邻域不能包含x,因此x在e的余集中。
- 综上所述,e的余集中的所有极限点都属于余集,所以e的余集是闭集。
2. 假设e的余集是闭集,我们需要证明e是开集。
- 定义:闭集是指包含了所有极限点的集合。
- 假设e不是开集,即对于某个点p∈e,找不到一个p的邻域,该邻域的每个点都在e内。
- 那么对于e中的某个点p∈e,其邻域中存在一个点q∈e的余集,即q不在e内。
- 由于e的余集是闭集,那么q是其极限点。
- 但是根据定义,邻域中的点会接近p,但是由于q是极限点,邻域中的点也会接近q。
- 这产生了矛盾,即邻域中的点既应接近p又应接近q。因此,e必须是开集。
综上所述,e是开集当且仅当e的余集是闭集。
### 回答3:
要证明e是开集当且仅当e的余集是闭集,我们需要证明两个方向。
首先,假设e是开集。我们需要证明e的余集是闭集。假设x是e的余集的极限点,即对于任意的ε>0,存在y∈e的余集,使得|y-x|<ε。因为e是开集,对于y∈e的余集,存在δ>0,使得B(y, δ)完全包含在e的余集中。那么对于任意的0<ε<δ,B(y,ε)也完全包含在e的余集中,因此x是e的余集的极限点。因此,e的余集是闭集。
接下来,假设e的余集是闭集。我们需要证明e是开集。假设x∈e,我们需要证明存在δ>0,使得B(x,δ)完全包含在e中。假设相反,不存在这样的δ,则对于任意的n∈正整数,都存在点xn∈B(x,1/n),使得xn∉e。由于x是e的元素,所以xn∈e的余集。根据闭集的定义,所有的xn的极限点都应该属于e的余集。然而,根据极限点的定义,xn的极限点对应于B(x,1/n)的极限点,而x也是xn的极限点。因此x属于e的余集,与x∈e矛盾。因此,存在δ>0,使得B(x,δ)完全包含在e中。因此,e是开集。
根据以上两个论证,我们可以得出结论:e是开集当且仅当e的余集是闭集。
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