没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
Co-Birkho型定理及其应用
92几个Co-Birkho型定理Jesse Hughes荷兰奈梅亨大学计算机科学系小行星6525荷兰奈梅亨jesseh@cs.kun.nl摘要我们考虑[33]中定理1的对偶,将子范畴上的闭包条件与离散余锥集合的投射类 我们通过添加一个新的运营商关闭下域的epis扩展这些结果,并表明,这对应于以投影类cocones顶点的子对象的终端对象。 我们表明,这些定理适用于范畴的余代数在合理的假设下的基础范畴和endofunctor。最后,我们讨论了在这种情况下,V余代数的余自由,并给出了所谓的霍恩余簇的余代数的例子1介绍近年来,有许多工作对偶Birkho簇的-定理,以产生余代数的余簇定理这一目标最初是在[24][36]中给出了集合上余代数的一个早期结果。此后,余Birkho定理在[21,20,19]中得到了进一步的发展,并在[26,27,22,23,4,29]中得到了进一步的发展。(Also在[18]中,已经探索了簇定理的一个余代数类似物,但这是一个类似物,而不是一个形式对偶。)虽然细节可能会有所不同(特别是关于什么是余方程以及余方程满足意味着什么),但基本的余变定理是可以识别的:余代数的集合V在像、余积和子代数下是封闭的,并且V是余方程可定义的(不管这意味着什么)。此外,拟余种定理在许多这些领域进行了探索,特别是[20,19,26,27,23]。这些定理陈述了余代数类在像和余积下的闭包(但不一定是子代数)与通过余方程之间的蕴涵的可定义性(在[26,27]中被描述为“模态规则”)之间的等价性。这是一个初步版本。 最终版本将发表在《理论计算机科学电子笔记》上网址:www.elsevier.nl/locate/entcs93S2AA相应的代数定理的范畴分析可以追溯到[12]。在那里,我们发现了一个早期的介绍Birkho在经典设置中,变量集X上的方程集S是UFX上的关系,UFX是X上自由代数的载体,如在SS1 UFX。一个代数A满足S,仅仅是在每个代数同态FXA都使s1和s2相等的情况下。等价地,我们可以考虑s1和s2的伴随转置的商Q,如FSFXQ.显然,A| = S,以防每个同态FXA因子通过Q,如下所示。FS FX QJ,s一在范畴方面,那么,方程的满意度是由内射相对于一些(经常epi)箭头的自由代数。这是同上所述方法的一个[27,23]中的在每一篇论文中,“余方程满足”背后的基本概念余方程满足是方程组满足的形式对偶注意,这里我们指的是Birkho的簇定理和相关定理的对偶见[22]关于方程完备性的形式对偶的讨论[6 我也是。作为一种广义方程定义的内射性的N ′ emet i con n u n展开。该方案的强度在[33]中特别具有挑战性,因为它的N′emet和I. Sain给出了一个组织严密的介绍了一些“Birkho”型定理。对于我们的目的,一个关于闭包算子的复合X的Birkho型定理说:给定一个类V(通常是代数类),存在一个锥集合S,使得在XVi中的对象是S-内射的。下面是S-内射的定义。我们说这是我们的出发点。在第2节中,我们对N'emet和Sain通过对偶,闭包算子的复合X的co-Birkho定理是一个定理:对于每个类V,存在一个上锥集合S,使得对于每个A,我们有A∈XVi <$A是S-投射。 (Note:闭包算子的对偶1P(ObC) P(ObC)为[1]在全文中,我们让P表示将一个类带到其子类集合的算子94HHHHP(ObCop)上的另一个闭包算子,而不是内部算子。我们省略了在同上中发现的有限种类的发展,因为这项工作不容易对偶化(我们想避免讨论局部可表示范畴的对偶那么,我们在这里所提出的只是解决了围绕“co-Birkho”型定理的一些问题我们不研究余代数的有限可公理化类的概念我们超越了3.1节中的单纯对偶性,引入了一个在[33]中没有出现的算子。这个算子(-态射域下的闭包)在[21,22,28,34,35]中以这样或那样的形式出现。我们在这里该操作员与其他标准操作员配合良好。我们得到了六个新的涉及− 的co-Birkho型定理,与我们在第2节中用对偶证明的相同。我们还展示了−和其他两个算子之间的关系,包括全关系下的闭包,我们用一个简短讨论相应的对偶Birkho型定理,H−。这些Birkho定理似乎是新的。在第四节中,我们证明了在关于C和Γ的弱假设下,前面几节中的抽象co-Birkho余型定理也适用于Γ-余代数范畴CΓ 接下来我们讨论cofree对于闭包算子和闭算子的某些合成X,有几个例子,所谓的霍恩余簇的余代数,即,在象和非空余积下闭的余代数类Steve Awodey、Bart Jacobs和Alexander Kurz对这里的演示给出了建议。 我也很感谢[22]的匿名评论者,他对我的作品表示感谢。最后,但请注意,感谢您提供相关文章的复印件。2Nemeti-Sain定理我们考虑[33]中的定理1,其限制性比他们所用的更强特别是,他们认为一个微妙的松动的假设,C有一个因子分解系统,而我们没有。目前,我们的例子都涉及因子分解系统,因此允许我们对C进行更强的假设。设C有余积,且设H,S是C的因子分解系统,使得C是S-良幂的。也就是说,设H和S是C中箭头的集合2,使得:• IsomB.H. S(集合类记法的第一种滥用);• H和 S在组成下闭合• H和 S满足对角填充性质,即,对于每个可交换的2当我们写95M◦刘晓波Σ平方·e·F·JsJ·J其中e∈ H和m∈ S,有一个唯一的箭头f,如图所示,使每个三角形可交换;• 每个箭头f因子为f=m<$e,其中e∈ H,m∈ S;• 对每个C∈C,存在一个集合Sub(C)k.在这里,我们不表示S中的e_w_s,而表示H中的e_w_s。注意,由于S不需要是monos的集合,符号Sub(A)仅仅是提示性的。集合Sub(A)有一个明显的阶≤,即如果P,Q∈Sub(A),我们说P≤Q只是在S-态射P A通过S-态射分解.设f:AB是C中的一个箭头,f = me是它的因子分解. 我们用Im(f)表示dom(m)(= cod(e))(读作“f的图像“)。请注意,在Sub(B)上的i∈C/B,i∈C/注意,由于C有余积,那么Sub(A)有连接。 的确如果{fi:BiA}i∈ISub(A),则。[fi][i∈Ifi=Imi∈IBiA.2.1闭包运算符的聚宝盆给定一个偏序集P,≤ P,闭包算子X是一个单子X:P,≤P,≤P,也就是说,是一个单调的,在代数上(有时称为 我们定义了一些闭包算子P(ObC)P(ObC),S ( V ) ={B∈C| <$A∈V<$BA} , H( V ) ={B∈C| <$A∈V<$AB} , H−(V)={B∈C| <$A∈ V<$BA},(V)={(V)={i∈Ii∈IA我|Ai∈ V},A我|Ai∈V且I <$=<$}。我们重载了符号S和H,既指某些箭头集合,也指这些集合的(co)域下的闭包。我们写X≤Y只是在情况下,XV<$YV对所有V<$C。如果X是一个闭包算子,我们说V是X-闭的,仅在V=XV的情况下。96HSHH S H注2.1闭包算子的复合算子本身不一定是闭包算子,因为它们不需要是幂等的。 给定两个闭包算子X,Y,若复合XY是闭包算子,则YX ≤ XY是必要且充分的.注意,如果X,Y和XY是闭包运算符,并且W≠ObC,则W是XY闭的,只要W是X闭和Y闭的.见[31]的一个扩展讨论的复合,并在范畴内的余代数集。我们现在将在很大程度上忽略−运算符,在这里包括它只是为了确保后面的引理以适当的一般性陈述参见3.1节讨论这个算子(以及相应的MH−和KH−算子,定义如下)。我们感兴趣的是−,、,其中,操作员按此顺序出现此外,我们仅限于H出现的那些组合物我们用X来排列这些组合。因此,当我们写X时,我们的意图是X是以下成分之一表(除非另有说明)。HH+ H SH+SHH−H H−H + H−HH− SH H −SH+H− SH注意我们忽略了多余的复合词H+等。还要注意SH+和SH不一样,这可以从空类是SH+-闭的这一事实得到证明。我们仅限于上面的合成,因为它们是通过对偶从[33,定理1]中考虑的合成中产生的。我们留下了一个问题,即其他一些合成是否可以用投射性条件来定义2.2满足感是投射性的。设A∈C且f:BC已知. 谱写好|=f如果A是f-投射的,即,如果对于每个g:AC,存在一个(不一定唯一的)h:AB使得fh= g。更一般地,设c=<$C,{fi:BiC}i∈I<$i是任意集合I在某个图{Bi}i∈I上的余锥. 我们称这样的cocone离散,因为它是一个小的、离散的范畴(即一个集合)上的图上的余锥我们说一个|= c,如果对每个g:AC,存在i∈I和映射h:ABi使得g =fi<$h,也就是说,如果A关于上锥c是投射的。特别地,如果I= π,则A| = c以防万一没有地图AC。 如果T是一个cocone的集合,我们写A |= T(或者说A是T-投射的)|= c,对于每个c ∈ T。 我们让Proj(T)(读作T的投射类)表示C的全子范畴,它由所有对象A组成,使得A|= T。设Cocone(C)表示C的离散上锥的集合。也就是说,Cocone(C)的对象是对<$C,{fi:CiC}i∈I <$。设Cocone(C,A)为97∈⊆Cocone(C)的一个子类,由那些以AC为根的cocone组成。显然,Proj是一个逆变函子(即,反序算子)P(Cocone(C))P(Ob(C))。T-投射的形式对偶是T-内射.特别地,在C中的对象A是S-内射的,只是在这种情况下,对于S中的每个f:CB和每个g:CA,存在h:BA(g的通常,我们说C有足够的S-内射,只是假设对每个C∈C,对某个S-内射A存在一个S-态射CA。我们定义了Cocone(C)的以下子类。 (For的定义MH−,我们假设C有一个终端对象1。)MS={fi:BiC}i∈I<$|C是S-内射的}MH={fi:BiC}i∈I<$|i∈I. fi∈ S}MH−={C,{fi:BiC}i∈I|C∈ Sub(1)}M={C,{fi:BiC}i∈I|(I)第一次M+={C,{fi:BiC}i∈I|卡(I)≤ 1}IfX=X1.. 。Xn,我们定义为MX=MX1, 。 Xn.我们需要定义一个家族, 的CONTR AVARIA NTOPER A R A R AT KING收藏C的对象V到C的cocone的集合。更准确地说,对于每个X,我们将定义KX:P(ObC) P(MX).给定C的一个全子类V,对于每个列表X,如上所述,我们定义KXV={c∈MX |V|= c}。下面的定理表明,一个集合V是某个(特定“种类”X的)余锥集合T定理2.2设V是C的一个满子范畴,X是C的一个上类表. 然后,它是一个关于TMX 这样,V=Pr oj(T)就等于V=Pr oj(K×V)。我的律师。若V=Proj(KXV),则第n个三角形如下,s包括KXV∈MX. 通常,当T≠X时,P=Proj(T)。 从那时起,TKXV,Pr oj(KXV)<$Pr oj(T)=V。✷2.3co-Birkho型定理我们省略下面定理的证明,因为它是[33,定理1]的直接由此得出的推论也可以在那里找到。98++ZHS SHH−定理2.3设C有所有的上积,一个分解系统S_H,S_H_对于任何X,{H,H,H,SH,SH,SH},我们有Pr oj(KXV)=XV。注2.4定理2.3的假设在特殊情况下可以被削弱假设C具有所有(非空,分别)余积仅用于X≥<$(X≥<$+,resp.)。足够的S-注射剂用于那些复合材料X≥ S和S ≥Mono对于那些不涉及S的复合材料。推论2.5让X∈ {H,H <$+,H <$,SH,SH <$+,SH <$}.X是一个闭包运算符。2.我的朋友6N′emetiandSainn提供了 [33]中所有新结果的新形式。特别是,他们还考虑了一个额外的运算符,它不会出现在下面的内容值得一问的是,这个算子是否会导致任何有趣的余代数类这个问题留待以后研究。例 2.7 考 虑 范 畴 Set 和 全 子 范 畴 Setfinof finite sets 。 很 容 易 看 出Setfin=SHSetfin,其中H= Epi,S= Mono。可以证明,Setfin是下面的上锥的投影类。 取顶点为N的上锥,用箭头表示所有的幺半群态射N. 注意,我们取所有这样的一元态射,而不是只包括n,n。这是一个简单的过程,可以看出SetFins是一个非常客观的类最后的cocone。注2.8由于Set是正则的(也就是说,由于Set的显因式分解系统是稳定的),可以看出Setfin=Setfin,因此Setfin也可以描述为特定锥的内射类圆锥体的描述留给感兴趣的读者。3行为类我们将N′emeti和Sain的对偶结果推广到H−算子.这个算子和它对应的cocone算子自然出现在一个余代数设置中,其中H-HV在全双辛下闭合Vulations。我们首先证明涉及算子的Birkho型定理。在3.2节中,我们考察了两个相关的算子,以帮助激发这里的定义。在本节中,我们添加了一个关于我们的因子化系统的额外假设。也就是说,我们假设SplitEpi是H。注意99HC,,CAi∈如果C有二进制乘积,则假设SMono需要H <$Epi,所以SplitEpi<$H(见[2,定理14.11])。我们在引理3.2中明确地使用了这个假设余代数的−-闭集合以前在[34],[35],[21],[18]和[23]中讨论过。3.1H-co-Birkho型定理在本节中,我们假设C满足以下条件。(i) C有所有的余积;(ii) C有一个因子分解系统<$H,S <$;(iii) SMono;(iv) C有足够的S-注射剂;(v) C是S-动力良好;(vi) SplitEpi ®H;(vii) C有一个终端对象,1。定理2.3下一个引理是方程的H−XV= Pr oj(KH−XV)。引理3.1设V是C的满子范畴。H−XV<$Pr oj(KH−XV)。我的律师。LetA Bbegiven,B∈XV. B∈Proj(KXV). Letc={fi:CiC}i∈I∈AcoconeinKH−XV,sottC≤1,且letf:AC如下图所示F、、、J,,J J1、B然后,根据对角填充原理,有一个态射BC,如图所示,使得正方形中的每个三角形都是可换的。因此,有一个映射BCi,对于某个i I,如图所示,使得相应的三角形可交换,因此f因子通过合成A通过CiBCi.✷在继续证明FV:CP(C),由FVA ={Im(f:BA)|B∈V}。注意,对于任何V,A,我们有V|=A,FVA.100,,+引理3.2设V是C的满子范畴。Proj(KH−HV)=H−HV证据 由引理3.1投影(KH-HV)<$H-HV。BA,,J,J,sJzzImFC1为了证明Proj(KH−HV)<$H−HV,假设A |= KH−HV,且令C = Im(!A),如上图所示 令c =<$C,F VC<$。 显然,V |= c,所以A |C也是。因此,存在某个B ∈ V,f:BC使得!A通过Im(f)因子,如图所示。将对角填充原理应用于正方形一个CJ,sIm(f)C我们看到ImfC是分裂epi,因此是H-态射。 因此,C∈HHV = HV,所以A∈ H−HV。✷我们省略了下面引理的证明,它是[33]引理5的推论。引理3.3对于任意合成X,Proj(KXV)=Proj(KXV),Pr oj(KX+V)=Pr oj(KXV)。定理3.4设V是C的满子范畴。Proj(KH−HV)=H− HV,Proj(KH−H+V)= H−H+V。证据根据引理3.2和3.3。✷引理3.5设V是C的满子范畴。Proj(KH−SHV)=H−SHV。证据 其表面显示Proj(KH−SHV)H−SHV。 让一个|= KH−SH并考虑FV1 ={Im(!B)、1 |B∈ V}。101因为V|= 1,FV1,也是A|= 0.1,FV1. 所以,!A:A1因素通过一些IM(!B),比如说,通过g,如下所示B,,我...一、、、、、JG!一zJ,sJIm(!B)、1BecauseIm(!B)∈ HV,则Im(g)∈ SHV。 因此,A ∈ H−SHV。✷下面的定理直接来自引理3.3和3.5。定理3.6设V是C的满子范畴。Proj(KH−SHV)=H−SHV,Proj(KH−SH+V)= H−SH+V。我们现在已经证明了,在一个抽象的设置,所有的广义协方差性定理将在本文中提出。也就是说,我们已经证明了Proj(KX)=X,对于这里的任意组合X,Pro j(KX)= X(如2.1节所注意,这意味着每个X都是一个闭包运算符。在把这些结果用余代数的范畴来解释之前,我们首先想激发H−的定义。3.2H-及相关算子我们不愿意在已经很长的算符列表中再增加一些,但是值得考虑P(ObC)上的另外两个算符,并用它们来描述H−目标是激发将H−描述为操作员,至少有一次我们专注于余代数的范畴。在本节的其余部分,我们假设C有二进制乘积,以便于S-关系的定义请注意,这需要SplitEpi免费提供定义3.7一个三重函数R,r1:RA,r2:R B是A和B上的一个S-关系,恰好在情形r1,r2,r3:RA×B在S中。 A上的一个S-关系R,r1,r2, B是全S-关系,或者仅仅是全关系,只要r1和r2在H中.设C是任意二元积范畴,V是C的满子范畴.定义两个函子R和T如下:R V ={B ∈ C<$A ∈ V <$A和B上的全关系R},|TV ={B∈C| <$A∈V<$C<$p:CB,q:CA}.换句话说,RV是包含所有B的最小类,这些B通过全关系与某个A∈V相关,而TV是包含所有B的最小类。其中有一对H-映射p:CB和q:CA具有公共区域且A∈V(但不一定是p∈ C,q∈ S).我们可以把电视看作是102+++S完全多重关系下的闭包[16]。下面的引理的证明很简单。引理3.8H−HV = RRV = T TV,如果H在回调下稳定,则H−HV = RV =T V。3.3H−对偶我们非常简单地考虑H-和内射类的对偶,如[33]中所述由于本节的重点是3.1节的对偶,我们将在这里给出一些细节设C有一个分解系统H,S,H∈Epi,乘积和初始对象0。进一步假设C是H-良好共幂的,并且SplitMonoS.定义算子S+(V)={B∈C|A∈VB},P(V)={+i∈IA我|Ai∈ V},P(V)={i∈IA我|Ai∈V且I <$=<$}。算子P和P+出现在[33]和其他地方,当然,但算子S+似乎是新的,在Birkhon型射影定理的背景下。简单地说,S+是V在抽象monos的余域下的闭包。对于C中的离散锥(注意:锥,不是上锥)的集合T,我们用Inj(T)表示T的内射类。定义以下将C的子类带到锥集合的运算符。KHV={c=<$C,{fi:CBi}i<$|V ∈ Inj({c})且C是H-投射的}KSV ={c=C,{fi:CBi}i|V注入({c})}KS+V={c=C,{fi:CBi}i|VInj({c})和0C}KPV ={c=C,{fi:CBi}i|VInj({c})和card(I)= 1}KP+V={c=C,{fi:CBi}i|V进样({c})和卡(I)≤ 1}对于p〇siteX=X1.. 。Xn,定义eKXV=KX1V。 V.同上的定理1陈述(部分地),对于其中的每个复合X,{S、SP、SP、HS、HSP ,HSP},wehaveXV=Inj(KXV).通过对第3.1节的分析,我们对X进行子其他计算如上所述,SXV=I nj(KS+XV)。如果C是一个代数范畴,这大致上说,V在-态射的余域下是闭的,iV可由(/Horn公式之间的蕴涵/etc)定义。没有变量的方程,也就是包含基项的方程。1034余代数范畴到目前为止,我们一直在抽象范畴C中工作,只假设3.1节中的i- vii我们在本文中的真正目的是应用以前的结果的范畴的余代数。在本节中,我们给出了确保一类余代数满足我们假设的充分条件下面的定理在[3]中首次证明了代数范畴,所以我们省略了这里的证明在[13]中发现了一个类似的定理(关于包含系统)定理4.1设C有一个分解系统<$H,S <$。进一步假设,Γ保持S(所以对于每个i∈ S,Γ i∈ S)。则CΓ有一个分解系统。由于U生成余积,我们看到如果Γ保持S-态射,则定理2.3适用于CΓ,对于不包括S算子的算子X对于算子SH,SH,SH+,我们必须保证CΓ有足够的内射。定理4.2设C有足够的S-内射,且U:CΓC有右伴随H:CCΓ。 Cr具有足够的S注入。事实上,这个证明证明了对于每个余代数<$A,α<$A,存在一个U−1S-态射<$A,α<$HC,其中C是S-内射(因此HC是U−1S-内射)。因此,如果Γ保持S-态射并且U有右伴随H,我们可以证明:哪里SXV=Proj(KSXV),KSV={c= βHC,{fi:βBi,βi}HC}i∈I<$|C是S-内射,V| = c}。换句话说,对于SXV,它可以考虑具有上自由顶点的上锥(具体地说,在某些S-内射上是上自由的)。显然,如果SplitEpi<$H,则CΓ的分裂epis包含在U−1H中。此外,如果C有一个终结对象1,并且U有一个右伴随,则H1在CΓ中终结。因此,如果Γ保持S-态射且CΓ有余自由余代数,则定理3.4和3.6适用。(更宽松地说,它假设CΓ有一个ter-martel对象,无论它如何产生,并且Γ保持S-态射。因此,我们可以将3.1节的结果应用于CΓ。实际上,在许多计算机在余代数的科学应用中,人们只对那些在行为等价下封闭的类感兴趣,第3.1节包含了这些应用的相关结果。104VB∈ ∈ H5X-V余代数的树在本节中,我们将注意力限制在涉及H和H+(或H+)的组合物X也就是说,我们对作曲X∈ {H <$+,H <$,SH <$+,SH <$,H−H <$+,H−H <$,H−SH<$+,H−SH <$}。以上所有内容都是一个简单的函数cXV的构造,它可以用来定义XV。事实上,在这种情况下,我们可以专注于不超过一个箭头的cocones我们的目的是构建cofree的XV在C余代数,至少对于那些C允许这样的建设。我们再次回到抽象的背景,考虑满足i-v的任意C的全部子范畴见第3.1节。我们定义了一个子元素yW,C的子元素C为XV,W此外,XV形成W的S-芯截面。XV余代数的余自由的构造可以看作是一个包含该核的合成回想一下定义FVA={Im(f:BA)、|B∈V}来自第3.1节。定义V:CP(C)定义cV:CCocone(C),。VA=FA.cVB=如果FVB <$=<$,则{<$VBB}<$别这样,别这样。在FVB <$=<$的情况下,我们记S-态射<$VBB 的εV。设V∈C并定义CoRe(V)={B∈C| FVB=}。也就是说,CoRe(V)是所有B∈C的集合,使得C中存在某个A∈V和箭头AB。显然,V是Core(V)的一个子类。 此外,如果0∈V(比如说,如果V=V),则CoRe(V)=C。在这种情况下,如下一个定理所示,V是C的S-core对偶子范畴。的确,如果V在同构下是闭的,则V=H<$Vi<$V是C的一个S-核对偶子范畴.Theorem5. 1包含XV,<$CoRe(XV)有右伴随<$XV,其中εXV是共轭的. 在单位空间上,XV,εCoRe(XV)是S-可积的,在这个意义上,单元εXV的每个分量都在S中。我的律师。对于一个B CoRe(XV),我们有一个ve=XVB e+XV=XV,so定义了一个函数CoRe(XV)XV。这是一个很明显的警告以确认是否有εXV满足各单元的统一映射特性。✷最后,我们回到设置CΓ,其中Γ保持S-态射,并且U:CΓC有一个与H相连的装置:CCr。首先,定义了V的C余代数的C余,然后将前面的构造应用于CΓ.105⊆ ∅ ⟨ ⟩ ∈HC⟨⟩HH定义5.2设A,α∈CΓ,p:AC已知,V是C Γ的一个子范畴.为了以防万一,我们说,对于V在C上,α∈ A,α∈(具有“着色”p)是上自由的• α∈V;• 对任意的B,β∈V,q:BC,存在唯一的Γ-同态q=B,β=A,α=B,表示该图形较低。A,QepJ设V<$CΓ,定义Bq CUV={C∈C|γ:CΓ C。<$C,γ<$∈V}。也就是说,UV是V在遗忘函子U下的像。定理5.3对任意C∈CoRe(X_U_V),存在C余代数上X_V的余自由。特别地,如果C = Set,则对于任意C =,存在C余代数上的X V的余自由。如果0,! 则对每一个C,存在C余代数上的一个余自由.证据 我们注意到C ∈ CoRe(<$UXV)i <$$>在V中存在余代数<$B,β<$和一个映射q:B C。因此,C∈CoRe(<$UXV)i <$HC∈CoRe(XV)。让XV,,我(XV)∆根据第5.1节中的规定,S -型芯的截面积为ε X V。C余代数上的XV(对于C∈CoRe(UXV))的cofre由UIHHC给出,其中XV着色εC<$Uε:UI <$HC C.✷6Horn余簇我们以所谓的Horn余变种的一些例子来结束,即,余代数类V使得V=H+V。在某种意义上,拟余簇(V=H<$V)和Horn余簇之间的区别是微不足道的。也就是说,一个(真)Horn余簇只是一个省略平凡余代数0,!。在我们的例子中,我们希望表明,一些自然类的余代数出现作为霍恩余变种,尽管明显平凡的区别之间的和+。例6.1固定一个非空集Z,设Γ:SetSe t为函子Γ X = Z× X。对于给定的余代数<$A,α<$,设hα =π1<$α,tα=π2<$α.106αM设V∈SetΓ为类{A,α∈SetΓ|a∈A。tα(a)= a}。则V是一个真Horn余簇(即,V=H+V=HV)。类W={λA,αλ ∈SetΓ|a∈A<$n∈N。hα(a)= hα<$tn(a)}是一个行为Horn协簇(W=H− H+W)。注6.2我们知道的许多Horn上簇的例子(包括上面的例子6.1)在任意映射的上域下都是闭的,而不仅仅是epis的上积和上域。人们想知道在任意态射的余域下闭的集合是否具有沿着定理2.2的特征。也就是说,如果我们定义MV={A∈C| <$ABand B∈V},是否存在函子KM:P(C)P(Cocone(C))使得对每个V,KMV;KH <$+V且V = Proj(KMV)?我们把这个问题留待以后研究。例6.3固定一个字母I. 设Γ:Set Set是函子X<$→2×XI.我们将Γ-coalgebr看作是一种方法,它接收在I上输入的有限个字,并输出0或1。设α∈A,α∈A,α∈A,outα(a)=π1<$α(a),transa(a)= π2<$α(a)。我们通常证明,给定<$A,α<$和<$B,β<$,一个映射f:AB是一个同态,仅仅是在对每个a∈A,i∈I,outβ(f(a))= outα(a),transsβ(f(a))(i)= f(transa(a)(i))。设σ在I<ω上值域,σ∈i表示由邻接的i在σ的末尾。定义α:A× I<ω 副evalα(a,())=a,evalα(a,σ∈i)= transa(evalα(a,σ))(i).状态evalα(a,σ)是当从状态a开始执行σ给出的transi时达到的最终状态。定义acccα:A P(I<ω),accα(a)={σ ∈ I< ω |outα∈ evalα(a,σ)= 1}.IntuA,accα(a)是I上所有的词,它是IntuA,acc α(A)从初始状态a接受的。107修复一个
下载后可阅读完整内容,剩余1页未读,立即下载
cpongm
- 粉丝: 5
- 资源: 2万+
上传资源 快速赚钱
- 我的内容管理 展开
- 我的资源 快来上传第一个资源
- 我的收益 登录查看自己的收益
- 我的积分 登录查看自己的积分
- 我的C币 登录后查看C币余额
- 我的收藏
- 我的下载
- 下载帮助
最新资源
- WebLogic集群配置与管理实战指南
- AIX5.3上安装Weblogic 9.2详细步骤
- 面向对象编程模拟试题详解与解析
- Flex+FMS2.0中文教程:开发流媒体应用的实践指南
- PID调节深入解析:从入门到精通
- 数字水印技术:保护版权的新防线
- 8位数码管显示24小时制数字电子钟程序设计
- Mhdd免费版详细使用教程:硬盘检测与坏道屏蔽
- 操作系统期末复习指南:进程、线程与系统调用详解
- Cognos8性能优化指南:软件参数与报表设计调优
- Cognos8开发入门:从Transformer到ReportStudio
- Cisco 6509交换机配置全面指南
- C#入门:XML基础教程与实例解析
- Matlab振动分析详解:从单自由度到6自由度模型
- Eclipse JDT中的ASTParser详解与核心类介绍
- Java程序员必备资源网站大全
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
信息提交成功