共同代数结构的投射性质及其在射影结构中的应用

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记301（2014）61-77www.elsevier.com/locate/entcs用Co-monad翁健浩1，2南洋理工大学新加坡摘要本文证明了有用的一个comonadic的方法给以前未知的特性，在某些类别的投射对象在特定的子类满态。这种方法是对M. Escard'owhich已被广泛用于刻画各种嵌入上的内射空间和locale，但以前从未用于射影结构。 使用一些例子，我们宣传这种方法的多功能性-特别是，突出显示它优于现有的表征投射体的方法，这是共单原子机器迫使我们的结构属性的投射体，而不依赖于无关的表征从共单代数产生的共代数的基本对象关键词：E-投射，KZ-余单子，右U-同元，序幺半群，正规半环，半格，Z-框架1引言在数学中，在各种类别中表征投射和它们的内射的问题具有悠久的历史，其起源可以追溯到模理论，例如，模论中的投射模的特征。范畴C的对象P是投射的，如果对每个满射e：A-→B，且每个态射f：P−→B，存在一个C-态射（不一定唯一）fJ：P−→A使得f=fJ<$e。在集合范畴中，每个对象都是投射的，而群范畴中的唯一投射是自由投射。在代数中，射影对象都被看作是自由对象的泛化。很久以后，关于投射和内射的研究的注意力从代数结构转移到有序结构和拓扑空间。R. Sikorski证明了布尔代数范畴中的内射代数恰是完备布尔代数（[19]）。 再见，R。Balbes将这一结果推广到1由NTU AcRF项目编号RP/10 HWK支持2电子邮件：wengkin. nie.edu.sghttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2014.01.0061571-0661 © 2014 Elsevier B.V. CC BY-NC-ND许可证。62W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）61证明了分配格范畴中的内射也是完备布尔代数（[2]）。G. D. Crown在[5]中把超完备格范畴中的投射格（和内射格）刻划为完全分配格。另一个重要的例子是D。Scott值得注意的是，在他们将Scott的结果推广到框架的工作中，B. Banaschewski和S. B.尼费尔德 文[4]报道了二元链的唯一射影标架是2。事实上，在[3]中已经报道了分配格范畴的类似结果。对于像这样的投射词很少的情况，很自然地要考虑投射对象的更一般的类型，由此产生E-投射词的概念。为了实现这一点，我们不需要所有的满态，而只需要满态的某个子类E。更确切地说，范畴C的对象P是E-投射的或投射到E-态射上的，如果对每个C-态射f：P-→A，且每个E-态射e：A−→B，存在C-态射fJ：P−→A使得f=fJe。双重的，有E-注射剂的概念.在[4] B. Banaschewski和S. B. Niefeld证明了E上的射影是正则满态的集合（即，在框架范畴中的态射（它们是某个平行态射对的余均衡器）正是稳定的完全分配格;从而放松投射性的条件以允许更大类的对象。在文献中，正则满射上的射影也 称 为 正 则 射 影 。 在 某 些 范 畴 中 ， 例 如 紧 豪 斯 多 空 间 和 连 续 映 射 的 范 畴KHausSp，每个满射都是正则的。那么，对于这样的范畴，投射的特征化问题就等于规则投射的特征化问题;而后一个问题在某些情况下可能变得更容易。一个这样的例子是格里森定理，即，KHausSp中的射影对象（与正则射影对象一致）恰好是极端不连通空间（参见[13，pp. 98-103]）。近年来，人们对E-内射和射影的特征化领域都有持续的兴趣。沿着“注入”路线，一个改进的广告是H. 埃斯卡德 他的技术涉及使用KZ-单子在某些集合加强的范畴中对某些嵌入式进行仿射。Escardo定理1.1（[9，定理4.2.2，p.32]）设T是X上的KZ单子。那么，对于任意A ∈ X，下列等价：(i) A是右T-嵌入上的右内射.(ii) A是右T-嵌入上的内射.(iii) A是T-代数.这种方法特别强大，因为这种单子方法将右T-嵌入上的内射（其中T是范畴上给定的KZ-单子）精确地刻画为单子T的基础代数。然后，KZ-一元机器迫使我们对这些基本代数进行以下表征：W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）6163调用某些相应的约束（参见[9，引理4.1.1，p.31]的条件（KZ1））。该技术证明在再现各种偏序集富集类别中的注入词的众所周知的特征方面是通用的子空间嵌入上的内射是连续格，参见[8，9]），以及新的内射（例如，完美子区域嵌入上的内射区域是那些满足某种新的稳定连续性的区域，参见[10]）。在发展的[23]赵匡胤为后两者设定了道路。赵的方法只基于范畴之间的转换（不一定是至关重要的是，前三个作品取决于以下引理：引理1.2（[23，引理3.1，p.43]）设G：C−→D和F：D−→C是一对函子，使得F与G左伴随，余单位记为ε。进一步，设E表示所有C-态射f：A −→ B的集合，使得G（f）有一个截面，即， D的右逆然后，对于任何A∈C，以下是等价的：(i) A是E-投射的。(ii) ε：F G（A）−→ A有右逆。(iii) A是D中某个对象X的某个FX的收缩。利用上述引理，[23]证明了E-投射框架恰好是稳定Z-连续框架，[21]证明了E-投射Z-量子数恰好是稳定Z-连续量子数。在类似的脉络中，[16]将E-投射正规半环刻画为稳定F-连续的半环。所有这三个作品在使用引理1.2时都有一个共同的策略：它们对投射的刻画在很大程度上依赖于条件（ii）。为了使用（ii），人们不可避免地需要获得FG（A）的某些结构性质及其在收缩下的稳定性，以便推导出A与FG（A）共享这些性质。这些结构性质是独立于引理1.2导出的。换句话说，对于更一般的解释FG，他们的方法只有在规范结构FX的一些显著结构属性被独立识别的情况下才有效。由于这一特殊的约束，赵例如，关于在预框架和框架范畴之间的附接对G：Frm-→PreFrm和F：PreFrm-→Frm（其中G是遗忘函子，F是Scott-闭格函子），在赵[23]的意义下刻画E-投射的问题仍然是开放的。尽管F（P）的一些明确的格论性质已经在[12]中得到了解决，但仍然不知道如何描述E-投射（见[12，p.313]）。这个问题已经引起了领域理论家的注意，特别是在亚洲3地区。3与一些亚洲领域理论家的初步交流表明，他们对埃斯卡·多的作品并不熟悉[ 10，9，10 ]。64W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）61与此同时，Escard'o的方法更优越单子的代数）而不必在主发展之外的其他地方导出它们。但这种比较可能是没有意义的或不公平的，因为这两种方法是为了不同的目的：一种是为了区分内射词和投射词;一种是为了区分不同的E态射类;一种是为了区分不同的范畴环境：一种需要偏序集丰富的范畴，而另一种则不需要。因此，一个自然的问题是，是否可以修改Escard'o在处理注入式时有效的方法根据定理1.1，对这个问题的一个肯定的回答可能允许我们将（我们感兴趣的那些余代数的）底层余代数精确地表征为某个态射类E的E-投射在这篇文章中，我们通过将埃斯卡德的设置转向相反的方向来实现双重游戏这涉及到小心地将[9，pp.31-34]中KZ-单子公式化中的所有范畴概念替换为它们的范畴，例如，单态由满态，内射由射影，以及选择正确的不等式。然后将所得结果应用于偏序集富集范畴之间的三个不同映射，得到投射的新刻画。为了做到这一点，我们将这三个例子都介绍在附录中，并将它们作为本文后面的运行示例。本节还包含了一些关于comonads和Kan升降机的基本定义和结果。我们的目的是证明Escard′o的（对偶）结构实际上只是一个刻画投射词和描写内射词的例子在接下来的章节中，我们假设读者熟悉基本的范畴理论、序与格理论和范畴理论。对于范畴论，我们请读者参考[15，17];序和格理论[6];以及域理论[1，11]。2预赛2.1运行实例2.1.1序幺半群与正规半环有序代数结构不仅产生了丰富的偏序集丰富的范畴资源，而且还产生了大量的范畴推理实例。在这里，我们集中在有序幺半群和正规半环。回忆一下么半群是一个半群，即， 几乎是一个群体，除了存在的非竞争。三元组（M，·，≤）是一个norderedm∞，如果M是一个幺半群，其特征为1M，且其上的偏序≤ 与幺 半群运 算相 容，即 ，对任 意a ，b 和c∈M ， a≤b 蕴涵a·c≤b·c ，且c·a≤c·b，乘法恒等式1M是M的顶元素. 每个幺半群都是一个平凡有序幺半群的离散阶。自然数集合有两种不同的著名有序幺半群结构，即（N，+，≤）和（N，max，≤）。设（M，·，≤）和（K，λ，≤）是两个重序幺半群，其恒等式分别为1M和1K一个映射f：M−→K是一个序幺半群态射，如果下列条件成立：（i）f（a·b）=f（a）<$f（b）对任意a，b∈M. （二）W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）6165f（1 M）= 1 K。（iii）a ≤ b蕴涵f（a）≤ f（b）。 在定义了突出箭头之后，我们现在有了OrdMon这个范畴，它的对象是有序幺半群，它的态射是有序幺半 群态射。现在我们来看半环。半环是一个旨在推广环的概念。一个半环是一个非空集R，在其上的加法和乘法运算已经被定义为：（i）（R，+）是一个交换幺半群，其特征元素为0。（ii）（R，·）是幺半群，其特征元素为1R（或简称为1）.（iii）对所有的a，b和c ∈ R，a·（b + c）= a·b + a·c和（b + c）·a = b·a + c·a.(iv)对所有r∈R，0·r = 0 =r· 0。 (v)1 = 0。半环的一些例子如下：(i) 自然数的集合，连同通常的加法和乘法，（N，+，·），是一个交换半环.(ii) 有界分配格（L，L，L）是交换幂等半环。这里，半环的幂等元指加法和乘法的幂等元。(iii) 设R为环。R的理想集，记为Id（R），具有通常的加法I + J：={i +j|i∈I，j∈J}与理想的乘法I·J：={i·j|i∈I，j∈J}是半环。(iv) 设R是交换环，A是R中所有非零因子元素的集合。设S-1R是R的等价环。 R的分式理想K是S的R-子模，满足对a∈A，aK<$R的条件.R的所有分式理想的集分数（R）在取交、和、积下是闭的. （fract（R），+，·）是具有加法单位元（0）和乘法单位元R的交换半环.(v) 一个可交换的整环R是一个Pr¨fer整环，如果R的每一个有限生成的分式理想在fract（R）中有一个乘法逆。 这种情况等价于在Id（R）中，交集分布在加法上的条件，即，（Id（R），+，）是半环。如果R和S是半环，则函数γ：R−→S是半环态射，如果下列条件成立：（i）γ（0R）= 0S。(ii)γ（1R）= 1S。(iii)对任意的r， RJ∈R，γ（r+RJ）=γ（r）+γ（rj），γ（r·RJ）=γ（r）·γ（RJ）.在这里，我们处理一类特殊的半环。半环R是正规的，如果对所有x和y∈R，x·y+x=x=y·x+x.正规半环是加法幂等的直接结果.用SRng表示半环的范畴，半环态射SRng的完全子范畴NSRng由所有正规半环作为对象组成对于偏序集（P，≤）和X <$P，我们表示集合{p ∈ P |x∈ X。 p ≤ x}↓X.如果X={x}是单例，我们明确地将↓ X写成↓X。一个人，一个人。 如果X是Y的有限子集，我们使用符号X ∈ Pfinn（Y）或X ∈ PfinnY。设（M，·，≤）是一个有序幺半群. De fineD0（M）：={↓A|A∈Pfinn（M）}.因为M是一个有序幺半群，M=↓1M，所以M∈D0（M）. 在D0（M）上，将半环加法定义为二元并。至于半环乘法66W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）61ΣΣΣ∈⊆Σa∈Ab∈Ba∈Aa∈A定义如下：对任意的↓A，↓B∈D0（M），↓A<$↓B：= ↓{a·b|a∈A，b∈B}。重要的是，对于一个有序幺半群（M，，利用这个结果，为了将符号t（M，·，≤）<$→（D0（M），N）（其中M∈obj（OrdMon））推广到函子F：OrdMon−→NSRng，对于任意给定的OrdMon-态射f：M−→N，仍然需要赋予一个NSRng-态射F（f）：D0（M）−→D0（N），定义为Ff（↓A）=↓f（A），对任意A∈D0（M）.验证F确实是一个函子是例行的。在逆位方向上，很容易看出，一个ny正规半环（S，+，·）可以给出一个有序幺半群结构，即y，（S，·，≤），其中a≤b≠a+b=b，对anya，b∈S.因此，我们有健忘函子G：NSRng−→OrdMon。关于半环的序结构，可以说得更多。命题2.1Let（R，+，·）是正规半环，A∈R. ThenA=a。a∈A证据 由R的加性恒等式推出。Q推论2.2设R是正规半环，A，B<$R，其中↓A=↓B。然后a=b。推论2.3设R是正规半环，xR和AR。然后x·a=x·a使用这些前面的属性，很容易建立以下内容：定理2.4设F：OrdMon−→NSRng和G：NSRng−→OrdMon为上述函子。 则F是G的左伴随，单位为ηM：M−→GF（M），x<$→↓x（M∈obj（OrdMon））和co-unit由下式给出εR：F G（R）−→R，↓A <$→a（R∈ obj（NSRng））.a∈A在随后的部分中，每当一个例子提到OrdMon和NSRng之间的附加时，我们隐含地指的是上面的附加，符号F，G则指的是上面的一对。2.1.2Z-框架和框架我们称之为半格，是指（有限）交半格。因此，每个半格都有一个顶元素。对于半格S和T，一个半格同态f：S−→T是一个保持有限交（以及顶元素）的映射用SL at表示半格范畴和半格同态。偏序集的子集D是一个下集，如果D=↓D：={p∈P|d∈D.p≤d}。我们用D（P）表示下集对任意半格S，D（S）是关于W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）6167Z-完全半格A是Z-框架当且仅当：Z（A）−→A是Z-到包含，因此是半格。根据[20]首次提出并随后由[23，7]使用的子集系统方法，我们定义SLat上的子集系统Z为一个函数，该函数为每个半格S分配一个S子集的集合Z（S），使得满足以下条件（Z1）Z（S）是D（S）的包含所有↓x（x∈S）的子半格. (Z2)对任意D∈Z（Z（S）），D∈Z（S）.(Z3)对任意的SL at-态射f：S−→T和任意的D∈Z（S），有↓f（D）∈Z（T）.我们称Z（S）的元素为S的Z-理想S的子集A称为Z-集，如果↓A∈ Z（S）.称半格S是Z-完全的，如果 对于所有的D∈Z（S），D存在。 给定 两个Z-完全半格S和T，一个Z-完全同态f：S-→T是一个保持Z-理想上确界的半格同态。Z-完全半格A称为Z-框架，如果对每个a∈A和D∈Z（A），D=（aD）whereaD：={ad|d∈D}。它可以显示出完全半格同态Z-框架的概念是将这是一个框架的概念，这可以通过将Z作为所有子集的选择P来看出。 此外，如果Z选择了所有有向子集，则可以恢复以下概念：的preframe。两个Z-框架之间的Z-完全同态也称为Z-框架同态.我们用ZFrm表示所有Z-框架和Z-框架同态的范畴.可以表明，SLAtEZFrm;更准确地说：定理2.5（[23，引理1.4，p.40]）设Z是SLat上的子集系统。 设FZ：SLat −→ ZFrm是定义为FZ（S）=（Z（S），n）的 函 子 ，FZ（f：S−→T）=（FZ（f）：FZ（S）−→FZ（T），D<$→↓f（D））Z：ZFrm −→ SL at是遗忘函子。 则FZ左伴随于GZ，单位为ηS：S−→Z（S），x<$→↓x（S∈obj（SLat））和co-unit由下式给出εS：Z（S）−→S，D <$→D （S∈ obj（SLat））.Z-完全半格A的子集X是Z-闭的，如果（i）X=↓X，且（ii）对任意Z-集D，D<$X蕴涵 D∈X。 的所有Z-闭子集的集合 A表示为Γ Z（A）。观察到ΓZ（A）在任意交下是闭的。Z-闭集的概念旨在推广Scott闭集的概念;只需要求Z选择所有有向子集。我们用cl Z（X）：={C∈Γ Z（A）}表示Z -完备半格A的子集X的Z -闭包. |XC}。对半格A，A是Z-框架当且仅当Γ Z（A）是框架.更重要的是，ZFrmEFrm给出如下：定理2.6（[22]）设Z是SLat上的子集系统。 设F Z：ZFrm −→ Frm为函子68W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）61定义为FZ（A）=（ΓZ（A），λ），FZ（f：A−→B）=（FZ（f）：FZ（A）−→FZ（B），X<$→clZ（f（X）而GZ：Frm −→ ZFrm是健忘函子。 则F Z左伴随于GZ，单位为ηA：A−→ΓZ（A），x<$→↓x（A∈obj（ZFrm））和co-unit由下式给出εA：Γ Z（A）−→A，X <$→X（A ∈ obj（ZFrm））.2.2科莫纳德范畴D中的余单子由函子U：D−→D和两个自然变换ε：U−→idD（可数）和ν：U−→U2（余乘）组成，满足以下条件：(i) （结合性）UνX<$νX=νUX<$νX，以及(ii) (Unit定律）εUX<$νX=UεX <$νX=idUX对于D的任何对象X。自然性条件意味着对所有f：X−→Y，UXUf）UYUXTf）UY通勤。X）YFU2X）U2YT2f设U=（U，ε，ν）是一个comonad。一个U-余代数是一个对象A（底层对象）和一个箭头β：A−→UA（余结构映射），满足以下条件：(i) （结合性）νAβ=Uβ，以及(ii) (Unit law）Aβ = idA有时，我们把余代数的基本对象称为余代数。命题2.7对任何对象X，UX是一个余代数（称为自由U-余代数），其余结构映射为νX：UX−→U 2X。设A和B是具有余结构映射α：A−→UA和β：B−→UB的U-余代数.一个从（ A ， α ） 到 （ B ， β ） 的 U- 余 代 数 同 态 是 一 个 箭 头 h ： A−→B 使 得Uh<$α=β<$h。范畴之间的每一个附加物都产生一个共同名词。更精确地说，给定F：C−→D是G：D−→C的左伴随，定义U：D−→D，U=F G。将协单位设置为附加fEG的协单位，即，ε，余乘为ν=FηG.则可以证明（U，ε，ν）是D中的一个共单子。εXεY和νXνYvvvvW.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）6169Σ例2.8（i）将上述结果专门化为范畴OrdMon和NSRng之间的附加FEG，U：NSRng−→NSRng被定义为U = F G。计数ε由下式给出：εR：UR−→R，↓A→a=A（AfinnR∈obj（NSRng）），a∈A而余乘ν=FηG由下式明确给出：νR：↓A→ {↓B ∈ FGR|a ∈ A。 ↓ B<$↓a}。(ii) 将 上 述 结 果 应 用 于 范 畴 SLat 和 ZFrm 之 间 的 附 加 FZEGZ ， UZ ：SLat−→ZFrm定义为UZ=FZGZ。计数ε由下式给出：εS：Z（S）−→S，D<$→D，而余乘ν=FZ（ηGZ）明确定义为：νA：D<$→{E∈Z（A）|d∈D. E↓d}。(iii) 对于范畴ZFrm和Frm之间的附加词FZEGZ，UZ：ZFrm−→ Frm定义为U Z= F ZGZ。 计数ε由下式给出：εA：ΓZ（A）−→A，X<$→X，而余乘数ν=FZ（ηGZ）由下式明确给出：νA：D<$→{X∈ Γ Z（A）|d∈D. X↓d}。2.3偏序集充实范畴中态射的Kan提升在下文中，Kan提升的范畴概念（这是Kan扩张的范畴对偶，参见[15，p.236]）被应用于偏序集和单调映射的特殊情况。回想一下，对于偏序集P和Q，单调映射f：P−→Q是一个保序函数，即，x≤Py蕴涵f（x）≤Qf（y）。如果一对单调映射f：P−→Q和g：Q−→P使得f（p）≤q如果p≤g（q），若p∈P，q∈Q，则称f是g的左伴随，或等价地g是f的右伴随.如上所述的附接对由fEg表示。对于单调映射，fEg蕴涵f<$g≤idQ和idP≤g<$f。 如果另外fg=idQ，我们说fEg是反射的;如果gf=idP，我们说对偶地，核心反射的。设p：Y≤X和f：A−→X是偏序集之间的单调映射f沿p的左Kan提升是单调映射f/p：A-→Y，使得(K1)p（f/p）≤f(K2) p<$g≤f对于g：A−→Y意味着g≤（f/p）。X（pY一70W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）61换句话说，f沿p的左Kan提升，如果存在的话，是最大的映射g：A−→Y，其中p<$g≤f。由于这等于条件pg≤fg≤（f/p），对于所有g：A−→Y，合成映射p−：[A，Y]−→[A，X]是右伴随的−/p：[A，X] −→[A，Y]。这里[P，Q]表示从P到Q的所有单调映射的集合。设C是偏序集充实范畴，E是C-态射的子类. C的对象A称为E上的左Kan对象，如果对于每个E-态射p：Y-→X，是右伴随的p−：[A，Y]−→[A，X]−/p：[A，X] −→[A，Y]。如果A是E上的左Kan物体，并且左Kan升力f/p是实际升力（即，p<$（f/p）= f），则称A为E上的左投射对象。3KZ-组合式机械我们现在发展KZ-共单机器，我们用它来刻画某些偏序集丰富范畴中的E-投射因为我们在这里所做的仅仅是将Escard的一元设置二元化为一个共同的一元设置，所以我们可以省略所有的KZ-一元技术的专家可以选择基于对偶原理跳过这整个第一次接触到这些材料的读者应该验证这里报告的所有结果，并从原始（一元）版本中查找提示（如果有麻烦）[9，p.31]。3.1定义事项回忆一下，偏序集丰富范畴是一个其母集是偏序集并且其复合运算是单调的范畴在偏序集丰富范畴之间的偏序集函子是在hom-posets上单调的函子一个偏序集函子U：C−→D是偏序集忠实的，如果C中的所有A和B以及所有C-态射f，g：A−→B，f ≤ g ≤ Uf ≤ Ug。例3.1OrdMon和NSRng都是偏序集富集范畴。此外，函子F和G都是偏序集函子，它们是偏序集忠实的。事实上，对于任何有序幺半群态射f，g：M−→N且f≤g逐点，则对于任何有限集A<$M，我们有Ff（↓A）=↓f（A）<$↓g（A）=Fg（↓A）。相反，如果Ff≤Fg，则对于每个x∈A，有Ff（↓x）<$Fg（↓x）=<$↓f（x）<$↓g（x）=<$f（x）≤g（x），因此f≤g。W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）6171例3.2范畴SLat和ZFrm（当然还有Frm）是偏序集富集的。此外，很容易检验FZ，FZ和遗忘函子都是偏序集函子。对于偏序集丰富的范畴NSRng，以下性质成立：命题3.3对任意正规半环R，成立εUR≤ U εR。证据我们对有限子集A执行以下计算：εUR（↓A）= ↓{A| ↓A∈A}和UεR（↓A）=↓{A| ↓A∈ A}。显然，εUR（↓A）<$UεR（↓A）。Q3.2主要结果满足前一命题中的不等式的余单子是一种特殊的类型，即KZ-余单子。下面给出的KZ-comonad的定义是基于Anders Kock [14]的结果，专门用于偏序集丰富的范畴。引理3.4设（U，εν）是偏序集充实范畴D中的余子，并假设U是偏序集函子。则以下条件是等价的：（KZ0）εUX≤UεX，对所有X∈ D.（KZ1）对所有X∈D，箭头β：X−→UX是余结构映射当且仅当βE εX是一个核心等价的附加函数（即， εX<$β = id X）。（KZ 2）νXEεUX，对所有X∈D.(KZ3）UεXEνX对所有X∈ D.定义3.5设D是一个偏序集充实范畴。 D中的一个左KZ-余单子是D中的一个余单子（U，ε，ν），其中U是偏序集函子，服从引理3.4的等价条件。偏序对偶，定义右KZ-comonads。只要没有混淆，我们就写这里的“KZ”是“K o c k-Zéo berlein”的缩写。例3.6通过命题3.3，由以下两个之间的附加引起的comonadOrdMon和NSRng是一个左KZ-comonad。例3.7根据前面例2.8（2）和（3）中明确给出的函子和余乘的各自定义，可以很直接地检验余单子UZ=FZGZ（由附加函数FZEGZ诱导）和UZ=FZGZ（由附加函数FZEGZ注3.8根据条件（KZ1），每个对象A至多有一个共结构映射。用mA表示KZ-余代数U=（U，ε，ν）的U-余代数A的唯一余结构映射.定义3.9设F：D−→D是偏序集充实范畴上的偏序集函子D. 左F-箭头是D中的态射f：X−→Y，使得Ff：FX−→FY72W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）61有一个右伴随，记为f：FY−→FX。如果附加是反射性的（即，FfEfandFff= idFY），我们说f是一个左F-商.命题3.10设（U，ε，ν）是偏序集丰富范畴中的左KZ-余单子D. 则εX：UX −→ X是一个左U-商，其中ε <$X= νX。证据条件（KZ 3）表明UεXEνX。根据单位定律εUX<$νX= idUX，可以得出这个附加是相对的。Q我们得出本节的主要定理。定理3.11下列陈述对于左KZ-余单子等价（U，ε，ν）在偏序集丰富范畴D中，且任意对象A∈D：(1) A是一个在左U-上的左射影。(2) A在左U上是射影的.(3) A是一个U-余代数.这些条件意味着(4) A是左U箭头上的左Kan对象。此外，假设等价条件（1）-（3）中的任何一个成立，如果p：Y−→X是左U-箭头，f：A−→X是D中的任意箭头，则f/p=εY<$p<$$>Uf<$mA，其中mA：U −→ UA是余代数A的余结构映射。4应用4.1E-投射正规半环正规半环R和S之间的半环态射f：R−→S称为完全的，如果Uf有一个自反右伴随，即，一个半环态射s：US−→UR使得UfEs和Ufs= idUS。注4.1每个完全半环态射在NSRng中有一个截面。在这一节中，我们用E表示完全半环同态类。对于本节的其余部分，我们专门定义F、G、U、ε和ν为例2.8中的值。注4.2对任意正规半环R，余单位映射ε：UR−→R， ↓A›→一使得U εR：U2R-→UR有一个自反右伴随νR：UR-→U2R给出↓ A → {↓ B|a ∈ A。 ↓ B <$↓ a}。这提供了完美半环态射的自然例子。W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）6173ΣΣ↓Σ在得出本节的主要结果之前，我们需要引入半环理论中的两个定义4.3设（R，+，·）是一个半环. 定义R上的一个辅助关系F（如下所示）：xFyYanjiangYanjiangR..a≥ y =a ∈ A.x ≥ a.a∈A将正规半环看作是有序幺半群，a∈Aa可以看作是A.定义4.4一个正规半环（R，+，·）称为F-连续的，如果对于任意x∈R，(i)x：={r∈R|rFx}是下闭包（w.r.t. 诱导偏序） R的有限子集，并且(ii) x=↓x。一个半环R被称为稳定F-连续的，如果除了（i）和（ii）它还满足以下条件：(iii) xFy·z当且仅当R中存在YJ和ZJ使得yjFy，zjFz且x≤YJ·ZJ。引理4.5正规半环（R，+，·）是U-co代数a的基础对象当且仅当它是稳定F-连续的。证据 根据引理3.4，R是U-余代数的底层对象当且仅当它的余单位εR：UR−→R有核对偶右伴随β：R−→UR。这等价于条件β<$εr≤idUR和ε<$β= idR。由于εR（↓A）=a∈Aa=A，伴随情形迫使前面的不等式等价于β（r）= {↓A∈FR|r ≤A}。因此，s ∈ β（r）当且仅当s属于每个有限集A <$R的下闭包，其中r ≤A，即，sFr.因此R是连续正规半环。由于β表示乘法·，所以对任意yy和z∈R，β（y·z） =β（y）<$β（z）.因此，第二个条件等价于：XF（y·z）<$$>x∈β（y）<$β（z）⇐⇒(∃yJFy）（zJFz）。（x≤YJ·ZJ），这正是R是稳定F-连续的条件Q例4.6根据算术基本定理，具有最小公倍数作为加法和最大公约数作为乘法的半环R=（N，lcm，gcd）是正规的。作为一个有序幺半群，偏序R上的≤是整除关系，即，a≤b|B. 显然，0和1关键的是，如果y= 0， 1，那么x对于某个素数p，74W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）61Z和x|y.紧接着由欧几里得定理4.7对于任意正规半环R，下列等价：(i) R是E-投射的。(ii) R是U-余代数的基本对象.(iii) R是稳定F-连续的.证据 引理3.4和4.5以及定理3.11的直接推论。Q注4.8N.T. 奈已建立的结果是类似于我们的，但她的类E的半环态射f是那些G（f）有一节。不奇怪的是，Nai必须单独证明对于正规半环S，标准结构（D0（S），）是稳定有限连续的。(see[16，命题5.2.10，p.67]），因为她只依赖于引理1.2。4.2E-投射Z-框架与框架在本小节中，我们重载了前一小节中使用的一些定义。定义4.9Z- 框架A和B之间的Z -框架同态f：A−→B被称为是完美的，如果UZf有一个相应的右伴随，即，aZ-标架同态s：UZB−→UZA使得UZfEs且UZfEs=idUZB.在框架A和B之间的框架同态f：A-→ B被称为如果你是完美的 f有相应的右伴随，即， 框架同态s：UZB−→UZA使得UZfEs和UZfs= idUZB。在域理论中，way-below关系是被广泛研究的中心关系[11，pp.49 我们针对Z-标架的情况进行了修改：定义4.10设A是Z-标架. 定义辅助关系Z（读作Z-way-below），如下所示xZyD∈Z（A）..D≥y = d∈D。x≤d。对应于加法ZFrmEFrm，我们必须为一个框架定义一个新的二元关系：定义4.11设A是一个框架。定义一个关于A的辅助关系Z（在下面读作Z-）如下：xC∈ Γ Z（A）..C≥y =<$x∈C<$。注4.12在埃斯卡奥（[10]）的作品和作者与赵（[12]）的合作作品中都出现了一个特殊的例子。在他们的作品中，Z选择所有有向子集。W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）6175定义4.13称Z-框架A是Z-连续的，如果对任意x∈A，(i) ↓Zx：={a∈A|aZx}∈Z（A）且(ii) x=↓Z x。一个Z-框架A被称为稳定Z-连续的，如果除了（i）和（ii）它还满足以下条件：(iii) 1Z 1，和(iv) xZy<$z当且仅当A中存在yJ和zJ使得yJZy，zJZz且x≤yJ<$zJ。定义4.14称框架A是Γ Z-连续的，如果对任意x∈A，x = γ（x），其中γ（x）：={a∈A|aZx}。一个框架A被称为稳定的ΓZ-连续的，如果它还满足以下条件：(i) 1Z1和(ii) x<$Zy<$z当且仅当A中存在yJ和zJ使得yJ<$Zy，zJ<$Zz且x≤yJ<$zJ。注4.15注意，对于任意x ∈ A，γ（x）∈ Γ Z（A）总是成立。这一点可以直接从Z-闭集和Z-闭集的定义中得出。引理4.16设Z是SLat上的子集系统。那么以下陈述成立：(i) Z-框架A是UZ-余代数的底层对象当且仅当A是稳定Z-连续的.(ii) 框架A是UZ-余代数的底层对象当且仅当A是稳定的Γ Z-连续。证据 类似于引理4.5的证明。Q定理4.17（i）设E是完备Z-框架同态集.对于任何Z -标架A，以下等式是等价的：(i) A是E-投射的。(ii) A是UZ-余代数的基本对象.(iii) A是稳定Z-连续的.(ii) 设E是完备框架同态的集合。对于任何帧A，以下是等价的：(i) A是E-投射的。(ii) A是UZ-余代数的基本对象.(iii) A是稳定的Γ Z-连续的.证据 引理3.4和4.16以及定理3.11的直接结果。Q5结论本文对Escard'o的KZ-一元矩阵进行了简单的修改，以处理投射词的特征化问题而不是重新发明轮子，76W.K. Ho/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）61这里的主要思想是把轮子转向相反的方向。我们的定理3.11是定理1.1的范畴对偶，它允许我们将余单子的基础余代数精确地考虑为E-射影，E是左单子元的类。这种技术适用于从有序幺半群和正规半环理论以及框架理论中产生的几种共单元情况，并且在每种情况下都将E-投射精确地表征为那些稳定连续的结构（每个都是关于F，Z和Z的）。总之，我们证明了，它是很容易制定和应用的Escard'o的monadicmac hiner y的双重版本，和他的方法是，在事实上，就像强大的特点投射，未来工作的一个重要部分是为运行示例中的每个不同范畴找到各种完全态射的明确特征。目前，我们还没有获得这样的特征。引用[1] Abramsky，S.和Jung，A.，“Domain Theory,” Volume 3 of Handbook of Logic in Computer Science,[2] 巴尔贝斯河，投射和内射分配格，Paci fic J。数学21（1967），405[3] 巴尔贝斯河，和Dwinger，P.，[4]Banaschewski，B.，和Niefeld，S.B、投射与超相干框架，J。纯应用代数70（1991），45[5] Crown，G. D、具有剩余映射的完备格范畴中的射影和内射。Ann. 187（1970），295[6] 戴维湾，澳-地一、Priestley，H.一、《格序导论》，剑桥大学出版社，1990年。[7]嗯，M.，Z-连续子集及其拓扑表现，应用范畴结构7（1999），31[8] 埃斯卡德 Injective spacesviathefiltermonad，《拓扑学原理》22（1997），97-110。[9]埃斯卡尔奥，M。H、Properlyinjective空间和函数空间，拓扑及其应用89（1-2）（1998），75[10] 埃斯卡多，M. H、内射locales over perfect embeddings and algebras of the upper powerlocale monad，Applied General Topology4（1）（2003），193[11] Gierz ， G.， Hofmann ， K. 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