埃及数学学会：Hilbert空间广义混合平衡问题的算法和收敛性分析

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，155埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章一类广义混合均衡问题Suhel Ahmad Khan数学系，BITS-Pilani，迪拜校区，迪拜345055，阿拉伯联合酋长国接收日期：2014年1月30日;接受日期：2014年2014年5月3日在线发布本文考虑Hilbert空间中的广义混合平衡问题及其辅助问题。进一步，我们建立了辅助问题的存在唯一性定理。利用该定理构造了广义混合平衡问题的一个算法，并讨论了算法的收敛性分析和广义混合平衡问题解的存在性。2000年数学潜规则分类： 49 J30; 47 H10; 47 H17; 90 C99？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍平衡问题和变分不等式理论中最重要和最有趣的问题之一是发展给出求解平衡问题和变分不等式的有效和可实现算法的方法这些方法包括投影法及其变形、线性逼近法、下降法和牛顿众所周知，投影方法及其变体不能扩展到混合平衡问题，电子邮件地址：khan. gmail.com同行评审由埃及数学学会负责不可微项为了克服这个缺点，人们通常使用辅助原理技术。这种方法是寻找一个合适的辅助问题，并利用文献[1]中使用的固定点方法证明辅助问题的解就是原问题的解。最近的工作[2受这方面工作的启发，本文将辅助原理方法推广到Hilbert空间中的广义混合平衡问题。我们证明了与GMEP有关的一个辅助问题的唯一解的存在性，从而构造了一个求GMEP近似解的算法.进一步证明了该近似解强收敛于GMEP的唯一解。本文的算法和结果是新的，不同于文[5]的算法和结果。所得结果推广了文[2，3]的技巧和结果.1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.03.003制作和主办：Elsevier关键词广义混合平衡问题;Lipschitz连续;强单调;同时半连续映射156S.A. 汗×！香港× ！ðÞ¼ 8 2！×！中国-中国-中国8 2jjjjjjjjjjjjjjj82！¼！22！2二号！ð Þ¼ 8 2ð Þ¼ð Þ ð Þ¼ ð Þ¼- 8ð Þ¼ ð Þ¼ ð Þ¼ð Þ 82\22中国-82ni¼12. 预赛设H是实Hilbert空间，其内积和范数分别记为：;：和：，K是H的非空闭凸集。给定单值映射T;S：HH;N;g：HHH和双函数F：HHR使得f x;x0 xH，则我们考虑广义混合均衡问题（GMEP）x2K，使得fx;yhNTx;Sx;gy;xi bx;y-bx;xP0; 8y2K;12： 10其中双函数b：H HR，不一定是可微的，满足以下性质：(i) b在第一个参数中是线性的(ii) b是有界的，也就是说，存在一个常数c> 0，使得bx;y 6cx y;x;y H;(iii) bx; yb x;z 6b x;y z;x;y;z H;(iv) b在第二个参数中是凸的。一些特殊情况：3. 辅助问题与解的存在性首先与GMEP（2.1）相关，我们考虑辅助问题，然后建立辅助问题的存在定理：辅助问题（AP）。给定x2K，求z2K，使得qf z; yh Az-Axq N Tx; Sx;g y; ziq½b其中q>0是常数，并且A：KH不一定是线性映射。我们观察到，如果z x，显然z是GMEP（2.1）的解。现在，我们给出以下定义和概念。14.第十四章设K是拓扑向量空间X的子集。一个集值映射T ： K2 X 称 为 Knaster-Kuratowski-Mazurkiewieg映射（KKM映射），如果对每个非空有限子集fx1;x2;. . ;xngK，我们有(I) 如果N Tx;Sx B x;b x;y0和gy;xy x x;y K，其中B：K，则GMEP（2.1）归结为找到x K这样的的fx;yhBx;y-xiP0; 8y2K;2：2[9]这是一个很好的例子。(II) 如果fx;y 0;b x;y0和N Tx;SxB xx;yK，其中B：K K，则GMEP（2.1）简化为求x K的类变分不等式问题，的hBx;gy;xiP0; 8y2K：2：3这个问题已经在[10]中进行了研究。(III) 如果N Tx;Sx0x K，则GMEP（2.1）简化为寻找x K的广义均衡问题，使得fx;ybx;y-bx;xP0; 8y2K：2：4这个问题已经在[5]中进行了研究。(IV) 如 果 在 （ III ） 中 ， b=x;y= 1/208x;y= 2K ， 则GMEP（2.1）归结为求x =2K的平衡问题，使得fx;yP0; 8y2K：2：5这个问题已经在[11]中进行了研究。(V) 如果N =Tx; Sx= Bx=Tx; b=x; y= Bx= By = Bx=R和f=x;y=08x;y =2K，则GMEP引理3.1[14]. 设K是拓扑向量空间X的一个子集，T：K！2 X是KKM映射。 如果对每个x2 K; T∈x∈是闭的，且至少对一个x 2 K; T∈x∈是紧的，然后Tx-x2 K定义3.2. 设f：K × K！ R; N：H × H！ H; T; S：K！K和G：H × H！ H. 然后又道：(a) 称T是-强单调的，如果存在常数a>0，使得f∈x;y∈f∈y;x∈akx-yk2≤0; 8x;y2H;(b) 称g是d-Lipschitz连续的，如果存在常数d>0，使得k gx;y k6d kx-yk; 8x;y 2H;(c) 称A是s-强g-单调的，如果存在一个常数s>0，使得hAx-Ay;gAx;y=Pskx-yk; 8x;y2H;(d) 称N是关于T和S的s-强混合g-单调，如果存在一个常数s>0，使得hNTx;Sx-NTy;Sy;gx;yiPskx-yk; 8x;y2H;(e) 如果存在一个N，则称N是nb;bn-Lipschitz连续的，（2.1）简化为求x2 K的问题，使得12hBx;gy;xi/y-/xP0; 8y2K：2：6这个问题已经在[12]中研究过了。(VI) 如果在（V）中，gy;x y x;y K，则GMEP（2.1）简化为求x2K的变分不等式问题，使得hBx;y-xiH2/xH2y-/xH2xH2P0; 8y2K：12 ：7H2这个问题已经在[13]中进行了研究。常数b1;b2>0，使得kNx1;y1-Nx2;y2 k6b1 kx1-x2kb2 ky1-y2k; 8x1;x2;y1;y2 2H;(f)f和A被称为同时半连续的，如果对于k2½0;1];yk：1/4ky∈1-k∈z;y;z2K，我们有我的天啊！Fz;phAz;pi作为K！ 对于任何p 2 K，Co fx1;.. . ;xng我来了。一类广义混合均衡问题的辅助问题及其算法157！21/11/1XXXSki½qfz;zihAz-AxqNTx;Sx;gzi;zi1/1我Co fz1;z2.. . ;zmg我的天啊。 P是一个KKM映射。kiP0; 16i6m，其中P定理3.1.设K是中的非空闭凸集，H. 设g：K × K！ K在第一个参数中是确定的，在第二个参数中是连续的，使得g=y;x=g=x;y= 1/40 8x; y= 2 K;令b：K × K！ R是凸的第二个参数和连续的;令f：K × K！ R在第二个变元上是凸的和下半连续的，f∈x;x∈^0 8x2K;设A：KH是g-单调的，f和A同时是半连续的. 若存在非空紧子集D对于H和z02D\K，对于任意z2KnD，我们有-qfz0 ;z hAz0-AxqNTx;Sx;gz0;z iq½b对于给定的x2 K。那么AP（3.1）有一个解。此外，若A是s-强g-单调的，则解是唯一的.证据 定义集值映射P; Q：K！2 K作为-qfy;zhAy;gy;ziPqfz;yhAz;gy;zi：3：6根据（3.5）和（3.6），我们有-qfy ;z hAy-AxqNTx;Sx;gy;z iq½bx;y-bx;z]P0;也就是说，z 2 Qy。因此Q也是一个KKM映射。由于f是下连续的，g在第二个参数中是连续的，b也是连续的，因此Qy对每个y2K都是闭的。最后，我们证明了对z02D\K;Q<$z0<$是紧的. 确实假设存在z^2Q<$z0 <$，使得z^RD. 由于z02D\K和z^2Q<$z0<$，我们有-qfz0;z^hAz0-AxqNTx;Sx;gz0;z^iq½b由于z^RD，通过假设（3.2），我们有Pyf z2 K：q f z; yh Az-Axq N Tx; Sx;g y; zi-qfz0;z^hAz0-AxqNTx;Sx;gz0;z^iq½b和Qyf z2 K：-q f y; zh Ay-Axq N Tx; Sx;g y; ziq½b这与（3.7）是矛盾的。因此Q=0，D= 0。由于D是紧的，Qz0是闭的，Qz0是紧的。q½b对于y K，分别。我们权利要求的P是 一KKM映射的确，让因此，根据引理3.1，可以得出：存在一个z2K使得z2KQy-fz;z;... ;zg是K 的有限子集，令12M— qf y; zh Ay-Axq N Tx; Sx;g y; ziMz¼Pmkiz iRSmPz i。然后ki¼ 1。假设q½b由于K是凸的，对于任何k2<$0;1]和任何y;z2K，我们有qf z; zih Az-Axq N Tx; Sx;g zi; ziq½bx;zi-bx;z]0;8i：由于f和b在第二个参数中是凸的，g在第一个参数中是凸的，使用上述不等式，我们有0¼qfz;zhAz-AxqNTx;Sx;gz;ziyk ：¼ky1-kz2K.因此，对于给定的x2K，我们有— qf yk; zh Ayk-Axq N Tx; Sx;g yk; ziq½bx;yk-bx;z]P0：由于b在第二个参数中是凸的，而g在第一个参数中是凸的，所以前面的不等式简化为：q½bz;M1/1kizi！-qfyk;zkhAyk-AxqNTx;Sx;gy;ziqk½b. Xm！hAz-Axkizi;z其中我们使用了g=z;z=0。现在，使用（3.8），我们有“b.x;Xm1/1mi¼1kizi！--一种mi¼1 kibx;z#0<$qfyk;yk6qkfyk;yq1-kfyk;z6qkfyk;y1-khAyk-AxqNTx;Sx;gy;ziqkbx;y-bx;z]除以k，我们有n=0;qkf y;y1kAy Axq N Tx;Sxgy;z这太荒谬了 因此z 2 Sm P<$z<$。因为z是任意的克Þþð-Þhk-þðP0：异黄酮元素MCo fz1;z2. ; z mg，因此现在，我们声称PyQy对每个y2K.的确，让z2Py，我们有qf z; yh Az;g y; ziPh Ax-q N Tx; Sx;g y; zi-q½bx;y-bx;z]：13：5因为f和A是单调的，所以我们有丁k！0分，我们有qf z; yh Az-Axq N Tx; Sx;g y; ziq½bx;y-bx;z]P0;8y2K：因此z2K是AP（3.1）的解.1/1Iq6由于f和A是同时半连续的，那么令-1/1158S.A. 汗¼1/4！电子邮件：info@martina.com¼¼1/4！22公司简介！！.b2 22lc a82！21FGn2nn10D12设z1和z2是AP（3.1）的两个解。对于所有的y2k，qf z1; yh Az1-Axq N Tx; Sx;g y; z1iq½bqf z2; yh Az2-Axq N Tx; Sx;g y; z2iq½bn0; 1; 2;.. . 其中q>0是一个常数，A：KH不一定是一个线性映射.如果h0，其中h0是给定的严格凸函数h在K上的导数，则算法4.2退化为[9]中研究的算法。(II) 如果N Tx;Sx0且gy;x y x x;y K，则算法4.1简化为问题（2.4）的以下算法。取式（3.9）中的yz2，式（3.10）中的yz1，并加上这些不等式，我们有qfz1;z2fz2;z1- hAz1-Az2;gz1;z2iP0;算法4.3. 对于给定的x0解xn2K满足qf x; yh Ax- Ax; y- x2K，计算一个近似值i因为对于所有x;y2K，g0。由于f是单调的，A是s-强g-单调的，则它n1P0; 8y2K;n1nn1nnn1根据前面的不等式，n0; 1; 2;.. . 其中q>0是一个常数，A：KH不一定是一个线性映射.算法4.3不同于skz1-z2k60：由于s>0，我们有z11/4z2。这就完成了证明。H在[5]中考虑。(III) 如果N Tx;Sx0;b x;y0且gy;x y x x;y K，则算法4.1简化为以下算法：问题2.5.4. 算法和收敛性分析基于定理3.1，我们构造了GMEP（2.1）的一个算法。进一步，我们证明了GMEP（2.1）解的存在性，并讨论了由我们算法产生的序列的收敛准则算法4.4.对于给定的x02K，计算近似解xn2K，满足qfxn1;yhAxn1-Axn;y-xn1iP0;8y 2 K; n <$0; 1; 2;. ;对于给定的x02K，我们从定理3.1知道，（3.1）有一个解，比方说，x12K，即，qf x1; yh Ax1- Ax0q N Tx0; Sx0;g y; x1i其中q>0是常数，并且A：K线性映射！H不一定是aq½b同样，根据定理3.1，对于x22K，AP（3.1）有解x2，即，qf x2; yh Ax2- Ax1q N Tx1; Sx1;g y; x2iq½bx1;y-bx1;x2]P0;8y2K：因此，通过归纳，我们有：算法4.1.对于给定的x02K，计算满足以下条件的近似解xn2KqFxn1;yhAxn1-AxnqNTxn;Sxn;gy;xn1iq½b8y2K;n<$0;1;2;. . . ;定理4.1.设K是中的非空闭凸集，H. 设g：K×K！K是d-Lipschitz连续的，并且使得g在第二个参数中是无尾的，并且对于所有x ; y 2 K，g∈x; y∈ g∈y;x∈ 1/2 0。让T;S：K！H分别是t-Lipschitz连续映射和s-Lips- chitz连续映射;设N：H×H！H是关于T和S的s-强混合g-单调，且f是k;b是Lipschitz连续的;设f：K×K！R是凸的，在第二个论点下是下连续的，并且是a-强单调的;设A：KH是s-强g-单调的，r-Lips-Chitz连续;设f和A同时半连续，b：H × H！ R满足性质（i）-（iv）。 如果定理3.1的假设（3.2）成立且q> 0满足.q -s-lc-al s-k.2014 -04- 19其中q>0是常数，并且A：KH不一定是线性映射。一些特殊情况：(I) 如果g=y; x= y-x且b=x; y= 0; N=Tx; Sx= B=x=yK，其中B：K H，则算法4.1简化为问题（2.2）的以下算法。b-lc-aqs-lc-als-k]2-b2-l2 c-a2]d2-ls-k]2-ð -Þs >lc-als-kqb2b2l2c-a2]bd2-ls-k2]b2> l2 c- a2 ;d2>ls-k2;c>a;ls>k;kl<算法4.2. 对于给定的x2K，计算近似值k：<$pd2-2sr2;l<$1;b<$btbs：4：2解xn2K满足qfxn1;yhAxn1-AxnqBxn;y-xn1iP0;8y2K;然后由算法4.1生成的序列xn强收敛到xK，其中x是GMEP（2.1）的唯一解。222.<一类广义混合均衡问题的辅助问题及其算法159¼¼22222s公司简介222-q½fxn1;xnFxn;xn1]hAxn1-Axn;gxn1;xnid-2sþþ--n1nnn-1nn-112. q-.-a2B20，我们有fx<$$>;yhNTx<$$>;Sx<$$>;gy;x<$ibx<$$>;y- bx<$$>;x<$P0;8y2K;也就是说，x′是GMEP（2.1）的唯一解。 这就完成了证明。H我们得到定理4.1的下列结果。推论4.1。设K是中的非空闭凸集，H.让B：K！H是s-强单调和b-Lipschitz连续的，设f：K × K！ R在第二个变元中是凸的和下连续的，f∈x;x∈ ^0 8x 2 K，a是强单调的;设A：K！H是s-强g -单调的，r-Lipschitz连续，设f和A是联合半连续的。如果t-Lipschitz连续和s-Lipschitz连续，实际上，我们估计kgxn;xn-1-q½NTxn;Sxn-NTxn-1;Sxn-1]k2存在H和z02D\K的非空紧子集D，使得对于任意z2KnD，我们有-qfz0;zhAz0-AxqBx;z0-zi q½bx;z0-bx;z]¼ kg xn;xn-1 k— 2qhNTxn;Sxn2<0的整数;— N<$ Txn-1; Sxn-1<$;g<$ xn; xn-1<$i <$qkN<$ Txn; Sxn<$2对于给定的x2K，如果q>0，则满足— NTxn-1;Sxn-1 kdkxn-xn-1k2-2qskxn-xn-1k..q22622 22.sa s-k。[1/2sas-k]— [2b2-a2½1-s-k]qk NkN <$Txn;Sxn<$-N<$Txn-1;Sxn-1<$k6b1kTxn-Txn-1kb2kSxn-Sxn-1k2小时：1/4：-a22160S.A. 汗12nn-16 btbskx-xk：4：9sas-k>qb2-a21-s-k2];b>a;s>k;k1;<一类广义混合均衡问题的辅助问题及其算法161ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi21/4-100fg千分之四1 - 2秒2.然后，由Algo生成的序列fx ng-1 - 2秒2.然后，由Algo生成的序列fx ng-其中k：p12sr2.然后由算法4.2生成的序列xn强收敛到xK，其中x是唯一的解决问题（2.2）推论4.2。设K;f;A与推论4.1相同，设b：H×H！ R满足性质（i）-（iv）。如果存在H和z02 D\K的非空紧子集D，使得对于任意z2KnD，我们有-qfz0;zhAz0-Ax;z0-zi q½bx;z0-bx;z]0;对于gpivenx2K，如果q>0，则满足kqcsqa，其中2[2] M.A. Noor，一般非线性变分不等式，数学杂志。Anal. 126（1987）78-84。[3] M.A.吴文，变分不等式的一般算法，北京大学出版社，2001。最佳。Theory Appl.73（2）（1992）409-412.[4] M.A. Noor，广义混合似变分不等式的辅助原理，J. 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