多范畴中解释经典线性逻辑的双映射与Grothendieck构造的研究

∗可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记352（2020）29-52www.elsevier.com/locate/entcs多范畴的双映射与经典线性逻辑尼古拉斯·布兰科1英国伯明翰大学计算机科学Noam Zeilberger2Laboratoire摘要本文的主要目的是揭示和联系在多范畴中解释经典线性逻辑的乘法片段的不同方法。已知多范畴会在所谓的可表示多范畴中产生经典线性逻辑的模型，这些模型要求存在各种满足定义张量、par和否定所需的不同泛性质的多映射。 我们首先解释这些不同的普适性质如何都可以被视为由输入或输出对象参数化的polymap的普适性的单个概念的实例，这也概括了多范畴中的普适多重映射的经典概念。然后，我们引入了相对于多范畴的加细系统（=严格函子）的入卡多映射和出卡多映射的定义，以这种方式，泛多映射可以被理解为一种特殊情况。 特别地，我们得到一个多范畴是一个可表示的多范畴，当且仅当它在终端多范畴上双分裂。 最后，我们提出了多范畴和伪函子到MAdj（弱）2-多范畴的（弱）多范畴之间的Grothendieck对应。 当被限制为双稳态时，我们恢复了Shulman最近在MAdj关键词：多范畴，线性逻辑，双振动，Grothendieck构造，Frobenius幺半群1介绍在他早期对根岑语法演算的语言学应用的研究中[ 16 ]，Lambek观察到[ 15]中所谓的“结合语法演算”具有自然的语义解释，其中公式被解释为环的双模和序列A1，...， An → B被解释为多重线性映射1电子邮件：n. pgr.bham.ac.uk2电子邮件：noam. lix.polytechnique.eduhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2020.09.0031571-0661/© 2020作者。出版社：Elsevier B.V.这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。30N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）29opop的1Ai−1Ai+1An我A1×· ··×An→B。他提到，微积分的一个好处是，它导致了一个决定程序的存在规范映射，并指出，这些早期的观察后来使Lambek在[17]中正式引入了多范畴的定义，它通过允许态射有多个输入来概括范畴，一个范例是向量空间和多线性映射的多范畴。Lambek的学生Szabo在[26]中引入了多范畴，它通过允许态射除了多个输入之外还有多个输出来进一步推广多范畴从证明论的观点来研究多范畴的一个动机是，它们与根岑的经典微积分LK的关系就例如，多范畴中态射的复合运算就像经典的代数演算中的割规则一样。Lambek和Szabo特别是，一个可表示的（或两张量）polycategory的概念，提供了一个自然的来源模型的乘法片段的经典线性逻辑。具有n的可表示多范畴等价于巴尔[ 2 ]的n-自治范畴，但其优点是所有的逻辑联结词都可以通过满足某些泛性质的对象和（多）态射的存在来定义，而不是作为受相干条件约束的代数结构。这种单-自治范畴和具有单-自治的可表示多范畴之间的关系类似于单形范畴和可表示多范畴之间的关系（Lambek[17]称之为单形多范畴），Hermida[10]仔细研究了这种关系。Hermida注意到可表示的多范畴理论和固定范畴理论之间的某些相似之处[10，表1]），他后来通过引入多范畴的（协变）纤维化的概念[11]来明确这一点，以这种方式，可表示的多范畴与在终端多范畴上的多范畴纤维化完全相同. 研究多范畴E → B的协变纤维化的更一般概念的兴趣之一，其中每个多态射f：A1，…，A n→B在B中诱导出一个前推函子pushf：EA1 ×·· ·×EAn → EB，它模拟了来自代数和逻辑的更丰富的一类结构。例如，Hermida指出，运算数O的代数可以用O上的离散协变纤维化来标识，后者被视为单对象多范畴。正确的定义是--[11]中没有讨论多类别的横变纤维化（和双纤维化）。然而，多范畴的逆变纤维化有一个自然的定义，在霍尔曼的 工作 中 得到 了 明确 的 定 义 [12，A. 2]和Licaa，Shulman，andRiley[18]的结果，在此基础上，基多范畴的每个多态性诱导出一个族pull[f]（i）：Eop× ···× Eop× E× ··· × E×EB→EA，通过选择特定输入对象的索引1≤i≤n来参数化Ai.这个定义的一个有趣的特征是，N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）2931``Lambek[17]的意义等同于多类别的双分裂。此外，用任意的基多范畴取代终端多范畴，可以为各种子结构和模态对数的建模提供更丰富的框架，正如Licata等人所讨论的那样。[18]，并且与Melli`es和Zeilberger关于类型精化和monoidal闭双振动的工作非常相似[20、21]）。特别是，一个循环模式是基础中的一些代数小工具（例如，幺半群对象）导出某种逻辑结构（例如，在其纤维上的monoidal closure）。在本文中，我们开始发展一个多范畴的双振动理论，其指导原则是，可表示的多范畴具有自治范畴）应该等价于在末端多范畴这个理论的一个结果是，我们恢复了Shulman [23]最近的一个很好的观察，即在多元ad- junctions的（2-）多范畴中，n-自治范畴等价这将遵循作为多范畴双振动的一般Grothendieck构造的结果，以类似于上面提到的模式的方式。也许令人惊讶的是，我们发展这个理论的另一个原始动机是试图更好地理解有限维Banach空间和压缩映射的范畴FBan 1的性质。它是一个非自治范畴，并且在FVect中有一个非自治的遗忘函子，但与后者相反，它不是紧闭的。它提供了一个基于有限维向量空间的经典MALL模型，该空间不是退化的，在这个意义上，正负片段不重合。虽然张量，更一般地说，使用FBan1作为直觉MALL的模型是有据可查的（参见。[5]我们在文献中找不到任何关于par的记载。 事实上，这一类是Barr在[ 1，Ch.4，53-59]中提出的一个原始的双-自治范畴的例子，但没有明确地描述FBan 1中的张量和par。 然而，解释它们所需的结构在Banach空间的研究中很受欢迎：λ和对应于放置在向量空间的张量积上的不同范数，称为投射和内射（交叉）范数，它们具有在所有可以放在张量积上的行为良好的范数中是极值的性质。更具体地说，对于 任 何 交 叉 范 数 <$− <$ 和 任 何 u∈A<$B ， 我 们 有 <$u<$A`B≤<$u <$<$≤ <$u<$A<$B。我们将看到，这有一个很好的解释，即投射（）范数和内射（）范数可以分别定义为相对于遗忘函子到向量空间的向前推进和向后拉回。2多元范畴、线性逻辑与普遍性2.1多范畴在文献中有几种不同的“多范畴”定义。我们将考虑Cockett和Seely[6]给出的（非对称）多范畴的以下定义，它与Szabo最初的定义[ 26 ]略有本文中的思想可以以一种几乎直接的方式转移[13、24]），32N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）29F一GF但为了更一般化，我们使用平面多范畴。定义2.1一个多范畴P包括：• 对象集合Ob（P）• 对于任意一对对象的有限列表Γ和Δ，从Γ 到Δ表示为f：Γ→Δ（我们将Γ中的对象称为f的输入，以Δ为输出）• 对于每个对象A，单位多面体idA：A→A• 对任意一对满足[Δ1或ΓJ1为空]和[Δ2或Γj2 为空]限制条件的多项式f：Γ→Δ1， A ， Δ2和g ： Γj1 ，A ， Γj2→ΔJ，一 个 多 项式 g<$Af ： Γj1 ， Γ，Γj2→Δ1，ΔJ，Δ2服从适当的么正性、结合性和交换律，只要这些有意义：f=f（1）fAidA=f（2）（h<$Bg）<$Af=h<$B（g<$Af）（3）（h<$Bg）<$Af=（h<$Af）<$Bg（4）h<$B（g<$Af）=g<$A（h<$Bf）（5）注2.2当同一对象有多个副本时，组合物的标记可以是这可以通过索引或标记polymap的每个输入和输出来更仔细地处理。但是，我们将坚持使用本文中更宽松（尽管不太精确）的符号，因为它永远不会导致示例中的歧义注2.3我们有时会发现用弦图来表示多边形映射是有用的。在该图解语法中，合成操作可以被示意性地描绘如下：ΓJ1Δ1τΔJΓJ2Δ2对复合运算的限制，即Δ1或ΓJ1为空，Δ2或ΓJ2为空，被称为一般来说，多边形映射的弦图对应于边从左到右的平面树，而多范畴公理对应于图之间的自然同位素例如，交换定律（4）指出，当沿着两个不同的输入进行合成时，顺序不应该有关系：N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）2933˙˙˙˙如地图Γ→Δ在C中，并且这扩展到2-范畴的等价函数P（r1，r， r2; Δ）→ P（r1， r， r2; Δ）是可逆的.=这样就可以在同一层上画出上面的两个多边形f和g，就像我们在例子中有时会做的那样。2.2具有可表示性的可表示在这一节中，我们简要回顾了可表示的（或两张量）多范畴的概念，它已被用来模拟经典线性逻辑的乘法连接词。定义2.4设Γ是多范畴P中的对象列表。 Γ的张量积是一个对象Γ配备一个多面体映射mΓ：Γ →所以歌剧-对偶地，对于任何对象列表Δ，Δ的par积（或余张量积）是对象Δ配备有多边形映射wΔ：Δ→ Δ，使得操作P（Γ; Δ1， Δ， Δ2）→ P（Γ; Δ1， Δ， Δ2）是可逆的.定义2.5一个可表示的多范畴是一个多范畴，它具有任何有限对象列表的张量和部分可表示的多范畴的定义（在[6]中称为双张量多范畴）可以被替换地表述为仅要求二元和零元张量和pars的存在，这是等价的，因为二元和零元情况足以建立对象的任意有限列表的张量和pars。在任何情况下，这个定义都意味着一个可表示的多范畴的多映射Γ→Δ与其基础范畴的一元映射Γ→Δ一一对应。相反，Cockett和Seely证明了任何线性分配范畴（C，n，1，`，n）诱导一个p-范畴w，其中p-映射Γ→Δa被重新定义可表示多范畴与线性分配范畴之间的关系[6]。人们通过进一步要求存在性范畴来获得非自治范畴.定义2.6一个对象A的右对偶是一个对象A，它配备有多边形映射rcupA：· →A，A和rcapA：A， A→ ·c h使得rcupArcapA=idA和rcapArcupA=idA。A的一个左对偶是一个对象A，它具有p映射lcupA：·→A，A和lcapA：A，A→ ·，使得lcupA→AlcapA = id A和lcap A→Alcu pA=idA.定义2.7如果任何对象有右对偶和左对偶，则说一个多范畴有一个请注意，在对称多边形的情况下，该定义可以简化，因为在这种情况下，左和右顶点重合，尽管遵循CockettFGHFGH34N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）29Huh/u我们选择考虑更普遍的情况。Cockett和Seely证明了在对称情形下，具有n的可表示多范畴与Barr的n-自治范畴的概念一致2.3具有n的可表示多范畴是n-可表示多范畴在这一节中，我们引入了多范畴的“可表示性”的概念定义2.8一个多边形映射u：Γ → Δ 1，A，Δ 2被称为在输出A中是泛的（或简称为出泛，或在没有歧义时简单地称为泛的），写作u：Γ →Δ 1，A，Δ 2，如果对于任何多边形映射h：Γ 1，Γ，Γ 2→Δ 1，Δ，Δ 2使得Γ i=或Δ i=，存在唯一的多边形映射h/u：Γ 1，A，Γ 2→Δ使得h=h/u<$Au。对偶地，一个多面体映射n：Γ 1，A，Γ 2→ Δ在输入A中是泛域的（或非泛域的），记为n：Γ 1，A，Γ 2→Δ，如果对于任何多面体映射h：Γ 1，Γ，Γ 2→Δ1，Δ，Δ 2使得Γ i=λ或Δ i=λ，存在唯一多面体映射n\h：Γ →Δ 1，A，Δ 2使得h=n<$An\h。下图以图形方式总结了这些定义：Γ1Δ1Γ1Γ ΔΓΓ2 Δ2Γ2Δ1Δ（Δ）Δ2注2.9引申开来，我们说A是一个外泛对象（分别是：不通用对象）相对于周围上下文T →Δ1，， Δ2（分别Γ1，， Γ2→ Δ），如果存在外泛多射Γ→ Δ1，A， Δ2（分别为非泛多项映射（Γ1，A， Γ2→ Δ）。对于一个固定的周围环境，入泛对象和出泛对象是唯一的，直到唯一的同构。定义2.10一个多范畴被称为可表示的，如果它有所有的内泛对象和外泛对象，也就是说，如果对于任何Γ，Δ1，Δ2，有一个对象A配备有一个外泛多映射Γ→Δ1，A， Δ2，同样，对于任何Γ1，Γ2，Δ，有一个对象A配备有一个内泛多映射Γ1，A， Γ2→ Δ。可以说，定义2.8是概念的自然概括。定义2.10是从多范畴到多范畴的可表示性的自然概括（paceDefn.2.5）。在第3节中，我们将看到这些概念是更一般的虚构概念的特殊情况。就像多范畴中的强泛多重映射一样，内泛和外泛多重映射在适当的意义下都是闭复合的。Hn\hnN. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）2935˙˙命题2.11内泛多面体构成，在这个意义上，如果f：Γ1，A， Γ2→ Δ1，B， Δ2（在定义2.8的符号中）和g：ΓJ1，B， ΓJ2→ ΔJ，则g<$Bf：ΓJ1，Γ1，A，Γ 2，ΓJ2→Δ1，ΔJ，Δ2. 类似地，外泛映射也是在这个意义上，如果f：Γ→Δ1，B， Δ2和g：ΓJ1，B，ΓJ2→ΔJ1，C，ΔJ2，则g<$Bf：ΓJ1，Γ，ΓJ2→Δ1，ΔJ1，C，ΔJ2，Δ2.证据 正如我们稍后将看到的，这是命题3.4的一个特例。Q这些定义的一个直接结果是张量积可以被认为是外泛对象，而par积可以被认为是内泛对象。命题2.12一个 对象Γ配备有一个多面体映射m：Γ →Γ是Γi的张量积，m是外泛的（在其唯一输出中）。对偶地，配备有多射映射w的对象Δ：Δ → Δ是Δ i的标准积，Δ w在-universal（在其唯一的输入）。更令人惊讶的是，ESTA也可以被描述为在普遍或出普遍对象。命题2.13设A和A是多范畴P的对象。以下是等价的：(i) 存在一个外泛映射rcupA：· →A，A(ii) 存在一个普适映射rcapA：A，A→·(iii) 存在一个外泛映射rcupA：· →A，A(iv) 存在一个普适映射rcapA：A，A→·(v) A是A的右对偶证据我们建议对这个证明感兴趣的读者阅读本文的扩展版本。3Q注2.14当然，对于lcupA的左半球面也有类似的结果，lcapA.定理2.15 P是一个可表示的多范畴，它是可表示的.证据从右到左的方向遵循命题2.12和2.13。对于从左到右的方向，我们想为任何上下文构造in-universal和out-universal对象，只需要使用，`和。给定上下文T、Δ1、Δ 2，考虑物体A：= Δ1其中，ΔΣ1=B1Σ，n1Σ. 对于Δ1=B1，1，.，B1，N1对于Δ2也是如此。该对象附带以下多边形贴图，一种沿其外泛对象的外泛多边形贴图的合成。因此，根据命题2.11，它是外泛的。3见https：//nicolas-blanco.github.io/publication/polybifibrations/。36N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）29⊗Δ∗1⊗⊗∗Δ2∗Γ1`的2`"“Δ1ΓAΔ2同样地，对于Γ1，Γ 2，Δ，对象A：=Γ1-Σ Δ Γ2与非泛多面体是非泛逆的。Γ1AΔΓ2Q2.4示例例2.16任何线性分配范畴C给出一个多范畴P（C），称为它的基础多范畴。它具有与C相同的对象和多边形映射f：A1，.， A m→ B1，.， B n在P（C）中 是一个映射f：A1. A m→ B1`. B n在C中。例2.17特别地，任何monoidal范畴都产生一个具有相同对象和多形映射f：A1.的多形范畴。 A m→ B1 B.例2.18终结多范畴有一个对象m和一个唯一的箭头sm，n：对于每一元数m和余元数n，m→n。 虽然这个例子很简单，我们将看到它在第3节中起着重要的作用。例2.19任何范畴都导出一个只有一元映射的多范畴。一致的，任何多范畴都有一个通过忽略非一元映射而得到的基础范畴。例2.20从任何多范畴M，我们可以定义两个多范畴M+和M-，它们具有与M相同的对象。M +的多边形映射总是只有一个输出，对应于M中的多重映射，而M-中的多边形映射总是只有一个输入，对应于M中的多重映射。 从任何一个多范畴中，我们得到两个多范畴，通过限制到只有一个输出的多映射和只有一个输入的（反向）多映射。例2.21有向量空间的多范畴Vect和FVect（分别是有限维向量空间）和多线性映射。这两点都可以看出N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）2937一F作为向量空间和线性映射的monoidal范畴的基础多范畴。FVect是一个可表示的多范畴，它具有可表示性，而Vect是事实上，允许对偶的向量空间恰恰是有限维的。例2.22自由多范畴给出了不可表示的多范畴的例子。设一个由图1生成的自由多范畴，记为P（P），有作为对象的类型，以及由具有自由边边界的平面定向树给出的多映射，其节点由操作标记，其边由受签名指定的约束的类型标记例如，这里是由包含一对类型A和B以及一对操作f：A，B → B和f：A，B →B的签名生成的自由多范畴中的复合多映射f <$A（g <$B f）：A，B，B →A，B的描述。 g：B→A，A（在图中，边隐含地从左到右定向一BGBAFBB一般来说，合成是通过沿着一条边嫁接两棵树来完成的，而类型A上的恒等式是由没有节点和一条标记为A的定向边的平凡树给出的。观察这个多范畴是不可表示的，例如没有多映射A，A→A→A。例2.23单对象多范畴通常被称为操作数，而单对象多范畴也被称为双操作数[8]。对于任意多范畴P和任意对象A∈ P，存在一个称为A的自同态双运算数的双运算数，记为EndP（A），定义为P的仅包含对象A的全子多范畴。它有一个对象，它的多边形映射对应于多边形映射A，...，A→A，...，P中的A。2.5Banach空间的例子在这个例子中，我们专注于Banach空间。 虽然多范畴的使用大多数结果都是标准的。为了简洁起见，我们省略了这里的大部分定义和证明，尽管它们可以在本文的扩展版本Banach空间的标准理论可以在[22]中找到。我们将只考虑有限维Banach空间，但这可以通过用线性分配结构代替非自治结构这使我们能够跳过关于完整性的微妙之处我们确定一个场K=R，C. FVect是有限维K-向量空间和K-多线性映射的多范畴，其中多线性映射A1，...，A m→B1，.，B n对应于一个线性映射A1... A m→B1 B.对于多线性映射f：A1，...，A m→ B1，.，B n和元素ai∈ Ai和j∈B_w_e将写入标量（k_1，...， n）f（a1，.， am）：=（1.. . ⊗ϕm)(f(a1⊗.. .Am））。38N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）29∗ | |≤ǁ ǁ ǁ ǁ∗⊗⊗ |≤ǁ ǁ ǁ ǁ`a我我ǁϕǁA∗,ǁψǁB∗≤1Banach空间之间的连续线性映射对应于有界映射。这可以推广到多线性映射。定义2.24多线性映射f：A1，. A m→B1，.，B n在赋范向量空间（Ai，−Ai）和（Bj，−Bj）之间是bond如果K，ai∈Ai，j∈Bj，（1，.， n）f（a1，.，（am）KaiAi你好。i、j命题2.25一元多面体f：A→B是有界的，如果它作为线性映射是有界的。较小的K定义了f上的一个范数，当它的范数小于1时，f是压缩的定义2.26多线性映射f：A1，. A m→B1，.，赋范向量空间（Ai，−Ai）和（Bj，−Bj）i之间的B n不是r活动的，如果ai∈Ai，j∈Bj，（1，.，n）f（a1......这是什么？am）aiAi jBji、j定义2.27有多个类别：• Banach空间的Ban与有界多线性映射• 有限维Banach空间的FBan与有界多线性映射• Banach空间的Ban1与压缩多线性映射• 有限维Banach空间的FBan1与压缩多线性映射对于任何这些多范畴中的对象，它们都需要同构为向量空间。（A，<$−<$ ） 和 （ A ， <$− <$J ） 在 Ban 和 FBan 中 同 构 ， 如 果 <$K ， KJ， <$a∈A ，K<$a<$≤ <$a <$J≤KJ <$a <$. 这种规范被称为等价规范。两个Banach空间在Ban1和FBan1中同构，如果它们的范数相等。特别地，这意味着FBan不是一个有趣的多范畴，因为给定的有限维向量空间上的所有范数都是等价的。命题2.28 FBan等同于FVect。另一方面，FBan1是一个非紧可表示的多范畴，它不是来自一个紧闭范畴。 它是Barr的原始论文[ 1 ]中描述的非自治范畴的例子之一。 这一点可以用一个特征来证明。 当A → A的正则映射A → A是同构时，把A-自治范畴看作是对称monoidal闭范畴.特别是，从未讨论过标准杆的诱导范数。我们在文献中没有找到任何将它与Banach空间理论中著名的内射范数联系起来的定义2.29设（A，<$− <$A）和（B，<$− <$B）是两个Banach空间。投射范数A<$B和内射范数A B是向量空间A<$B上由以下公式定义的范数u我|(ϕ ⊗ ψ)(u)|N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）2939Σǁ ǁ ǁǁ ǁǁ ǁ ǁ ǁǁ ǁǁ∞F已知这些范数是可以放在张量上定义2.30对于Banach空间（A，−A）和（B，−B），AB上的范数−是交叉范数，如果a，b∈A×B，ab≤aAbB，并且a，b∈AB，J≤AB，其中−j是对偶范数。注2.31这相当于要求定义中的等式。 可以在[22]中找到证据。命题2.32A范数是交叉范数，它使A，B→A<$B和A<$B→A，B收缩。内射范数和投射范数是交叉范数。内射和投射交叉范数的以下性质使我们认为内射交叉范数是解释PAR的潜在候选者，这也是我们研究第3节中发展的多范畴双纤维化概念的最初动机之一。命题2.33设−是交叉范数，则对任意u∈A <$B，我们有u定理2.34 FBan 1是一个具有张量、对偶和对偶的可表示多范畴。备注2.35FBan 1不仅仅是一个经典的MLL模型，它还是一个经典的MALL模型。加法连接词由向量空间A<$B给出，范数为（a，b）1：= a A+b B和（a，b）：= max（a A，b B）。 这些我范数是p-范数中的极值。3多范畴的双纤维化在这一节中，我们引入了多范畴的双纤维化的概念，并证明了一个多范畴是一个可表示的多范畴，如果它是在上双纤维化的。 我们发现从类型精化系统的研究中采用一些术语和标记惯例开始是方便的[20，21]。3.1定义定义3.1多加细系统被定义为多范畴p：E → B的（严格）函子。明确地说，p将对象R∈ E发送到对象p（R）∈ B和多边形映射：R1，.，R m→S1，.，S nin E topolymapsp（f）：p（R1），.，p（Rm）→p（S1），.，p（Sn）在B中，以这样的方式，身份和组成严格保持。我们写R<$A（读作“R refines A“）来表示p（R）= A，并以明显的方式将其扩展到对象列表，写R <$I r来表示R <$= R 1，.，R n和r=A1，.，A nfor someR1иA1，.，R nиA n.最后，我们写：=，以表明是E中的一个多面体映射→，使得p（）= f，具有隐含的约束f：Γ→ Δ，其中τ i为Γ， τi为 Δ。40N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）29FFRψϕ一GFξ\ψgAfFGbfFGG⇒⇒⇒⇒⇒G注3.2我们将垂直绘制聚合物加固系统。上图位于E中，下图位于B中，对象和多边形贴图直接位于其图像上方，例如。组合物的保存通过以下方式给出2011年1月1日萨哈吉·E2012年2月2日ΓJ1Δ1τΔJBΓJ2Δ2定义3.3将p：E → B固定为一个多边形加细系统，将p：R 1，R，R 2 = A固定为E中的一个多边形映射，其中R为A。是在R的in-carriage（相对于p），写作1，R，G如果对于任何多边形贴图，则为：gAf 101， 102， 102，满足通常的平面性条件是，对于每个i= 1， 2，一个唯一的polymap<$\<$：<$i=<$i <$1，R，<$i2，使得<$i =<$i <$R（<$\<$i）.对偶地，：= 1，S，2，其中S 我B，是out-carbohydrate在S，写：F=fgBf101， 102， 102，满足平面性条件是，如果i=或i=，则存在唯一的多边形映射/：1，S，下图以图形方式总结了这些定义：外车Π1Σ1Π1我的宝贝Π2 Σ2 Π2Σ1（†）Σ2pΓ1Δ1Γ1Δ1Γ Δ Γ ΔBΓ2 Δ2 Γ2 Δ2命题3.4在这个意义上，如果π：Π1，R，Π2=ππ1，S，π2且π：ΠJ1，S，ΠJ2=ππJ，则πSπ：ΠJ1，Π1，R，Π2，ξϕ中文（简体）FN. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）2941ΠJ2=πgfgBf42N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）29⇒⇒◦⇒⇒2011年，2012年，2012年。同样地， 在这个意义上，如果不存在：=GFJ1，T，bf1，定义3.5一个多约束系统p：E → B称为拉纤维化，如果对B中的任意f：Γ1，A，Γ2→ Δ和任意f： Γ1， A，Γ2→Δ，有一个非目标拉力[f]（f12;pull[f]（pull12;F- 是的“p”是一个“push-fibration”，如果任意f：Γ→Δ 1，B，B中的Δ 2，以及任意f<$iΓ，f <$1 <$Δ 1，和f <$2 <$Δ2，存在一个物体推力f<$f <$（f <$; f <$12）иB与一个外笛卡尔多边形映射 =最后，p被称为双振动，如果它是两个一个拉纤维和一个推纤维。注3.6当沿着一个只有一个输入的映射f：A→ Δ拉动时，我们将写pull[f]（n）作为pull[f]（;n）的简写。 类似地，当沿着映射f：Γ →A推动时，我们将写pushf（Γ）为pushf（Γ;）。3.2作为多范畴的n-自治范畴比较图（†）和图（X1），下列陈述是不言而喻的.命题3.7设P是一个多范畴。一个多面体u：Γ → Δ 1，A，Δ 2（分别为u：r 1，A，r2→ Δ）是外泛的（分别为in-universal）在Ai中，它是out-carriage（resp.（in-carbohydrate）关于唯一函子P →进入终结多范畴。命题3.8 P是一个可表示的多范畴，其中P →是多范畴的双纤维化。然后，我们导出下面的定理作为定理2.15和Cockett和Seely定理3.9在终结多范畴上，平面双自治范畴与双振动之间存在等价性。这种对应可以通过考虑对称双映射，即对称多加细系统（=严格保持恒等式、合成和对称作用的对称多范畴的函子），以一种直接的方式扩展到普通（对称）双自治范畴的情况，我们还期望这个结果可以更精确地表述为2-范畴的等价，但我们将其留给未来的工作。定理3.9的一个应用是，它提供了一种分解范畴上的一个非自治结构的方法，使用了关于Carnival多项式映射的基本事实。FN. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）2943G命题3.10对于p：P → E和q：E → B多加细系统，且n：n 1，R，n 2 = n注3.11类似地，在q-出-carriage多形映射上的p-出-carriage多形映射是（q<$p）-出-carriage。命题3.12设p：E → B是一个多重加细系统，并假设B是可表示的。 如果E具有所有入泛多边形的入卡里提升和所有出泛多边形的出卡里提升，则E是可表示的多边形范畴。证据 根据3.7和3.10的提议。Q3.3附加示例例3.13设E和B是普通范畴，被认为是退化的多范畴，只有一元共一元映射（即，元和余元1的多项映射），且设p：E → B是普通（严格）函子。则p是拉纤维化、推纤维化或双纤维化，只是在它是普通（Grothendieck）纤维化、操作纤维化或双纤维化的情况下。类似地，如果E和B是被认为是只有共一元映射的多范畴的多范畴，那么p是一个推纤维化，以防它是Hermida意义上的多范畴的协变纤维化[11]，更一般地，拉回和推进的多范畴概念与[12，18]中描述的多范畴概念一致。例3.14从点（小）范畴的范畴到（小）范畴的范畴的遗忘函子Cat → Cat是2-范畴的一个运算。（A，A）沿F：A → B的前推为（B，F（A））。 类似地，点映射的遗忘函子Adj→Adj是2-范畴的双纤维化。在这里，指向范畴（A，A）和（B，B）之间的指向附连由附连FEG：A → B和B -中的态射f：F（A）→B或等价地由A中的态射g：A→G（B）组成。前推由F的图像给出，而拉回由G的图像给出。在研究多范畴Grothendieck对应时，我们将定义多变量伴随MAdj的2-多范畴。它也有一个尖的变体MAdj。导出的遗忘函子是2-多范畴的双纤维化。3.4Banach空间我们将使用命题3.10来导出在命题2.5中定义的多范畴FBan 1的可表示性。为了做到这一点，我们考虑遗忘函子FBan1→FVect。我们要对允许Carrierliftings的多边形贴图进行优化。由于篇幅所限，本文将省略这些证明。44N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）29∀ ∀}我1Σ我 Jǁ ǁ定义3.15给定f：A1，.，A m→B1，.，Bn和范数<$− <$Ai，<$− <$Bj对于所有i/=k和所有j，我们定义一个函数<$−<$f：Ak→K，由<$x<$f：=supa，n=0|(ϕ1,.. .，n）f（a1，.，x，...，（am）|ai命题3.16 −f是A k上的。我们想把它作为范数的多边形映射定义3.17f在A k-或A k-内射-中是内射的，如果（a i，f（a1，...，x，...，am）=0)x= 0定义3.18f的Ak-核是集合KerAk（f）：={x∈一个k|f（a1，.，x，...， a m）= 0 a i}。f的Ak-核构成一个向量空间. f是Ak-内射的，如果它的Ak-核是平凡的. 进一步我们有Ker Ak（f）={x ∈ A k|（2001年，...，n）f（a1，.，x，...，a m）=0 a i j乘以j的线性。J注3.19一个多线性映射f：A→B是A-内射的，如果它作为线性映射是内射的.命题3.20对于f，<$− <$Ai和<$− <$Bj，<$− <$f是范数i <$f是A k-内射。值得注意的是，这只依赖于f，而不依赖于范数的任何性质。命题3.21对于fAk-内射和范数<$− <$Ai，<$− <$Bj，范数<$− <$f使f收缩。这个标准定义了Ban1，FBan1中的回调。命题3.22给定B-内射多线性映射g：Γj1，A， Γj2→ ΔJ，其列表rJi=AJi，1，.， AJi，m′和ΔJ=B1J，.，BNJ 我们确定范数族<$−<$r′i=（<$− <$A′i，j）且− JΔ =（−Bi′）。 然后拉回由pull [g]（（Γ J1，− Γ′1）（Γ J2，−Γ′2）;（Δ，−Δ））=（A，−g）给出。所以我们有任何多线性映射的内提升，它在所考虑的输入中是单射的。内射性条件只需要使−f是范数，否则它仍然是范数，即，f≥0或所有x且f=0，但f=0并不意味着x= 0。推论3.23存在一个多范畴FBanps有限维完备的赋范向量空间和压缩多线性映射，它们带有一个被拉入的遗忘函子。现在我们要确定哪些多线性映射具有外提升。定义3.24对于f：Γ → Δ 1，A，Δ 2和范数族−Γ，−Δ1，−Δ2，我们定义一个函数− f：Bk→K<$其中K<$是f K的完备化，即，我们添加一个点在无限。 它由y f给出：=y=我INF（−→A1，i，idA，−→A2，i）f（−→ai）Σǁ−→ϕ1,iǁǁ−→ϕ2,iǁǁ−→aiǁ其中和是y的所有分解的总和。我我k，jN. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）2945我Σ−→−→−→ΣΣ∗我我我命题3.25−f是一个扩展d范数，即， 一个以K为单位的范数。定义3.26f：Γ→Δ1，A，Δ2是A-满射的，如果<$y∈A，<$−→<$1，i，− →<$2，i，−→ai，y=（<$1，i，id A，<$2，i）f（ai）。f的A-像是集合ImA（f）：={<$（−→<$1，i，idA，−→<$2，i）f（−→ai）}。命题3.27 Im A（f）构成一个向量空间。 f是A-满射i ∈ Im A（f）= A.注3.28一个线性映射是B-满射的，如果它是满射的。如果y∈B有x i使得y =f（x i），然后通过线性y =f（x i）。命题3.29对于f和范数族<$−<$r，<$− <$Δ，<$− <$Δ，<$− <$f是1 2范数i ∈f是A-满射。命题3.30对于fA-满射和范数族，−f使得f收缩的。这个范数定义了Ban1上的一个推进，FBan1。命题3.31对于f：Γ →Δ 1，A，Δ 2是A-满射多线性映射，在通常的范数族下，我们得到了前推函数f <$f <$（Γ; Δ 1Δ 2）=（A，<$− <$f）.因此，我们可以对在所考虑的输出中满射的任何多边形映射进行外提升。推论3.32 f. d的多范畴有FBan ex和FBan ex，ps。扩展1 1赋范/赋范向量空间和具有遗忘函子的多线性映射，分别是双胎和双胎当考虑FBan1时，即使没有半/扩展范数，仍然有足够的carbohydrate polymaps来提升FVect的可表示性。命 题 3.33 在 FVect 中 ， 泛 多 线 性 映 射 m A ， B ： A ， B → A <$B ， w A ， B ：A<$B→A，B和rcap A：A<$，A→ ·是A<$B-满射，A<$B-内射和A-内射。推论3.34 FBan 1是可表示的。注3.35我们利用范数得到投射范数、内射范数和对偶范数上图：−AB=−m甲乙丙，−A`B= −wA，B 和−A= −rcapA。的事实上，投射和内射的交叉范数是极值直接遵循的分解性质的carnival polymapsm A，B和w A，B。3.5弗罗贝纽斯幺半群定义3.36在多项式范畴P中，Frobenius幺半群是一个对象A，它具有唯一的多映射（m，n）A：Am→An，对于每个m，n∈N，使得（1，1）A=idA，并且这些多映射在复合下是稳定的。命题3.37 Equivalent a Frobenius么半群在P中是函子F：→ P。46N. 布兰科，N.Zeilberger/电子笔记在理论计算机科学352（2020）29`FBs（f）JJs（f）s（f）证据 Frobenius么半群对应于F（n），而多边形映射（m，n）F（n）对应于F（（m，n））. 多边形映射所需要的性质正是F的函子性。Q注3.38对于P可表示为φ=，这归结为在幺半群范畴中Frobenius幺半群定义3.39给定一个多加细系统p：E → B和B中的Frobenius么半群A，p在A上的多纤维，记为p−1（A）是E的子范畴，其对象和多映射由p发送到A和（m，n）A。命题3.40p−1（A）等价于以下回调：p−1（A）！pABA.其中A： → B是与对象命题3.41给定一个多重加细系统p：E → B和一个函子s：B J→ B，设E × B B J为回调。E ×B BJ