高维概率基础与数据科学应用

"High-Dimensional Probability: An Introduction with Applications in Data Science" 是一本由Roman Vershynin编写的书籍，专注于高维概率理论及其在数据科学中的应用。这本书主要探讨了随机变量、独立随机变量的集中不等式、高维随机向量以及它们在数据科学中的实际应用。 在书中，作者首先介绍了概率论的基础知识，包括随机变量的基本量（如期望、方差和分布函数），以及一些经典的不等式，如大数定律和中心极限定理。这些基础概念是理解高维概率的前提。 第二部分详细讨论了独立随机变量的集中不等式，这是概率论中的核心工具。 Hoeffding’s不等式和Chernoff’s不等式提供了关于随机变量和随机向量和的集中性质的深刻见解。通过这些不等式，作者展示了如何分析随机图的度分布。此外，书中还介绍了次高斯分布和次指数分布，以及相关的不等式，如一般化的Hoeffding’s和Khintchine’s不等式，Bernstein’s不等式，这些都是处理随机变量集中现象的关键工具。 第三部分转向高维空间中的随机向量，重点讨论了向量范数的集中性、协方差矩阵与主成分分析（PCA）的关系，以及各种高维分布的实例。作者还引入了次高斯分布在更高维度的概念，并应用到Grothendieck’s不等式和半定规划等问题上，这些都是数据科学中处理高维数据时的重要数学工具。 这本书对于数据科学家和机器学习研究人员尤其有价值，因为它不仅提供了概率论的坚实基础，还展示了如何将这些理论应用于解决实际问题，如数据分析、图论和优化问题。通过深入理解高维概率，读者能够更好地理解和处理大数据集中的复杂统计模式。