范畴L-模糊拓扑空间中的(L，M)-DFTOP和相容反链L-双拓扑的研究

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，499埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章同构于（L，M）-DFTOP的范畴A.A. 斋月，戒酒会。Abd El-latifb，a埃及Beni-suef大学理学院数学系b Balgarn，P.O.，科学和艺术学院数学系。Box 60，Sabt Al-Alaya 61985，Bisha University，Saudi Arabia接收日期2013年9月8日;修订日期2015年2月8日;接受日期2015年2月21日2015年5月8日在线发布引入了（L，M）-双模糊拟重合邻域系的概念，并在范畴方面研究了（L，M）-双模糊拟重合邻域空间与（L，M）-双模糊拓扑空间之间的关系。同时，我们给出了（L，M）-DFTOP的一个刻划，称之为相容反链L-双拓扑，并考虑了它们之间的范畴联系。最后，为了更好地理解（L，M）-DFTOP，介绍了几个分类.2010年数学学科分类： 03E72; 18B30; 54A40© 2015埃及数学学会。 Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 引言和附录Kubiak[1]和Šostak[2]引入了（L-）fuzzy拓扑空间的概念，作为L-拓扑空间（最初由Chang[3]和Goguen[4]称为（L-）fuzzy拓扑空间）的推广。它是L-模糊集的开度.文[5直觉模糊集的概念是由Atanassov[9，10]引入的，它是模糊集的推广。近日，∗通讯作者。 传真：+966 7630225/222。电子邮件地址：ahmeda73@yahoo.com（A.A. Abd El-latif）。同行评审由埃及数学学会负责和他的同事[11，12]利用直觉模糊集引入了直觉模糊拓扑空间的概念Samanta和Mondal[13，14]引入了直觉开度的概念，作为直觉模糊拓扑空间[12]和L-fuzzy拓扑空间的推广.在“直觉主义”的名义下工作2005年，Garcia和Rodabaugh很快就消除了这些疑虑[15]。他们证明了这个术语在数学和应用中是不合适的。他们的结论是，他们以“双重”的名义工作。在这个名字下，已经推出了许多作品[16Pu和Liu在[20]中引入的Q-邻域系统推广了经典的邻域系统理论.从此，Q-邻域系在L-拓扑中起了重要作用.后来，Šostak[21，22]在I-fuzzy空间中引入了模糊点的模糊Q-邻域系1110- 256 X © 2015埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.这是一篇CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.02.004关键词（L，M）-双拓扑拟重合邻域空间;模糊模糊neigh-同构范畴制作和主办：Elsevier500A.A. Ramadan，A.A.阿卜杜=∈ ∈∈∧∈∈∧∈∈∈不Q Q= {Q Q∈}=Q QQ∈∈=/==∈∈联系我们∈ ∈ ∈∈{∈}|∈={=}=QQ不Xt不拓扑空间是Q-邻域系统的扩张。此外，文献[22]还讨论了I-模 糊拓 扑 空间 与其 Q- 邻 域系 之 间的 关系 . 然 而， 正 如Demirci[23]所指出的，Šostak在L[0，1]的情形下，Fang[24]独立地引入了I-模糊拟重合邻域系.在完全分配的DeMorgan代数[25]的情形下，Fang[26]考虑了L-fuzzy拓扑的L-fuzzy拟重合邻域系，并建立了它们之间在范畴论意义下的关系。邻域系统通常被作为一种工具来使用，但我们也可以把它看作一个独立的结构，并找出这个独立结构与其他结构之间的关系。本文引入了（L，M）-双模糊的概念拟重合邻域系统的拓扑性质，构造了（L，M）-双模糊拟重合邻域空间及其连续映射的范畴，记为（L，M）-DFQN，它包含了拓扑（L，M）-双模糊拟重合邻域空间及其连续映射的范畴，记为（L，M）-DFQN.证明了范畴（L，M）-DFQN与范畴（L，M）-DTOP同构，（L，M）-DPrQN是SET上的拓扑范畴.最后，我们介绍了几个类别，可以用来更好地理解（L，M）-DFTOP。设L和M是模糊格，即，如果没有另外说明，则具有反序对合r的完全分配格。设0L（ 1L）和0M（ 1M）是最小（最大）元素，分别为L和M设a，b是完备格M中的元素.称元素a∈M互素，若a≤b<$c道理啊称对（δ，δ<$）为X上的L-双拓扑，如果δ和δ<$是X上的L-拓扑且δ<$δ <$.三重态（X，δ，δπ）称为L-双拓扑空间.设（X，δ1，δ1θ）和（Y，δ2，δ2θ）是L-双拓扑空间s. 则apf：（X，δ1，δ2）→（Y，δ2，δ2）是连续的，如果frehv∈δ2（res p.νδ2π），f←（ν ）δ1（res p. f←（v ）δ1π）。下面的定义和结果将在续集命题1.1（[29]）。设M是一个完备格。以下条件是等效的：(i) M ia是完全分配的;(ii) M是具有足够余素元的分配连续格;(iii) M是一个分配的，M和Mop都是连续的。众所周知，连续格中的way-below关系和完全分配格中的wedge below关系都具有插值性质，因此，如果完全分配格M中的a b与a互质，则存在某个互质cI’这样，CB.完备格M上的路下面关系称为乘法的，如果b和一c表示aBc对于所有a，b，cM.下面的路，称完全分配格M上的一个点是局部乘法的，如果对每个互素ac（M），ab和ac表示aBc对于所有b，cM.显然，如果完全分配格上的way below关系是乘法的，那么它是局部乘法的[30]。定义1.2. 对于给定的非空集合X，X上的双重拟重合系统是（Q，Q∈）={（Qxt，Q∈xt）：这意味着a≤b或a≤c。M的所有互素的集合是de-记为c（ M）。注意，我们不把0M∈M看作一个余-X X满足以下条件：素数，a∈c（ M）当且仅当ar是素数。我们说a在b的下面（楔形下面），在符号上，aB（一个b）或ba（b d a），如果对于每个有向（任意）子-（Q1）Qxt<$Q<$xt;（Q2）λ∈Qxt，λ∈Q<$xt蕴涵xtqλ;(Q3) 当ν∈Qxt（r es p. 且λ≥ν，则设置DM，D≥b意味着a≤d，对某些d∈D。 如果a是λ∈Qxt不（res p. λ∈Q<$xt）。互质，我们有一个b当且仅当aB. 格M称为连续（完全分配），如果每个元素M是所有元素的上确界，这些元素都在它之下。设X是一个非空集。X上的所有L-模糊集的族记为LX.LX中最小的元素和最大的元素将分别用0X和1X表示。一个模糊点，记为 xt（xX，tc（ L）），是从X到L的一个L-模糊集，使得 xt（x） t0L，否则0L;所有模糊集点表示为Pt（ LX）。设xtPt（LX），λLX.我们说xt与λ拟重合，记为xt qλ[27]，如果t<$λr（x），其中λr（x）λ（ x）r.“非准”关系与“重合”读者应该注意到，Pt（ LX）不应与点的概念混淆。一个完整的晶格-斯通对偶中使用的载体集[28，Chap te r2]. 请注意，对于每个xt，Pt（LX），x→t表示集合νLX：xtqν，对于所有的λ，其中xtqλ，x→t λ表示集合νLX：ν λ和xtqν。设f：X Y是一个映射。然后，f的Zadeh像和原像算子被de-f→（λ）（y）λ（ x）：f（ x） y，f←（μ）μf，对于所有λ LX，μ LY，x X和y Y。集合上的LX是LX在有限交和任意并下闭的子集δ 集合上的L-拓扑总是在Chang-Goguens（Q4）λ，ν∈LX，若ν∈Qxt（res p. ν∈Q<$x）和λ∈Qxt（res p.λ∈< $xt）则λ<$v∈xt（res p. λv∈λxt）。（，n）（xt，nx）：xtPt（LX）是二重拟某些L-双拓扑的重合邻域系ogy onX当且仅当它满足：（Q5）<$λ∈Qx（resp. λ∈Q<$）有ν≤λ使得xtqν和ν∈Qys（res p. ν∈Qys）ysqν。一个三元组（X，Q，Q∈）称为双拟重合邻域空间.设f：（X，P，P_∞）→（Y，Q，Q_∞）是从一个双重拟重合邻域空间（X，P，P_∞）到另一个双重拟重合邻域空间的映射（Y，Q，Q）。f是连续的，若f∈Pt（LX），f←（λ）∈Pxt（resp. f←（λ）∈Pxt）（res p. λ∈Q<$f→（xt））。设DQN（LX）表示X上所有双拟重合邻域系的完备格。DQN（LX）中的元素一般对应于L-双X上的拓扑如果我们用L-DQN表示范畴，其中对象是三元组（X，，X），态射通常是连续映射，则对应关系可以重新表述为L-DQN与L-DTOP在范畴上术语.同构于（L，M）-DFTOP的501对任意{λ：i∈ <$}<$L，有<$XT（λ）.iii∈T T T T→DFT4（DFT4）和→→L∈⊆⊆∈=T T≥ TQ→Q（μ）。yqμsμ∈x|λt∨≤≥∈（）λ∈t∈∈→∈ ◦→不XtJ j∈J的映射，则存在QT（λ）=不不不ttXttxt定义1.3（[31]）。对（， 地图（Map） ，长度：LX M称为X上的（L，M）-双模糊拓扑，如果它满足以下条件：（DFT ~ 1）T（λ）≤（T∈（λ））r，对于每个λ∈LX，（DFT 2）T（0X）=T（ 1X）= 1M，T（0X）=T（ 1X）=0M，（DFT 3）T（λ1<$λ2）≥T（λ1）<$T（λ2）且T<$（λ1<$λ2）≤T<$（λ1）<$T<$（λ2），对任意λ1，λ2∈ LX.T（i∈<$λi）≥i∈<$T（λi）T（i∈<$λi）≤三元组（X，T，T）称为（L，M）-双模糊拓扑空间。如果（T1，T1<$）和（T2，T2<$）是X上的两个（L，M）-双模糊拓扑，我们称（T1，T1<$）比（T2，T2<$）细（或（T2，T2<$）比（T1，T1<$）粗），记为（T2，T2<$）≤（T1，T1<$）i <$T2（λ）≤T1（λ），T2<$（λ）≥T1<$（λ），对每个λ∈LX.设f：（X，T1，T1<$）→（Y，T2，T2<$）是（L，M）-双Fuzzy拓扑空间（X，T1，T1<$）与（Y，T2，T2<$）之间的映射.则称f是连续的，如果对每个μ∈LY，T2（μ）≤E中的箭头作为双态。这意味着，对于任何B-对象B，存在从B到A-对象A的A-反射（或A-反射双态射）r：B A，具有以下普适性质：对于任何态射f：BAr从B到某个A-对象Ar，存在唯一的A-态射fr：A→Ar使得fr<$r=f.关于范畴的未定义概念和完全分布概念，我们参考[7，29，32，34，35]。2. 范畴（L，M）-DFQN同构于（L，M）-DFTOP定义2.1. X上的（L，M）-双模糊拟重合邻域系（简称（ L ， M ） 定 义 为 m 个p=Qxt ， Q<$x 的 集 合 （ Q ， Q<$ ）={（Qxt，Q<$x）：xt∈Pt（LX）} ：LX→M使得<$λ，μ∈X，（DFQ_1）Q_x（λ）≤（Q_x（λ））_r。1（f ←（μ））和2<$（μ）1<$（f ←（μ））。因此，我们有范畴（L，M）-DFTOP，其中对象是（L，M）-双Fuzzy拓扑空间，态射是连续映射。定义1.4（[32]）。(1) A类被称为B类的一个子类，前提是满足以下条件：(a) Ob（A） Ob（B）;(b) 对于每个A，Ar Ob（A），homA（A，Ar）homB（A，Ar）;(c) 对于每个A-对象A，A上的B-恒等式是A-A上的同一性;(d) A中的合成律是B中的合成律对A的态射的限制。(2)A被称为B的完全子范畴，如果除了上述条件之外， 对于每个A，ArOb（A），homA（A，Ar）homB（A，Ar）.定义1.5（[32，33]）。(1) 一个范畴C称为SET上关于从C到SET的通常遗忘函子的拓扑范畴，如果它满足以下条件：(TC1)初始结构的存在性：对于任何集合X，（DFQ2）Qxt（1X）=1M，Qxt（0X）=0M，Qxt（1X）=0M和Q=xt（0 X）=1 M。（DFQ 3）Qxt（λ）/=0M，Qxt（λ）/=1M意味着xtqλ。（DFQ4）Qxt（λμ）=Qxt（λ）<$Qxt（μ）和Q<$xt（λμ）=Qxt（λ）Qxt（μ）。三元组（X，Q，Q）称为（L，M）-双模糊拟重合邻域空间（briefy，（L，M）-dfqn空间），它将被称为拓扑的，如果它满足此外，对所有x Pt LX，LX，（DFQ 5）Qxt（λ）=μ∈x→t|λysqμQys（μ），且Qxt（λ）=两个（L，M）-dfqn空间（X，P，P∈）和（Y，Q，Q∈）之间的连续映射是映射f：X→Y使得对每个xt∈Pt（LX）和ν∈LY，Q f（x ）t（v ）Pxt（f←（ν ）），和Q<$f（x）t（ν）Pxt（f←（v））. （L，M）-dfqn空间范畴及其连续性我们用（L，M）-DPrqnN表示（L，M）-DPrqn N，（ L ， M ） -DFqn 是 （ L ， M ） -DPrqnN 的 由 拓 扑（L，M）-DFqn备注2.2. 对所有的xt Pt（LX）和νLX，Qxt（ν）可以看作ν是xt的拟重合邻域的度，Qxt（ν）可以看作ν是xt的非拟重合邻域的度.设X是一个非空集，（T，T∈）是X上的一个（L，M）-双模糊拓扑. 定义QTx，QT：LX→M为：任何类J，和C-对象的族（（Xj，j）），以及家庭（F）：X→X）j∈J.{T（ν）：ν∈x→|λ}，如果 xqλXt0 ，如果xq/λ到源（fj：X（ Xj，j））对于一个C-对象（Y，η），映射g：（j，∈J ，这意味着M t→（X，X）是C-Yη）态射i ∈J，f∈ g：（Y，η）（X∈ j，n ∈j）是C-态射。QT（λ）=.{Tn（v）：v∈x→t|λ}， 如果 xtqλ(TC2)Fibre-smallness：对于任何集合X，X的C纤维，即，X上所有C-结构的类，记为C（X），是一个集合。(2) 设B是一个范畴，E是一类B-双态.B的一个全子范畴A称为B中的E-反射（或双反射），只要每个B-对象都有一个A-反射xt1M，如果 xtq/λ，对任意的t∈Pt（LX）和λ∈LX.然后我们有：反对意见2.3.集合f（QT，Q<$T<$）={（QTx，Q<$T<$）：xt∈Pt（LX）}是X上的一个拓扑（L，M）-dfqn系，称为从（T，T<$）导出的拓扑（L，M）-dfqn系.JX上唯一的C-结构的初始502A.A. Ramadan，A.A.阿卜杜∈∧XtQTμ ssxtqλ⎨Q（λ）， 如果λ/=0XxtT T T TT T→T TQ<$T<$（λ）。 因此，对于每个λ，μ∈L X 我们有：QT（λ<$μ）≤2f xXtXtXtXtXt1XtXtXtXt不不sμSXt不XtxtqλXtQ→y q yQμ∈x t |λs μsxtXtQ→证据 （DFQ 1）∗XtT1<$（f←（μ））。 注意t，QTxt（μ）=ν∈x→t|μT（ν）和（DFQ4）：根据QTxt的定义不Q，我们有：如果∗QT（μ）=ν∈x→t|μT（v）. 因此：ν，λ∈LX，使得αtν≤λ，nQTx（ν）≤QTx（λ）且Q<$T（v）≥Q T（λ）<$Q T（μ）和Q<$T<$（λ <$μ）≥ Q <$T<$（λ）<$Q <$T <$（μ）。对XtXtXtXtXt（）tν∈f（→x）t|μf←（ν）∈x→t|f←（μ）另一方面，对于每一个αc（M），使得αtαDQTxt（λ）QT（μ），我们有αDQT（λ）和αDQT（μ）。 因此，≤T1（f<$（v））≤QT1（f<$（μ）），xtx tx tXf←（ν）∈x→t|f←（μ）λ1，μ1∈L 使得xtqλ1≤λ，α≤T（λ1）且xtqμ1≤μ，α≤和T（μ1）。故α≤T（λ1）<$T（μ1）≤T（λ1 <$μ1）。 显然，xtq（λ1<$μ1）≤λ<$μ。 然后，以Def-QTxt的初始化，α≤T（λ1<$μ1）≤QTxt（λ <$μ）。Hence，QT×t（λεT2型f（x）t（μ）= T2（ν）≥T2π（ν）μ）≥QT（λ）<$QT（μ）。尚待证明：Q<$T<$（λ<$μ）≤ν∈f（→x）t|μf←（ν）∈x→t|f←（μ）QTXt（λ）QTXt（μ）。 所以让βDQ<$T<$Xt（λ<$μ），β ∈ c（M）. 然后，≥T <$（f <$（v））≥ Q<$T1<$（f<$（μ））。存在ν∈LX使得xtqν≤ λ<$μ且β≤T<$（ν）.这意味着xtqν≤λ，β≤T（ν）和xtqν≤μ，β≤T（ν）。Q则β ≤ Q<$T<$（λ）且β ≤ Q <$T <$（μ）。 因此β ≤ Qf←（ν）∈x→t|f←（μ）QT（μ）. 因此，Q<$T<$（λ <$μ）≤ Q <$T<$（λ）<$Q <$T <$（μ）。由上述命题，我们得到了一个函子xtx t→xtxt从（L，M）-DFTOP到（L，M）-DFQN，它是ob-上的内射（DFQ5）μ∈xt|λ， we have（μ）≤yqQTy（μ）≤Q×T（μ）≤Q×T（λ）， 和T（μ）≥yqQyT（μ）≥QT（μ）≥Xt- 是的让 （Q，Q<$）= {（Qx，Q<$）：xt∈Pt（ LX）}be 拓扑Q<$T<$（λ）。因此，我们认为，QTxt（λ）=T（μ）≤QTys（μ）≤QTxt（λ），→→ysqμ（L，M）-dfqn系统 定义一对（TQ，T<$Q<$）映射TQ，TQ：LX→M为：QQxt（λ），如果 λ/=0X和μ∈xt|λμ∈xt|λTQ（λ）=100万美元，如果 λ=0X，100 M，如果 λ=0X.Q<$T<$（λ）=温度（μ）≥Q<$T<$（μ）≥Q <$T<$（λ）。然后我们有：Xtμ∈x→t |λ公司简介μ∈x→t |λysqμ2.6号提案(i) （TQ，T<$Q<$）是一个（L，M）-双模糊拓扑，这意味着s，QTxt（λ）=QT（μ）.μ∈x t |λs μs→yqQTy（μ）和Q<$T <$（λ）=称X上的（L，M）-双模糊拓扑为（Q，Q∈）的诱导（L，M）-双模糊拓扑。此外，如果（P，P<$）和（Q，Q<$）是X上确定相同的（L，M）-双模糊拓扑的两个拓扑（L，M）-dfqn系统，则（P，P<$）=（Q，Q<$）引理2.4.其中λ∈LX，T（λ）=xqλQTx（λ）且dT∈（λ）=.xtqλt tT（λ）。(ii) 如果映射f：（X，P，P<$）（Y，Q，Q<$）是连续映射在拓扑（L，M）-dfqn空间之间，则f是连续的，关于诱导（L，M）-双模糊拓扑的连续性2.5号提案证据哎呀。(i)如果（1，1<$）和（2，2<$）是X上的两个（L，M）-双模糊拓扑，它们决定同一个拓扑(i) （DFT 1）-（DFT 3）的性质很容易证明。（DFT 4）对于每个{μi：i∈N}<$LX，我们有：（L，M）-dfqn系统，则（T1，T1∞）=（T2，T2∞）.(ii) 假设 f：（X，1，1<$）（Y，2，2<$）是（L，M）-双Fuzzy拓扑空间之间的连续映射.不.μi=Qxt.μi为Qxt.μi则f：（X，QT1，Q）→（Y，QT2，Q）也是连续的。i∈Nxtq（i∈<$μi）i∈Ni∈<$xtqμii∈N证据关于诱导拓扑（L，M）-dfqn系统的性质.QT不Xt（μ）=T2（ν）T2（ν）≤不 （λ）=同构于（L，M）-DFTOP的503和Q.≥Qxt（μi）=TQ（μi），i∈ <$xtqμii∈<$- 是的Σ.Σ(i) 引理2.4。T∗μii∈N=Qxtxtq（i∈<$μi）μii∈N=i∈<$xtqμiQxtμii∈N(ii) 由于f：（X，T1，T）→（Y，T2，T）是连续的，则对于≤Q（μ）=T<$Q（μ）。每个μ∈LY1我们有，T2（μ）201 -02-2013张国荣（f←（μ））和T2≤（μ）xtii∈ <$xtqμi我i∈N504A.A. Ramadan，A.A.阿卜杜∈∧=∈QQ，Q，=双模糊拓扑然后，对于每个xt∈Pt（ LX），∈对于Q xt，存在{λj}j∈F1 与j∈F1fj<$（λj）≤λ，∈1∈2不JFJ（xt）XtJ不Xt⎭⎩J⎭JFJ（t）FJ（t）因此，（TQ，T<$Q<$）是一个（L，M）-双模糊拓扑。此外，假设（T，T）是相同的（L，M）-另一方面，设α c（M）使得αDQxt（λ）Q xt（μ）。 然后，αDQ xt（λ）和αDQ xt（μ）。 誓，λ∈LX，存在{μj}j∈F2 与j∈F2fj<$（μj）≤μ，这样α≤j FQ j→x （λj）且α≤j FQ j→x （μj），P（λ），（μ）=Q（μ）=T（μ）=Q （λ）=P公司简介μ∈x→t |λysqμμ∈x→t|λ公司简介μ∈x→t |λysqμ其中F1和F2是J的两个有限子集。设F=F1<$F2，和λj，j∈F1，j∈/F2ν j=<$μ j，j∈/F1，j∈F2Pxt（λ）=Pys（μ）=T（μ）=μ∈x→t|λysqμμ∈x→t|λQys（μ）=Qxt（λ）。<$$>λj<$μ j，j∈F1<$F2.所以F是J的有限子集，我们有：因此，（P，P）=（Q，Q）。λ∧μ≥fj<$（λj）<$fj<$（μj）(ii) 由于xt qf<$（μ）当且仅当f→（xt）f（ x）tqμ，μLX，以及不Y不不Y不Xj∈F1为 fj←（νj）j∈F2而α ≤Qj→（νj）。F（xt）. y∈Pt（L）：yqμ}<${f（x）∈Pt（L）：x∈Pt（L），j∈FJj∈ F且f（ x）tqμ}我们可以得到f：（X，Ous.P，TP）→（Y，TQ，TQ）继续-因此α≤Q xt（λ <$μ）。 根据α的任意性，我们具有，Qxt（λ<$μ）≥Qxt（λ）<$Qxt（μ）。 它仍然是为解决这一问题，Qxt（λμ）≤Qxt（λ）<$Qxt（μ）。所以，让β∈c（M）<$hthatβD<$xt（λ <$μ）. 然后，reex-下一个结果来自命题2.3、2.5和2.6。ists{λj}j∈F3，其中F3是一个有限的子集，Qj∈F3 fj<$（λj）≤ λ<$μ且β≤j∈F3Jfj→（xt）Q（λj）。定理2.7.（L，M）-DFQN与（L，M）-DFTOP同构。然后，j∈F3 fj←（λj）≤λ，β≤Qj∈F3Jfj→（xt）（λj），以及推论2.8。（L，M）-DFTOP 是 具体 对......（L，M）-DPrN.j∈F3 fj←（λj）≤μ，β≤j∈F3Jfj→（xt）（λj）。因此，在本发明中，定理2.9. （L，M）-DPrN是环上的拓扑范畴相对于通常的健忘函子的SET。证据根据定义1.5，我们需要检查纤维小的条件和初始结构的存在性。β≤Qxt（λ），β≤Qxt（μ）， 这 意味 塔塔β≤Q<$xt（λ）<$Q<$xt（μ）。由于β是任意的，Q_（？）xt（λ_（？）μ）≤Q_（？）xt（λ）<$Q_（？）xt（μ）。根据Qxt的定义，而Qxt我们有：Q x（f ←（λj））≥ Q →（λj），且Q<$（f ←（λj））≤类别. 纤维小的条件是平凡的。我们需要Jfj→（xt）（λj），对于每个λj∈L Xj.则fj：（X，Q，Q）→证明它满足初始结构的存在性。 让（X j，Q j，Q<$j）对每个j∈ J是连续的。{fj ：X→（Xj，Qj，Qj）}j∈J 是（L，M）-DPrN的来源，步骤2（初始V提升）：很容易证明（Q，Q）是初始的（Q，Q）={（Qxt，Qx）：Qxt，Qx：LX→M，xt∈Pt（ LX）}定义V形提升，即，对于（L，M）-DPrN-对象（Y，S，S），通过：xt∈Pt（ LXt t），<$λ∈LX，f：（Y，S，S<$）→（X，Q，Q<$）连续当且仅当⎧⎨JXj←中国fj<$f：（Y，S，S<$）→（Xj，Qj，Q<$j）是连续的，对于每个j∈J。Qxt（λ）=F∈Jw<$j∈FQfj→（xt）（λj）：λj∈L、j∈FFJ （λj）≤λ，步骤 3 （唯一） 初始 V形提升）： 假设 的 （X，P，P）是相对于源的另一个初始V形升力{fj：X→（Xj，Qj，Qj）}。令idX：（X，P，P）→和Q（λ）=Qj（λ）：λ∈LXj，f←（λ）≤λ。（X，Q，Q）.因为，（Xj∈JQ<$）是初始V形升降机且fj∈idX=fj对所有j∈J连续，则idX连续. 因此，Pxt（λ）≥Qxt（λ）且Pxt（λ）≤Qxt（λ），XtF∈ Jwj∈Ffj→（xt）JJJJj∈ F对于每个λ∈LX. 然后， （P，P<$）≥（Q，Q<$）. 使用类似的论点，我们有 （P，P<$）≤（Q，Q<$）.在那里-我们将证明（Q，Q_∞）是X上唯一的（L，M）-DPrn_N-结构，它是关于源的初始结构{fj：X→（Xj，Qj，Qj）}j∈J.步骤1（V-提升）：（Q，Q-）是X上的（L，M）-DPrN-结构，即，（Q，Q∈）是X上的（L，M）-dfqn系，且（Q，Q∈）使fj对任意j J都是连续的.（DFQ1）和（DFQ2）是平凡的，（DFQ3）是例程。不μ∈x→t|λysqμ同构于（L，M）-DFTOP的505XtXtPt（ LX），λ∈LX，QH（λ）=→yqνQys（ν）和Q<$x（λ）=不v∈x t|λ不不XtXtXtv∈x t|λysqνysHH（DFQ4）根据Qx和Q的定义，我们知道前，（P，P）（Q，Q）。因此，（L，M）-DPrN是SET上的一个拓扑范畴。Q定理2.10. （L，M）-DFQN在（L，M）-DPrqN中是双对偶的，因此（L，M）-DFQN是SET上关于通常的遗忘函子的拓扑范畴.证据设（X，Q，Q_n）是（L，M）-DFQN-空间，我们断言它的（L，M）-DFQN-反射被定义为通过idX：（X，Q，Q）→（X，QH，Q）其中，（QH，Q）={（QH，Q）：当ν ≤ λ时，有tQxt（ν）≤Qxt（λ）且Qxt（ν）≥Qxt（λ）.Q H，QH ：LX→M，xt∈Pt（LX）}，并且对于每个xt∈因此，对于每个λ，μ∈LX，我们有：Qx（λ <$μ）≤ Qx（λ）<$Qx（μ）和Q<$（λ <$μ）≥Q<$（λ）<$Q<$（μ）。xtxtHXtS不→Q（ν）。 然后，（X，Q H，QHH）是 拓扑504A.A. Ramadan，A.A.阿卜杜|≤∈∈→∈→→}联系我们xttxt→→（）={（）∈（）}xttxλ∈XL。然后我们有一个：（1）A =（）λ∈（α）（）}（λ）=Q. 由于Q c M：h x和∈∈tt不v∈x t|λsνS不不XtXt不(ii)我们需要证明，Qxt（λ）=μ∈x→t|λμ∈x t|λQxt（λ）≤μ ∈x→|λ不ysqνys∈Xt不Xt（L，M）-dfqn空间，也就是说，（X，Q H，QH）是（L，M）-TDFQN-λ∈g<$（α）（xt），则有Q<$xt（λ）αr.以来对象，idX：（X，Q，Q）→（X，QH，QH）是连续的，Qx（λ）=→yqQy（ν）， n个 福或 eachν∈x→t是（L，M）-DPrn N中的双态映射，对每个拓扑（L，M）-dfqn空间（Y，P，P_n）和每个映射f：X→Y， f：（X，Q，Q_n）→（Y，P，P_n）的连续性蕴涵着f：（X，Q_H，Q_H_n）→（Y，P，P_n）的连续性. Q3. 范畴DLaTQN同构于（L，M）-DFTOP在这一节中，我们从范畴的角度建立了（L，M）-双模糊拓扑中的（L，M）-双模糊拟重合邻域系与L-双拓扑中的拟重合邻域系之间的一种自然联系。注意，在本节中M定义3.1. 范畴DLaQN包含形式为（X，g，g）的 对 象 ，其中X是一个集合，g，g：c（M）→ DQN（LX）是一个phthatforeachαc（M），源id→X ：（X，g（α），g<$（α））（X，g（α），g<$（α））是初始的。DLaQN中的态射是映射f：（X，g，g<$）（Y，h，h<$）使得f：（X，g（α），g<$（α））（Y，h（α），h<$（α））对所有αc（M）连续。DLaTQN表示DLaQN的满子范畴，它由对象（X，g，g∈）构成，使得对每个α c（M），（g（α），g∈（α））是LX上某个L-双拓扑的双拟重合邻域系.提案3.2. 设（X，Q，Q_n）是（L，M）-dfqn空间. 定义g，g∈：c（M）→DQN（L X）：g（α）（x t）= {λ ∈LX：αQxt（λ）}和g<$（α）（xt）={λ∈LX：Q<$x（λ）αr}，λ，ysqνQys（ν ）α河然后，Qys（ν ）αr，福或 每个ysqν。这意味着xt qν λ和νg<$（α）（ys），对于每个ysqν。(iii) 很清楚。Q利用上述命题，我们得到了一个从（L，M）-DPrN到DLaQN的函子，这个函子将由填充（DFQ 5）的对象组成的（L，M）-DPrN的子范畴映射到DLaTQN中.相反，给定一个对象（X，h，h）在DLaQN中，让我们定义Q， ，Q：x Pt LX所以 即， Qc M：hx和Q{αr∈c（ M）：λ∈h<$（α）（xt）}，对每个xt∈Pt（LX）和每个3.3号提案(i) （X，Q，Q∈）是（L，M）-dfqn空间;(ii)（X，Q，Q）是拓扑的，如果（X，h，h）是中的对象，DLaTQN;(iii) 如果映射f：（X，g，g）（Y，h，h）是连续的，则f：（X，P，P）（Y，Q，Q）也是连续的，其中P和Q（分别为P和Q）分别由g和h诱导而来。g和h）。对于每个xt∈Pt（LX）且每个α∈c（ M）不. 然后我们有：证据（DFQ 1）-（DFQ 3）很容易检查。(i) （X，g，g）是DLaQN中的对象;(ii) （X，g，g∈）是DLaTQN中的对象，如果（X，Q，Q∈）是拓扑（L，M）-dfqn空间;（DFQ 4）对于每个xt ∈ Pt（LX）和λ，μ ∈ LX，很容易证明 Qxt（λ <$μ）≤Qxt（λ ）<$Qxt（μ ）和Q<$xt （λ<$μ ）≥Q<$xt（λ）<$Q<$xt（μ）.所以还需要证明，Qx（λ<$μ）≥Qx（λ）<$Qx（μ）且Q<$（λ<$μ）≤Q<$（λ）<$(iii)如果映射f：（X，P，P）→（Y，Q，Q）是连续的，则Qtt t x Pt LXXt和iXXtk c Mf：（X，g，g<$）→（Y，h，h<$）是连续的，其中g和hxt（μ），对于每个t∈（ ）λ，μ ∈ . 设∈（）（分别）g和h）分别由P和Q诱导而成。 P和Q）。证据（i）它表明，对于每个x t Pt（LX）和每个α c（M），（g（α）（xt），g（α）（xt））满足定义1.2的（Q1）(Q1)–(Q3)（Q4）<$λ，ν∈LX，如果λ∈g（α）（ x），ν∈g（α）（ x），其中k Q xt（λ）<$Q xt（μ）。设互素β，γ∈c（M）使得：kβγQ xt（λ）<$Q xt（μ），通过的下关系式的插值性质。 那么γQ xt（λ）和γxt（μ） xt（λ）= {α∈（）λ∈（α）（t）}γ互质，存在α λ∈c（M）使得γ≤α λ且λ ∈ h（α λ）（xt）. 同样地，存在αμ∈c（ M），使得γ≤αμ，μ∈h（αμ）（ xt）.因此，βγ≤αλ<$αμ。因此，λ<$μ∈h（β）（xt），这意味着k≤Qxt（λ <$μ）.根据k的任意性，我们有：Q xt（λ <$μ）≥Q xt（λ）<$Q xt（μ）。现在，假设存在a∈c（ M）且λ，μ∈LX，则αQ xt（λ）和αQ xt（ν）。从M上的下式关系的局部乘 法 ， 我 们 有 αQ xt （ λ ） <$Q xt （ ν ） =Q xt （ λ<$ν）。则λ<$ν∈g（α）（ xt）. 此外，如果λ∈g<$（α ）（xt ）和ν∈g<$（α）（xt），nQxt（λ）αr和Qxt（ν）αr。因此，Qxt（λv）=这是一个测试，Q<$xt（λ <$μ）>a≥Q<$xt（λ）<$Q<$xt（μ）。TAKE一互质k∈c（M ）<$hthat，Q<$xt（λ <$μ）>a≥kQx<$t（λ）<$Q <$xt（μ）. nQxt（λ）k和Qxt（μ）k。因此λ∈h<$（kr）（ xt ） 和 μ ∈ h<$ （ kr ） （ x t ） 。 由定 义 1.2的 （ Q4 ） ，λ<$μ∈h<$（kr）（xt）。因此Q<$xt（λ<$μ）≤a。 这是一种修辞。nQxt（λμ）≤Q<$（λ）<$Q<$（ν）αr. 则λ<$v∈g<$（α）（x）.Q<$x（λ）<$Q<$x（μ）对于每个λ，μ∈LX.(Q5)定义1.2，对于每个xt∈Pt（ LX），并且每个且Qx（λ）=→yqμQy（μ），对于每个hxt∈Pt（LX），不SSα∈c（M）. 当λ∈g（α）（xt）时，有αQxt（λ）.由于Qxt（λ）=ν∈x→t|λysqνQys（ν），通过互素性λ∈LX。 一方面，Q xt（λ）≥→y qμQys（μ）和ysqμys（μ），一个相对的。另一方面，Qμ∈x t |λs对于α，re是某个ν∈x→|λhth atαQ（ν）.不假设ac（ M），其中αQ （λ）。由于Q（λ）={α∈αQys（v），对于每个 ysq v. 这意味着，(ii)这表明， （g（α）（ xt），g（α）（xt））满足ysqμQys（μ），然后，同构于（L，M）-DFTOP的505xt qν≤λ， ν∈g（α）（ys）， 为 每个 ysq v. 当c（ M）：λ∈h（α）（ xt）}，则存在某个β∈c（ M），使得αβ满足λ∈h（β）（ xt）。第152章：一个人的秘密506A.A. Ramadan，A.A.阿卜杜r∈h，则{α：λ∈h（α）（x）}K.因此那里存在一些Tν∈ν≤λt∈ ∈ν∈（α）（）ν（ν）≤αkssyqνks→→T TT≥T≤T∈T= T=T≥∈证明，Q<$（λ）≥（）（）→→Q（ν）. 假设X上的二重拓扑根据h T的定义，hT 上面我们ν∈x→t|λysqνQys（ν）. 采取 一 互质 k∈c（ M），使得即：ββ≥αββα对任意j∈J和λjk∈h T（βjk）（βjkα）。通过β{0X，1X}，且h（α）=β αh（β），h（1M）= { 0X，1X}. 一个更-ν≤λtν ν ∈（β）（s）sν≤ysqνys≤v∈x→t|λysqνysS≤不联系我们存在，使得x q和Hy对于所有Y Q。 因此，αβQ （v）因此，αQ（v）。因此y，Qxt（λ）≤ν∈x→t|λysqνQys（ν）. 主要是为了Xtv∈x t|λysysqν（Y，g（α），g<$（α））是连续的。L-AIDTOP的对象（X，h，h）称为相容反链L-双拓扑空间，（h，h）称为L-AIDTOP的相容反链rex是tsa∈c（M）且λ∈LX∈hthat，Q<$x（λ）≤a<知道（X，h，h）是L-AIDTOP的对象。∗Q<$xt（λ）k≤a<ν∈x→t|λysqνQys（ν）.由于Q<$xt（λ）k，αkc（M）<$hthatλh<$（αk）（xt）和αkrk. 根据定义1.2的（Q5），存在L X使得对于所有的y q，xq和h≠y。 这意味着，Q 。因此ν∈x→t|λysqνQ∈ys（ν））≤αkr≤a，是一种新的判定方法。因此电子邮件 *4.3号提案(i) 如果X上的两个（L，M）-双模糊拓扑确定L-AIDTOP中的同一个对象，则它们相等.(ii)如果映射f：（X，S，S）→（Y，T，T）是连续的，则Qxt（λ）≥ν∈x→t|λysqνQys（ν），<$λ∈ L.在两个（L，M）-双Fuzzy拓扑空间之间，则f：（X，h S，h<$S<$）→（Y，h T，h<$T<$）是连续的。(iii) 明显Q利用上述