制作和主办：ElsevierJournalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，361埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章用边界积分A.S. Gjam，H.A. Abdalam，A.F. Ghaleb*埃及吉萨开罗大学理学院数学系接收日期：2013年1月4日;修订日期：2013年4月16日;接受日期：2013年2013年5月31日在线提供本文提出了一种数值边界积分方法，用于求解均匀各向同性介质在混合边界条件下，在椭圆边界上的平面线弹性应力场方程组。应力规定在一半上在椭圆的另一半上给出位移该方法依赖于以前的边界积分法[1，2]中的分析工作。所考虑的混合边界条件的问题被替换为两个子问题的齐次边界条件，每种类型之一，有一个共同的解决方案。该方程被减少到一个系统的边界积分方程，然后以通常的方式离散化，在这个阶段的问题是减少到一个矩形线性代数方程组的解决方案。该方程组中的未知量是定义域内完全弹性解的四个调和函数的边界值，以及边界适当部分上的应力或位移的未知边界值。根据所得结果，推断出，边界的固定部分在两个分离点的每一个处都有一个奇点，被认为是对数型的。本文提出了一种奇异解的尝试形式，它可以直接从给定的边界条件用著名的边界坐标法计算整体的完整解。结果表明，这一补充大大减少了满足边界条件的一些区间不包含奇点的错误。对所得结果进行了讨论，并给出了未知函数的边界曲线，以及实际感兴趣的量的三维图使用的效率*通讯作者。联系电话：+20 1224097644。电子邮件地址：afghaleb@sci.cu.edu.eg（A.F. Ghaleb）。同行评审由埃及数学学会负责1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.04.009关键词弹性理论平面弹性椭圆域各向同性介质混合边界条件边界积分法362A.S. Gjam等人讨论了数值格式，其中涉及到计算近似解所需的边界节点数。数学潜规则分类：74B0574G7074S15？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍线性弹性理论的平面问题很久以前就受到了相当大的关注，因为它是对更现实的、有实际意义的三维问题的一种简化的替代。一个大类的二维问题已经解决了使用各种分析技术。由于在涉及任意边界形状或复杂边界条件的问题的理论研究中遇到越来越多的数学困难，在过去的几十年中，已经发展了许多纯数值技术，这些技术依赖于有限差分或有限单元技术。在这两种方法中，物体的自然边界通常由外部多边形形状代替，该外部多边形形状涉及多个角点，并且必须向由物体占据的区域添加或删除部分。这反过来又需要在人工边界上应用边界条件，这一事实给解带来了额外的不准确性。使误差最小化需要大量的计算时间。数值技术的一些缺点是克服了使用替代，半解析处理的基础上的边界积分公式的问题。 这种方法通常被归类为边界积分方法。它们的优点是通过在一个阶段只考虑未知函数的边界值来减少计算量，然后使用它们来批量找到完整的解决方案。在[3]和[4]中可以找到位势理论和弹性静力学中积分方程方法的广泛说明。Natr- Oshvili等人[5]简要回顾了应用于微极弹性理论的边界积分方法。Constanda[6]研究了第一类积分方程在平面弹性力学中的应用。Zhujuri和Zhu[7]提出了一种求解弹性静力学问题的无网格局部Petrov-Galerkin方法。Sladek等人[8]和Rui et al.[9]介绍了二维弹性动力问题的无网格边界积分方法。Elliotis等人[10]提出了一种边界积分方法来求解含裂纹奇异性的双调和方程。Li等人[11]提出了一种涉及裂纹奇异性的线性弹性静力学模型的数值解。具有混合边界条件的各向同性介质弹性力学平面问题的解是一项困难的工作。边界方法在提供这样的解时可能是有用的，特别是当域边界的几何形状不简单时。几篇论文处理这样的问题，无论是拉普拉斯什梅杰拉[12]以封闭形式给出了半平面在接触区内一种新的解法基于Radon变换的使用。Schiavone[13]给出了具有微观结构的平面应变弹性混合问题的积分解。Haller-Dintelman等人[14]考虑非均匀介质的三维椭圆模型问题，包括混合边界条件。赫尔辛[15]用积分方程方法研究了混合边界条件下的Laplace方程及其解。弹性的问题也被认为是。Lee等人[17，16]研究了混合边界条件下线性弹性静力学中角点和裂纹处的奇异解。得到了显式解。Khuri[18]给出了一种求椭圆型和双曲型混合线性方程适定边值问题的一般方法，推广了以往的方法。然后，这种方法被用来研究一类特殊的完全非线性混合型方程。Abou-Dina和Ghaleb[1，2]提出了一种方法来处理均匀各向同性介质占据单连通区域的静态平面应力弹性问题该方法依赖于双调和应力函数的两个调和函数和著名的积分表示的调和函数表示的实变量。这种方法被应用于一些只具有第一类边界条件或第二类边界条件的例子，但没有考虑混合条件的情况Constanda[19]讨论了Kupradze同一作者[20]解释了使用实变量的优点和方便性，因为它在处理不同形式的边界时具有普遍性，而不像基于使用复杂变量的方法，“在复杂变量中，必须为每个单独的本文提出一种半解析格式，用于求解以椭圆为界的均匀各向同性弹性体的平面边界的一部分受到给定的压力，边界的其余部分是固定的。混合边界条件的初始问题被两个齐次边界条件的子问题所代替，每种类型的一个，有一个共同的解。按照文[1]中提出的方法，这两个子问题的方程都化为一个边界积分方程组，然后用通常的方法将其离散化，在此阶段问题就化为一个矩形线性代数方程组的解。对所得结果进行了讨论，并给出了相应的图形.特别地，我们证明了切向应力分量在两个分离边界点处的奇异行为。本文提出了一种奇异解，并用边界配置法求出了整体解。三维一个平面线性弹性力学问题的解3632ð ÞCÞ ¼xxXY¼ΣþΣþ ð Þ¼ΣþΣð Þ提供了图。对所用方案的效率进行了讨论。所有数据均使用Mathematica 7.0软件编制。2. 问题表述和基本方程考虑一个无限长的圆柱体，其法向截面为椭圆形，材料为各向同性的均匀弹性材料.一其中f和w是两个调和函数，上标D.由于要使用边界积分表示，似乎从一开始就假设函数f和w及其共轭属于函数类C2（D）就足够了。 以下表示 因为机械位移部件可以容易地推断：使用正交笛卡尔坐标系，原点为E@U0 在椭圆的中心，x轴沿着椭圆的长轴，椭圆边界C的参数方程可以取为：1mu¼-@x和x<$acosmopolyhurt;y<$bsinohurt;06h 2p;21 h<2a和2b分别是大调和大调的长度E不1微米@U¼ -@y41-m/c：11h表示椭圆的短轴，而h表示椭圆上一般点对于尺寸分析pur-根据调和函数f、fc和w，应力和位移分量表示如下：第二个问题是，在这个问题上，我们的问题是什么？@2/@/c@2/c2周时特征长度，即a等于1，a=1。我们假设b=0.5。rxx¼x@y22@y y@y2 年2时;年12时设s是单位向量正切的正向关联，@2/@/@2/c2周时与C和n的单位向外垂直于C在任何arbi-ryy¼x@x22@xy@x2@x2;13trary point. 人@2/@2/c2周时x_y_yxrxy1/4-x@x@y-y@x@y-@x@y=14英寸s<$xi<$xj;n<$xi-xj：120本文给出了弹性力学线性理论的一般方程和E@/@/c@w均质和各向同性材料是公认的，1mu/4mm/-x@x-y@x-@x ; 1 m u/4 m/ - x @x- @ x ; 1m/5m可以在标准参考文献中找到接下来，我们将引用[1]中提出的这些方程，无需证明，在整个文本中使用。在没有体积力的情况下，平衡方程自动满足，如果E1微米@/t1/4m/-x@y@/c— y@y@w— @y ：1600相同的非零应力分量通过应力函数U由以下关系式3. 基本方程@2U@2U@2U在下文中，我们给出了边界积分表示-rxx¼@y2;ryy¼@x2;rxy¼-@x@y：103mm关于极坐标，应力分量为：本文介绍了基本方程和边界条件的概念我们遵循[1]的指导方针。1@U1@2U@2U1@U1@2U3.1. 调和函数rrr<$r@rr2@h2;rhh<$@r2;rrh<$r2@h-r@r@h：140在笛卡尔坐标系中，胡克rmE@u@mE@u;51mE@u@mE@m设fC2D是关于D的调和函数.我们在D中的任意场点（x，y）处使用众所周知的f的积分表示，根据函数f及其复共轭fc的边界值，其形式为：fx;y1If's@lnRfc's@lnR's;y172019 -01-2200：00：00@x轴@y轴2016年1月1日;2016年6月2ps@n′@的rE@u@m;721m@y@x其中u和v是沿轴的位移分量，其中，R是D中的点（x，y）与S上的当前积分点（x（s′），y（s′））。共轭函数的表示为：fcx;y1Ifcs@lnR-fs@lnRds：18E和m分别是杨氏对于所考虑的弹性介质。2ps@n′@s'给出了方程组解的相容性条件。（5）-谐波的积分表示（17）和（18）函数f和fc取代了通常的柯西-黎曼条件D2U0：8@f@fc@f@fc¼函数U求解Eq. （8）xxx xy ，@y1/4-@x：1019分U¼x/y/cw;9当点（x，y）趋向边界点（x（s），y（s））时关系式（17）产生364A.S. Gjam等人ð Þ ð ÞF@n′R.@的esps@n′þð Þ. - 是的 Σ¼ ¼¼C ccf s 1 I f s@InR fcs“@@”s在R区：200米或者用未知的调和函数xs/_s ys/_csw_sx_s/sy_s/ c s更换@lnR通过（17）（18）（19）（1其中H是lnR的复共轭，很容易看出，这些积分关系在变换下是不变从弧长S到任何其它合适参数的参数的形成此属性使方法更灵活。3.2. 解的唯一性条件在处理上面提到的两个基本问题之前，我们首先转向要满足的条件，以便以明确的方式确定未知的调和函数。这是至关重要的任何数值处理的问题，正确使用的解决算法。为了确定在整个求解过程中出现的任意积分常数的总和，我们将要求在边界点Q0（s= 0）处满足这些附加条件对整个问题没有物理含义：(1) 函数U及其一阶偏导数在Q0U@U0;@x@y或者，等价地，1/4-x_sYsy_sXs26和xs/_ cs-ys/ _sw_csy_s/s -x_s/c s1/4-y_sYs -x_sXs：273.4.弹性力学第二基本问题的边界条件在这个问题中，我们给出了区域D的边界S上的位移向量。设这个向量表示为ddxidy jdsdn n：将表达式（15）对边界S的限制乘以x_s，将表达式（16）对边界S的限制乘以y_s并相加，得到3- 4m-W_SE1类似地，如果将表达式（15）对边界S的限制乘以y_x_s_x，并且@U@U减法，得到U@s@n0;根据未知调和函数的边界值，给出x0/0y0/c0w0¼0;21x0/0y0/c_0w 0_x 0_/0y 0_/c0¼0;22 x 0/0-y0/0_w_0y0_/0-x0_/0 00：23(ii)表情的消失x0/0c-y0w0_/c 0¼ 0：24这最后一个附加条件的数额，以确定值的wc在Q0，这是选择简化的公式。3.3.弹性力学第一基本问题的边界条件在第一个基本问题中，我们给出了区域D的边界S上的力分布。让f<$fxify j<$f sfn n;表示边界单位长度上的外力。然后，在一般边界点Q处，rn<$f;或者，在组件中，rxxn xrxyn y<$f x和rxynxþryyny¼fy:ð25Þ边界点Q处的应力函数U。3-4m-w_csE1这最后两个关系可以方便地改写为：3- 4m-W_SE1/3mds和3- 4m-w_csE电话：+86-021- 8888888传真：+86-021-888888883.5. 弹性力学第三基本问题的边界条件这是一个具有混合边界条件的问题。为了明确起见，我们将把进一步的考虑限制在这样的情况，即边界的一半有一个规定的压力，而边界的另一半是固定的。这个问题将被两个子问题所代替，每个子问题都具有齐次边界条件。第一个子问题属于第一类。它@U@ss-x_sYsy_sXs;¼-y_sYs -x_sXs;@U@n涉及到给定的已知压力的同一一半，边界作为初始问题，另一半的应力未知。该应力分别通过其法向和切向分量表示，记为rn;一个平面线性弹性力学问题的解365Xen22XXXXXXRRhRHþrn-2Cnrn-1 An cosn-1h 3 n- n2 n2n2 2n2- n nr nh sinn-1hrn-1 Bn sinn-1h 3 n- n2 n2n n 22 n2- n nr nh cosn-1hrn-2Dnsinnhnn- n2n2n2-nn22n-n2nr nh cosnh;esXXXXXX..ΣX..ΣΣn-222 222第二个子问题属于第二种类型。它涉及到与初始边界相同的一半上的rs¼Nn1 rn-1 An余弦问题和另一半的未知位移这位移通过其法向和切向表示联合—1小时。-2 nn2-n2sinn-1h分量，分别表示为u;N Bn-1Bn中国¼在下文中，我们将应用这一思想来解决问题-椭圆的莱姆n1—1小时。-2 nn2-n-1-n-Rh3.6. 内点XN处调和函数的计算Hn1在确定了调和函数的边界值之后，—n n- nsin nhRh现在可以使用公式（17）和（18）来计算N这些函数在定义域内任何点（x，y）的值。n=2Dn.sinnh-2n-2 n2n r nhn-n2。n2-n为此，我们写道：R<$qxxs0yys02;n1Rhð39Þ@IncidentR@n¼n·rðlnRÞ@IncidentR@s1/4s·r/minR/min：ð32Þrxx¼Nn1nn-1rn-1-Ancosn-3h-Bnsinn我们也可以采取其他方式。事实上，如果我们根据一些适当选择的基写下计算中涉及的四个调和函数的展开式，那么我们就可以使用众所周知的边界配点法。这实际上是我们用来计算未知函数的方法，N— 3h2nrn-1Ancosn-1hBnsinnn1XN-1小时n1圆域。四个基本谐波函数的极谐波展开式如下：×辛硫磷-2，40，N/¼n1XNw¼n1nnNn1XNn1rnAnsinnh-Bn cosnh;33rnEnsinnh-Dn cosnh;34公司简介Nn1nn-1n-1XNn1ðAncosðn-3ÞhþBnsinðn-3ÞhÞ而应力函数是U¼x/Y/C，宽度为35毫米并且实际感兴趣的量是：Nnn1N N-20000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002lu¼XrnAncosnhBnsinnh-XnrnAncosnn- 2h和n1N2017年12月22日-n1nrn-1 En cosn-1h DnNrn n1rn-1罪恶，罪过1hB cosnn1×辛硫磷xy¼ð-Þn1XNnð - Þþ nðN2lv¼Nnh-nrn- An sinn-2h— 1小时后，n1nn-1rn-2-Ensinn-2hDnn1n1XN×coswyn-2小时：442小时在通常情况下，þBncosð n-2ÞhÞ-n1nrn-1-Ensinn-1hDn通过考虑边界的划分。结果，实际边界被由以下形成的轮廓所取代：×coswyn-1小时：137分钟在物体内部或边界上具有单位法线（nx，ny）的任何给定面积单元上的法向和切向应力的方程由以下公式给出虚线。微分和积分方程，从而减少到一个矩形系统的线性代数方程组，解决了最小二乘法。离散方程组解的收敛性NRhn1对初始问题的解决方案进行了讨论-其中[20]。在这里，我们只注意到公式中可去奇点的存在 积分表示 的XN。.ΣΣRhn1N布雷尔C ncos nhn- nnn-nn-h 2n1调和函数这些都是以[2]中解释的方式处理的。另外，对于未知的调和函数的切向导数也必须仔细计算因为它们可能是错误的主要来源我们计算过XN。 .ΣΣRhn1ð38Þ这些导数使用31个点。nn-1 rn-2- En cosn-2h Dnnrn-1 An cosmosn-1h Bn sinmosn-1hþ2rn¼þþΣ366A.S. Gjam等人0图1220个节点的基本调和函数的边界值图2220个节点的法向和切向力和位移分量的边界值4. 数值结果及讨论作用在边界一半上的力是强度为f的压力，由下式给出：f¼ -psinh6;ph62p：43<另一半的边界是完全固定的：u 0;0h6p：444<为了确定性，我们取p0=1。上述压力选择的动机是使压力分布在其间隔的两端足够平滑地趋于零一个平面线性弹性力学问题的解36722-一个rcosh-a-1。rcosha位移分量向边界分离点迅速收敛到零然而，在计算这些奇异点附近的切向应力分量时出现了扰动增加节点数不能改善这种情况，因此表明一个奇异的行为。为了证明奇异性的性质在每个分离点使用对数拟合切向应力分量的曲线。 这在图2中示出（参见图2）。3 ）。图3应力函数的边界值图4奇点。的定义，以减少任何潜在的冲突与边界条件占主导地位的另一半的边界（零位移）。对上述边界积分方程进行数值求解，得到了的 调和函数 /;/c;w;wc;r~n;r~s;u~n;u~s，并相应地得到边界上的应力函数U。在这程序中，重要的是指定节点在边界上散布的规则等距节点是一种变体，节点向奇点的集中对于目前的情况，边界是离散化的，如前所述，通过放置多个关于角度h均匀分布的节点，需要220个边界节点，以获得当前的重新，5. 关于奇异解基于上述数值实验的结果，我们提出了一个在分离点处具有边界奇点的函数ws，并将其加到函数w上，以使函数rs在奇点（±a，0）处具有所需的对数行为. 有人提议设立Abou-Dina和Ghaleb[21]关于矩形区域上Laplace方程的某些边值问题的解。在这里，它有一个有点不同的形状。为了得到切向应力分量所需的奇异特性，需要一个z2型测井曲线的解析函数z被添加到应力函数，其中z表示复变元。图4示出了函数ws的奇点的位置，其中，以使用了奇异点正确选择方向为了得到好的结果，在奇点处的极轴是必要的。函数ws具有以下形式：1ws¼2p½q1prosin2h1lnq1prosh1cos2h1prosh2prossin2h2lnq2prosh2×cos 2h2];其中q1¼pr2-2arcoshha2;q2¼pr2pr 2arcoshhh ha2;结果。 结果如图所示。1.一、作为数值实验，我们考虑了h1¼tan-罗信华;h2¼tan：-罗信华并发现在边界分离点处的基调和函数曲线上出现弱间断。对于目前所考虑的椭圆情况，这些不连续性在图上没有明确的定义。图图5和图6示出了在添加奇异解之后椭圆内部的应力和位移分量的三维图。在边界的一半上，正应力分量的正弦形式是清楚的，而在边界的同一部分上的切向应力分量的正弦形式是清楚的。图5椭圆内的位移368A.S. Gjam等人图6椭圆内部的应力分量（按椭圆的长度）图7切向应力分量的边界值不带对数图8切向应力分量的边界值与对数对数行为作为参考，我们还绘制了一个代表椭圆横截面的曲面。切向应力分量的这种升高意味着线弹性模型将不能提供边界分离点附近问题的精确描述。更精确的研究需要考虑这些点周围的塑性变形区域。图图7和图8示出了在包括奇异解之后在边界区间3.17 6h 6 6.25上的切向应力分量的评估中发生的改进。该区间上的最大绝对误差从.3·10-2到。3·10-4。6. 结论本文研究了弹性力学平面理论中椭圆上具有混合边界条件的边值问题。边界的一半受到可变的压力，而另一半则完全固定。边界压力被选择为朝向分离点足够平滑地降低到零，以减少不存在解的可能性。为了得到边界上的解，用两个子问题代替原问题，每个子问题具有一类齐次边界条件，有一个公共解。边界上的计算使用仅涉及调和函数的已知边界积分技术进行，包括节点处的正则化和沿着边界的函数的导数的仔细计算。边界计算表明边界固定部分的切向应力分量具有对数特性。用配点法直接用规定的一个平面线性弹性力学问题的解369边界条件在求解由离散化产生的线性代数方程组时，我们使用了名为最小二乘法和QR-因子分解技术的软件包。两者都产生了相同的结果。每次，我们都验证了所获得的结果满足高精度的方程组。这类问题的边界积分方法内的数值处理需要相对大量的边界节点，在这些节点处要计算未知量。就目前的情况而言，可以达到220个点，但在整个边界上没有获得令人满意的结果。其原因是在边界条件的分离点处存在奇异边界点。分数的增加，一定程度上提高了结果的准确性。为了改进解，在解中加入了具有对数边界奇异性的奇异在不包括分离点的区间上满足边界条件的绝对误差可以从。3·10-2到。3·10-4。所获得的结果表明，需要引入域的可能的塑性行为的材料周围的两个边界分离点。未来的工作将涉及更复杂的边界形状和其他类型的混合边界条件。在每种情况下，将研究分离点附近溶液的行为。致谢作者谨向E教授表示深切的感谢。F.埃及开罗赫勒万大学科学院数学系的Henein教授提出了宝贵的建议和意见。特别感谢裁判。他们富有成果的评论非常感谢。引用[1] M.S. Abou-Dina，A.F.张文，张文，等.弹性力学平面理论的边界积分公式及其应用[J].应用数学学报，1999（1）：55-70.[2] M.S. Abou-Dina，A.F.张文，张文，张文，等.弹性力学平面理论的边界积分公式（计算方面）.应用数学学报，2003年第159期，第285-317页.[3] V.D. Kupradze，弹性理论中的势方法，Fizmatgiz，莫斯科，1963年。[4] M.A. Jaswon，G.T.张文，张文生[5] D.纳特罗什维利Stratis，S.张文龙，等离子体弹性理论中的边界积分方程方法，北京：机械工程出版社，1999. Comp.Appl. 数学234（2010）1622- 1630。[6] C.康斯坦达，第一类平面弹性积分方程，第四版。应用数学、机械、固体1（1995）251-260。[7] S.N. T.L.朱，无网格局部Petrov-Galerkin（MLPG）方法求解弹性静力学问题，J。25（2002）169-179。[8] J. Sladek，V. Sladek，R.范克尔，无网格局部边界积分方程法求解二维弹性动力学问题，国际。J. Numer。MethodsEng.57（2003）235-249.[9] Z. Rui，H.金湖，澳-地陶，无网格局部边界积分方程法求解 二 维 弹 性 动 力 学 问 题 ， 工 程 分 析 。 绑 定 Elem.30（2006）391-398。[10] M. Elliotis，G.乔治乌角张文，等.含裂纹奇异性双调和问题的奇异函数边界积分方法. Anal. 绑定Elem 31（2007）209-215。[11] 李子才，朱柏春，杨立吉，李明功，角点奇异性和裂纹奇异性的线性弹性力学模型及其数值解，工程分析。绑定Elem.34（2010）533-548。[12] S.V. Shmegera，带接触摩擦条件的弹性半平面初边值混合问题，Int. J。固体结构37（2000）6277-6296。[13] P. 张文，张文，等，平面应变弹性力学中的混合问题的积分解，工程学报，2000，21（1）：117 - 118. 39（2001）1091-1100。[14] R. Haller-Dintelmann，H. C.王文，含混合边界条件的椭圆模型问题，数学应用学报，2008年第89期，第25-48页。[15] J. Helsing，Integral equation methods for elliptical problemswithboundary conditions of mixed type，J. Comp. Phys. 228（2009）8892[16] 李明功，杨立吉，李子才，朱柏春，线弹性力学角点混合型边界条件及其数值解，工程分析。绑定Elem.35（2011）1265-1278。[17] 李子才，朱柏春，杨立吉，李明功，线弹性力学角点和裂纹奇异性的特解和基本解的联合Trefftz方法，工程分析。绑定Elem.34（2010）632-654。[18] M.A.胡瑞，混合型方程边值问题及其应用，非线性分析。74（2011）6405- 6415。[19] C.康斯坦达，在Kupradze的方法近似解线性弹性，公牛。波兰学院Sci. 数学 39（1991）201- 204。[20] C.张文，平面弹性力学中的边界积分方程法，中国工程院学报。123（11）（1995）3385-3396。[21] M.S. Abou-Dina，A.F.李文，张文，张文，等，等离子体数值模拟中的边界傅里叶展开法，应用数学与工程学报，2004，167，363-387。
