层流混沌混合物质的欧拉-拉格朗日分析：混合失败的物理原因及解决方案

科学讲座5（2023）100107屈服应力材料的混沌混合Teodor BurgheleaNantes Université，CNRS，Applatoire de Thermique et Energie de Nantes，UMR 6607，La Chantrerie，Rue Christian Pauc，B.P.50609，F-44306 Nantes Cedex 3，France自动清洁装置保留字：屈服应力材料层流混沌平流混合有限时间李雅普诺夫指数A B标准糊状材料在学术上被称为“屈服应力”材料，在日常生活中无处不在，G. 蛋黄酱、芥末、番茄酱等），美容产品（如护手霜、发胶、沐浴露等）， 建筑材料（水泥、泥浆）或我们试图了解火山岩浆和滑坡的地球物理尺度动力学。到目前为止，一个几乎没有（或根本没有）解决的关键问题是相当基本的，可以简短地表述为“我们如何混合这些材料？” 为了解决这个问题，我将首先揭示由屈服应力的存在引起的层流混沌平流引起的混合的灾难性失败接下来，我将在系统的欧拉框架和系统的拉格朗日框架分析方面更深入地探讨这一事实背后的物理原因。 作为一个关键发现，我将展示被动标量的涨落谱与G. K. Batchelor的一个暂时随机和空间平滑的湍流在出现的频谱峰值，阻止被动标量级联。与谱峰位置有关的附加空间尺度与未屈服物质的特征尺寸有关。最后，我将讨论两个简单的解决方案，它们能够在一定程度上减轻混合损失，而无需付出巨大的能量代价。本文的视频可以在j.sctalk.2022.100107上找到。https://doi.org/10.1016/图和表图1.一、配有三个旋转弧形墙的通道示意图（按比例）。通讯作者。电子邮件地址：Teodor. univ-nantes.fr。h tt p：//dx. 多岛或g/10。1016/j。我的天啊。20 22. 1 0 0 10 7接收日期：2022年11月26日;接受日期：2022年11月28日27 7 2 - 56 93/©2022TheA ut h or r. 由E lsevier L td提供。 这是一个操作过程，需要遵循C CBY指令（http：//c re ati ve c mmo ns. 或g/li ce nss/by/4. 0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表科学讲座杂志首页：www.elsevier.es/sctalkT. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）1001072图二、混合器出口处被动标量浓度C的横向分布图，对于顶部插图中所示的最小网格尺寸Δymin的各种值获得。底部面板中所示的情况涉及自适应网格化技术-有关说明，请参见文本每个图中的实线是根据解析解的非线性拟合函数。图3.第三章。由分子扩散系数D eff/D归一化的有效扩散系数对被动标量界面附近网格尺寸的依赖性，Δymin，针对从图1顶部三个子图中提供的数据集获得的规则网格（黑色正方形）计算。2和自适应网格（红色圆圈）从图2底部面板中显示的数据集获得。 二、图四、在大体积宾汉数（Bn bulk= 26.5）下模拟混合过程期间的自适应网格的图示。黄色的密集网格点标记被动标量的界面，而红色标记的网格点标记屈服面（见说明文本）。密集的黑色网格点是基于涡量的动态网格自适应的结果。T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）1001073图五、在顶部插图中指示的几个时刻，牛顿情况（Bn bulk= 0，N = 1）的混合模式。图六、 在混合器中心（上图）和混合器出口（下图）处获得的牛顿情况（Bn体积= 0，N = 1）的时空图。图7.第一次会议。 在混合器中心（圆形）和混合器出口（正方形）处获得的牛顿情况（Bn bulk = 0，N = 1）的混合指示剂C std的时间序列。整条线是一个指数拟合函数。T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）1001074图8.第八条。在顶部插入物中所示的几个时刻，探索了最大屈服应力的混合模式（Bn bulk= 26.5，N = 0.75）。图9.第九条。在混合器中心（上图）和混合器出口（下图）处获得的最高屈服应力情况（Bn体积= 26.5，N = 0.75）的被动标量C的时空图。T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）1001075图10个。混合器中心（圆形）和混合器出口（方形）处最高屈服应力情况（Bn体积= 26.5，N = 0.75）下获得的混合指示器C std的时间序列。实线说明了在通道出口处以指数方式拟合混合指标的时间序列的失败尝试图十一岁混合效率的依赖性定义为混合器出口处的被动标量浓度C std的方差对体宾汉数Bn bulk的依赖性。符号的颜色和相对大小都映射了混合指示器Cstd围绕其动态稳态值的波动δC图12个。左：轴向速度的时间平均横向分布;右：横向速度的时间平均横向分布。T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）1001076散装图13岁在通道出口处观察到的屈服区（或粘塑性边界层）的宽度对体积宾汉数Bn的依赖性。整条线是一个p ow erl awfit i ngf un cti on，B n−0。39± 0. 015 这是一个巨大的数字，它反映了这两个词的含义。在每一个应用程序中，都将计算以下值Bnbulk。图十四岁 牛顿情况（左列）和Bn体积= 26.5（右列）的瞬时湍流模式的实例。 在每个面板的顶部插入中指示时刻。图十五岁 在混合边界层（实线）和湍流体积（虚线）内平均的被动标量波动的时间自相关函数，为参考牛顿情况计算-左图，为探索的最高屈服应力情况计算，Bn体积=26.5，N=0.75-右图。在两个面板中，完整的符号标记自相关函数的第一个零交叉，该自相关函数定义了被动标量波动的相关特征时间。T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）1001077图十六岁计算的无源标量涨落的相关时间在湍流体（蓝色圆圈）和边界层（橙色方块）中对体宾汉数Bn的依赖性。图十七岁Bnbulk=26.5时未屈服区的图示和顶部插图中所示的几个时刻。位于“活动”混合区域内并在尺寸统计中被考虑的实心斑点图十八岁活性混合区域中未屈服的斑点的尺寸统计：左-概率分布函数（pdf），右-未屈服的斑点的平均尺寸Rav对本体宾汉数Bn本体的依赖性。T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）1001078图十九岁为牛顿参考情况（用正方形标记的数据集）和研究的最大屈服应力情况计算的被动标量波动的空间功率谱。虚线是眼睛的引导线，k-1。图20. 在t = 0处，在顶部插入物中指示的不同时刻，在混合通道内均匀分布的拉格朗日示踪剂的瞬时位置。假彩色图是指初始示踪剂的轴向位置x数据是指参考牛顿情况，Bnbulk= 0，N=1。T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）1001079图21岁顶部插页中所示的各种本体宾汉数Bn本体的停留时间的直方图。在每个图中，垂直虚线标记了减少的平流时间ta/T。T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）10010710图22岁 牛顿情形（左列）和Bn bulk= 26.5（右列）的前向和后向李雅普诺夫指数图。图23岁在混合过程的最后五个周期上平均的间隔平均李雅普诺夫指数对体宾汉数Bn bulk的依赖性。图24岁（a）在4个旋转弧壁混合器的中心（上图）和混合器的出口（下图）处获得的最高屈服应力情况（Bn体积= 26.5，N = 0.75）的时空图。（b）在4个旋转弧壁混合器的混合器中心（圆形）和混合器出口（正方形）处获得的最高屈服应力情况（Bnbulk= 26.5，N= 0.75）的混合指示器Cstd的时间序列整条线是一个指数拟合函数。T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）10010711图二十五混合器出口处混合过程的时空图，各种强制方案总结在顶部插图中（参见文本中的数值设置描述）。下图是参考牛顿的例子，已经在手稿中讨论过T. 布尔盖莱亚科学讲座5（2023）10010712图26岁（a）图1所示的强制方案在混合器出口处获得的混合指示器C std的时间序列。30：（b）混合效率参数Cstd对强制雷诺数Re的依赖性。相应的强制宾汉数Bnf在文本注释中指示阴影区域突出显示avf混合指示器在其动态稳定状态值δCstd附近的波动水平。（c）对于固定的整体宾汉数Bn bulk= 26.5和固定的整体雷诺数Re bulk= 0.05，产生的液滴的平均尺寸ΔR av对强迫雷诺数Ref的依赖性。 整条线是线性拟合。 在图（a，b）中，符号表示外部强迫的参数：正方形-K = 16，Bn f= 3.3，Re f= 10.5，左三角形-K = 24，Bn f=2.4，Re f= 21.8，圆圈-K = 53，Bn f= 1.35，Re f= 86，星形-K= 62，Bn f= 1.17，Re f= 116，上三角形-K = 16，Bn f= 0，Re f= 45。致谢• Yann Moguen（波城大学前博士后• YvesLe Guer-波城大学• Kamal El Omari-波城大学• Eliane Younes（我们小组的前博士候选人• 凯茜·卡斯特兰资金这项工作得到了法国研究计划的支持。ANR-16− CE 06 −0003（用于屈服应力分析仪的新型有源内联混频器，NaiMYS）。申报利益作者声明，他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，可能会影响本文报告的工作。进一步阅读[1] G.K. Batchelor，对流量的小尺度变化，如湍流中的温度，第1部分。一般讨论和小电导率的情况，J.流体机械。5（1）（1959）113[2]T. Burghelea，E.塞格雷岛Bar-Joseph等人，Chaotic Mixow and EfficientMIXING inaMicrochannelwith a Polymer Solution，Phys.Rev.E69（6）（2004）066，305 - 8.[3] E. 古亚尔岛多绍湾Dubrulle等人，在混沌混合中由于无滑动壁引起的浓度变化的缓慢衰减，物理评论E 78（026）（2008）211。[4]Castiglione Jullien，M.C.张文，张文。85（2000）3636-3639。[5] A.M.李雅普诺夫，关于旋转椭球体平衡点的稳定性（俄文），Bull.Astronom。1885年（1885年）。[6] S. Popinet，Gerris：a tree-based adaptive solver for the incompressive Euler equationsincomplex geometries，J. Comput. Phys.190（2）（2003）572-600。TeodorBurghelea是法国南特国家科学研究中心（CNRS）的研究员，该中心位于法国南特的南特热能与能源研究所。研究方向为非牛顿流体力学和流变学。他特别感兴趣的是屈服应力材料的流体力学。