nð Þ ð ÞUCVUSTXS S KnJournal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，476埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章超几何的必要性和充分性属于解析函数子类的函数M.K.好吧，好吧。Mostafaa，H.M. Zayedb，*a埃及曼苏拉35516曼苏拉大学理学院数学系b埃及，Shebin Elkom 32511，梅诺菲亚大学，理学院，数学系接收日期：2014年10月11日;修订日期：2014年11月17日;接受日期：2015年1月3日2015年2月23日在线发布本文给出了（高斯）超几何函数属于一致星形一致凸函数的一个子类的充要条件。还考虑了与超几何函数有关的算子。我们的一些结果纠正了以前已知的结果。2010年数学学科分类：30C45; 30A20; 34A40？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍设A表示以下形式的函数类f zfzzX1azn;1：1gzz1g zn;1： 2n¼2则两个幂级数f z的积分卷积 而g z（见[1]）：X1n¼2其在开放式单位圆盘中解析f~gn¼2angnzng~fz：1： 3U^fz：z 2C和jz j 1g;设S是所有的子类
。zf00z.2019 -01-2200：00：00http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.01.002f0z。 f0z。1110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词单叶;星形;凸;一致星形;一致凸;超几何函数n超几何函数属于解析函数子类的充要条件477ð Þ ¼ ðÞð Þ ð -- Þ..XSð ÞSð Þ ðÞS中文（简体）..nðÞð Þ ¼第十章ð Þ ¼. f z.研究了函数hl∈a;b;c;z∈a的映射性质。þ½n¼2cnΣ.别这样b-100 - 100 - 100-200XGoodman证明了经典的Alexander并不稍等对后来 ，Rønning [7] 引 入 了 S p 类 ， 它 由 函 数 组 成 ， 使 得f<$z<$2UCV （） zf0<$z<$2Sp 。同 样 在 [5] 中 ，Rønning通过在下面引入参数a来推广类UCV和Sp。定义1[5]。形式为（1.1）的函数fz在类中如果满足以下条件，则为S pa.0分。0的情况。fz我们注意到，F a;b;c;1对于ffic a b>0收敛，并且与Gamma函数相关：F a;b;c;1Cc Cc-a-b：1： 9Cc-aCc-b此外，我们还定义了函数ga;b;c;z; zFa;b;c;z;1： 10和hla;b;c;z1-lga;b;c;zlzga;b;c;z0lP0：ffizfz-a>。zf z-1。-16a 1;z2U<2011年1月11日和f<$z <$2 UCV <$a <$，一致凸函数类，序a当且仅当zf0<$z<$2Sp<$a <$。同样在[8]中，Bharati et al.引入了UCVa类;b类和Spa;b如下：定义2[8]。形式为（1.1）的函数f<$z<$被称为：[11]《礼记·乐记·乐记·乐记》对应于高斯超几何函数2F1 <$a;b;c;z <$;，我们定义线性算子M a;b;c：A！通过积分卷积½Ma;b;cf]zg a;b;c;z~fz在类S pa;b中，如果它满足以下条件：0公司简介X1an-1bn-1anzn-0 ;-1;-2;. 2019 - 01- 12 00：00：00. zf0z。zfzn<$2cn-11n-1nFFIfz-a>bfz-1-16a1;bP 0;z2U;<1： 60线性算子Nl卷积A！一通过积分和f<$z<$2UC V<$a;b<$当且仅当zf0<$z<$2Sp<$a;b<$。用T表示，S的子类由以下函数组成：形式：Nl1/4z X11ln-1] an-1bn-1anznf zz-1n¼2一个nzn一个nP0：1： 7×1000 - 0;-1;-2;.. . 时间：2019- 01- 13Merkes和Scott[12]以及Ruscheweyh和Singh[13]继续使用 级分到 发现 足够的 条件 为又记为T ωa S ωa\ T; Ca Ka\ T，a阶星形凸函数的子类负系数，这是由西尔弗曼介绍和研究（见[9]）。 又记UCTa<$<$A\T;Sp T a <$<$SpA\ T; UCT a;b <$UCVa;b\T和Sp Ta，b<$<$Spa;b\ T。设Sc∈f;a;b ∈ f-16a1;bP0和06c61 a是由形式（1.1）的函数组成的子类，满足分析准则：1个 Z U：1： 81-cAouf等人引入并研究了类Sc <$f;a;b <$f，其中g z1-z .此外，我们定义类f;a;b为：TS cf;a; b Scf;a;b\T：设F a;b;c;z是（高斯）超几何函数，定义如下：F a;b;c;z1a nbnzn;n<$0cn 1n为了建立我们的结果，我们需要以下引理，因为Aouf等人[10]第10段。引理2.1[10，定理 1，其中g zz]。 足够的1-Z由（1.1）的fz在类Sc f ; a ; b中的条件是1½n1b-a b]½1cn-1]jaj61-a：2：1n¼2引理2.2[10，定理2，其中g zz]。 一个必要和1-Z由（1.7）定义的f∈z在类中的TSc =f;a;b=其中c = 0 ; -1 ; -2 ;. . 和. 如果n为1，则n为1;X1½n1b- ab]½1cn-1]a61 -a：12： 20联系我们k k 1 k 2···k n-1 if n 2 N <$f1; 2;.. . G：n¼2通过使用引理2.1和2.2，我们得到以下结果。-一个n478M.K. Aouf等人¼--Þþð - ÞX半小时Þðþ 我...[]1¼ ¼¼¼CcCc-a-b1ab1b -ca-b-2]c1ba2b2a1-aCc-aCc-bLþ阿利什卡½ð1Þn2cn-11n-2n3cn-11n-3n<$0cn 1ncn¼0c1992年n¼0cCc-aCc-bCCc-aCc-bn-1n-122×1-aab½1b-ca-b-2]c1ba2b2þ½ð1 þbÞðc þl þ4clÞ -clða þbÞ]ðaÞ2ðbÞ2X ðaþ2Þnðbþ2Þn阿利什卡cþð1-aÞ公司简介由Silverman [15，定理3]得到的结果。3nnzn¼0nn定理2.1. 设a;b>0且c>a<$b<$2，则g <$a;b;c;z<$属于类Sc<$g;a;b<$的充分条件为Σ Σ62：(v) 将c0代入定理2.1，我们得到Swaminathan [17，定理2.1]的结果（也见Kwon和Cho [18，定理2.3的（ii）(vi) 在定理2.1中代入c/^1，我们得到如下结果由Swaminathan [17，定理2.3]获得（也Cc-aCc-b1-ac-a-b-1 1-ac -a-b-2212： 30Kwon和Cho [18，定理2.4的（ii）还有，条件（二、三）是必要和足够的为F1a;b;c;z 2-Fa;b;c;z属于TS c F1; a; b类。证据以来定 理 2.2. 设 a;b>0 且 c>a<$b<$3 ， 则 hl<$a;b;c;z<$3 在 类Sc<$hl;a;b<$3中的充分条件是X1ga;b;c;zzCcCc-a-b1ab½1b 12c2l2 cl-abclcl]n<$2cn-11n-1þðaÞ2ðbÞ2½ð1þbÞðcþlþ4clÞ -clðaþbÞ]þclð1þbÞðaÞ3ðbÞ32006年2月：那么，根据引理2.1，我们只需要证明1-a1-a12：50X1½n1b- ab]½1cn-1]an-1bn-161-a：还有，条件（二、五）是必要和足以n¼2c.ha;b;c; z因此X1½n1b-ab]½1cn-1]an-1bn-1hωa;b;c;zωz 2 -l证据以来在类TS chω; a; b中。n¼2X1B.B.B.B.B.B.B.B.B.B.B.B.B.n<$2cn-11n-1cha;b;c;zzX11ln-1] an-1bn-1zn;n¼2n-1n-1×X1aa那么，根据引理2.1，我们只需要证明由于k nk 1n-1，则从（1.9），我们可以表示（2.4）X1½n1b- ab]½1cn-1]½1ln-1]an-1bn-1作为1-an¼261-a：因此cþ½ð1þbÞ -cða-b-2Þ]abCðcþ1ÞCðc-a-b-1ÞX1aCc Cc-a-bn¼2拉瓜bccΣ1992年Cc-a Cc-bCc-a Cc-bΣ-1-a：X1an1bn1阿利什卡ð1Þc-a -b-1c-a -b-2n¼2n-1n-2但如果公式2.3成立，则最后一个表达式的上界为1a以来1B cl 4claB1an-1bn-1n3cn-11n-3Fa;b;c;zz-X1acln<$2cn-11n-1F1a; b; c; z∈a;b;c; z ∈ z; c ;z ∈ z; c;TSc <$F1;a;b<$由引理2.2得出。 这完成 的n¼4cn-11n-42019 - 01- 2200：00：00n<$2cn-11n-1定理2.1的证明H-abclcl]abX a1nb1n备注2.1.cn¼0c1(i) 将bc0代入定理2.1，得到Silverman [15，定理1]的结果.(ii)在定理2.1中加入b/0和c/1，我们得到：cn¼0c“X1anbn#（iii）将b1和c0 代入定理2.1，得到了Cho等人的结果。[16，定理2.1]。（iv）将b/c/1代入定理2.1，我们得到结果：2019 - 01- 2200：00：00-a b cl cl]abCc1Cc-a-b-1由Cho et al.[16，定理2.3]。cCc-a Cc-b[1b-ca-b-2]联系我们<$n1b-ab]<$1cn-1] <$1ln-1][1/2/3/4/3/2/3/4/31n¼0超几何函数属于解析函数子类的充要条件479-我知道了XH¼¼我知道了Cc-aCc-bCc-aCc-bab2z¼ ¼.. X¼z-c.AB.c-a -b-1n-2n-2阿利什卡ð1ÞcaA.A. B.A.B.A.-1nnAB2019 -01 -2200：00：00a1992年Cc-aCc-b那么，根据引理2.2，我们只需要证明X1½n1b- ab]½ 1cn-1]a1n-2b 1n-26. C. 1-an¼22019-03-2201：02：03：04：05：06：05：2003年Cc-a Cc-b因此1aCc C c-a-b1Cc-a Cc-bCc Cc-a-b1aCc-a Cc-b1½n¼2n1b-ab]½1 cn-1]aab½X1a1ðbþ1Þacl1 b a 3 b3n¼21c1电子邮件：info@bjc.comþðc-a-b-3Þ3-1-a：c但最后一个表达式的上界为1-aif（2.5）n/3c1n¼2c保持。以来¼½ð1þbÞ -cða-b-2Þ]Xðaþ1Þnðbþ1Þn1n¼0chωa;b;c;zz-X½1ln-1] an-1bn-1zn;X1n¼2n-1n-1cn¼0c“X1#ABcn¼0证明了（2.5）式中hω∈a;b;c;z ∈ a的TS chω;a;b由引理2.2得出。这就完成了定理2.2的证明。[1/2/1]Cc 1Cc-a-b-1Cc-aCc-bc备注2.2. 在定理2.2中加入一个1/4c/4 0，我们得到cRamachandran et al.[19，定理2.1，其中p/2和q/1]。将a0和c1代入定理2.2，得到了Ramachandran等人结果[19，定理2.3，p¼ 2和q¼ 1]。1 acCc C c-a-b1abCc-a Cc-b1/4Cc1Cc-a-b-21b-ca-b-2]c-a-b-2c推论2.1。设a;b>0且c>a<$b<$3;则hl<$a;b;c;z<$3在类UCV<$b<$3中的充分条件是AB因此，（2.8）式等价于2ABaCc1Cc-a-b-2½½1b-ca-b-2]c-a-b-2l1b2003年Fa3;b 3;c 3;1ac100磅100磅100磅100磅阿利什卡Fa2;b 2;c 2;1c c261-aab-1-aab ¼ 0：2： 10þð2lbþ 4l þ2bþ3ÞcF ðaþ1;bþ1;cþ1; 1ÞF此外，条件（2.6）是必要和充分的，因此，从（2.10），我们有1/21b -ca-b-2] c-a-b-2c1 ba 1b 1b 1-ahωa;b;c;zz.2-hla;b;c;z属于UCTb类。定理2.3. 设a;b>-1;ab 0且c>a<$b<$2，则<2016年12月26日星期五上午10：00或者，等价地，c1ba 2b 2 b1b -ca-b-2]abc-a-b-2ga;b;c;z在类TScg;a;b是，c1ba 2b 2b1b -ca-b-2]a bc-a-b-2 þð1-aÞðc-a-b-2Þ2P 0:ð2:7Þ证据以来þð1-aÞðc-a-b-2Þ2P 0:这就完成了定理2.3的证明。H注2.3.(i) 将bc0代入定理2.3，得到Silverman [15，定理2]的结果.abX1a(ii) 在定理2.3中加入b/1和c/0，我们得到：ga;b;c;zzcn¼2阿利什卡-1n-2 1-zn-1结果由Cho et al.[16，定理2.2]。(iii) 在定理2.3中引入c/4 0，我们得到了ab1. C.n¼2a由Swaminathan [17，定理2.2]得到（也参见Kwon和Cho[18，定理2.3的（i）-clab ][1/2/1]n¼n480M.K. Aouf等人¼¼¼ ¼n¼abCc-a Cc-bCc-aCc-bΣ.¼ ¼Xcccn¼022n-2n-2β-1-aβ-1n-1þð1-aÞðc-a-b-3ÞC22AB3LC n¼2cn-2 ð1Þn-11/4 z-。C.[1/2]z;. .将b0和c1代入定理2.3，得到如下推论，它修正了Silverman的结果[15，定理4]。因此X1½n1b-ab]½1cn-1]½1ln-1]a1n-2b1n-2[1/2推论2.2。设a;b>-1;ab 0且c>a<$b< $2;则-1;ab 0且c>a<$b<$2，则-1;ab 0且c>a<$b<$2，则<22AB3抗体ga;b;c;z在类UCTa;b是，因此，（2.12）式等价于Cc1 Cc-a-b-3Cc-aCc-bF1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001— aþð1-aÞðc-a-b-2Þ2P 0:定理2.4. 设a;b>-1;ab 0且c>a<$b<$3，则-1;ab 0且c>a<$b<$2，则0 且 c>a<$b<$3 ， 则 hl<$a;b;c;z<$3 在 类UCT<$b<$3中的充分条件是l1ba12b12Fa3;b3;c3;1þð4lbþ 5l þbþ1Þðaþ1Þðbþ1ÞFðaþ2;bþ2;cþ2; 1Þþð2lbþ 4l þ2bþ3ÞF ðaþ1;bþ1;cþ1;1ÞþabFða;b;c; 1Þ60:使用与上述定理的证明类似的论证，我们得到以下定理。定理2.5. 设a;b> 0且c>a<$b<$2。如果不等式（2.3）满足，则1/2Ma;b;cf]z将类S（或Sω）映射到类S c f;a; b。定理2.6. 设a> 1;b> 1且c>a b 1 .一、如果下面的不等式CcCc-a-b1b -cab]c1bAB备注2.4.通过专门化a，b和c的定理2.5至2.8，我们将获得新的结果，为不同的类中提到的介绍。确认作者感谢参考者的宝贵意见，这些意见导致了本文的改进引用[1] P.L. 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