环和Banach代数中的广义幂导子

222X-Journalof the Egyptian Mathematical Society（2013）21，75埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章环和Banach代数中的广义幂导子黄树良滁州大学数学系，滁州239012接收日期：2012年3月7日;修订日期：2012年9月26日;接受日期：2013年1月3日2013年3月1日在线发布设R是中心为Z（R）的2-挠自由素环，F是与非零导子d相关的广义导子，L是R的李理想。Ifdul1Ful2dul3Ful4. . . Fulkn0对于所有u L，其中l1，l2，. ，l，k是不全为零的非负固定整数，n是固定正整数，则LcZ（R）。我们还研究了当R是半素环时的情形最后，我们将上述结果应用到Banach代数上。2000年数学潜规则分类：16N60、16W25、46K15、47B47？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍在下文中，除非另有说明，R将是结合环，Z（R）是R的中心，Q是其Martindale商环，U是其Utumi商环。U的中心，表示为 由C，被称为R的扩展质心（我们参考读者[1]对于这些对象，Banach代数是指复赋范代数A，其基础向量空间是Banach空间。A的Jacobson根rad（A）是所有本原理想的交.如果Jacobson根约化为零元，则A称为半单。对于任意的x，y2R，符号[x，y]表示Lie积xy-yx。 称环R为2-挠自由环，如果每当2x=0，且x2R，则电子邮件地址：shulianghuang@sina.com同行评审由埃及数学学会负责x=0。回想一下，环R是素的，如果对于任何a，b R，aRb=（0）蕴涵a=0或b=0，并且是半素的，如果对于任何a R，aRa=（0）蕴涵a=0。一个加法映射d：RfR称为导子，如果d（xy）= d（x）y+xd（y）对所有x，y2R成立。特别地，d是由元素a2R诱导的内导子，如果对所有x2R，d（x）= [a，x].四个变量的标准恒等式s4定义如下：s4½10sXs1sXs2sXs3sXs4 s其中（1）s是4次对称群的置换s让我们介绍一下我们调查的背景。Singer和Werner在[2]中得到了一个基本结果，它说明了对Banach代数导子值域的研究。在[2]中，Singer和Werner证明了交换Banach代数上的任何连续导子都有值域在代数的Jacobson根中。在本文中，他们猜想连续性是不必要的.”[3]这句话，也是邓小平的名言。显然，Singer和Werner的相同结果在非交换Banach空间1110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.01.001制作和主办：Elsevier关键词素与半素环;广义导子;李理想;Banach代数222222l2lk n62ðÞ Þ¼22ð ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ[中文字幕] ð [中文字幕]x d y a x y d x yx d y0对于所有2···[]][]][]][][]][]][[][ðð½½]] þ½]][][]][][]22lk n22222l1l2l3l4lk nð ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ Þ¼l2lk nl2lk n222þ½]][] []][][]][]2L1第76号。黄因为有了内导子。因此，在这种情况下，一个非常有趣的问题是如何获得非交换版本的辛格-维尔纳定理。Sinclair在[4]中首次给出了这个问题的答案。他证明，每一个连续推导的Banach代数叶原始理想的代数不变。在[5]中，Kim证明了：如果非交换Banach代数A允许连续线性Jordan导子d使得d（x）[d（x），x] d（x）rad（A）对任意x A，则d（A）crad（A）.最近，Park [6]证明了如果d是非交换Banach代数A的线性连续导子，使得[[d（x），x]，d（x）]rad（A）对所有x A，则d（A）crad（A）.在[7]中，Filippis将Park的结果推广到广义导子.与此同时，许多作者对Banach代数中满足某些适当条件的导子有了更多的了解.例如，Vukman在[8]中证明了：如果d是一个非交换半单Banach代数A的线性导子，使得[d（x），x] d（x）=0，则d= 0.在[9]中，Brésérar引入了广义导子的定义：一个加法映射F：RfR称为广义导子，如果存在导子d：RfR使得F（xy）=F（x）y+xd（y）对所有x，y R成立，且d称为F的伴随导子。因此，广义推导的概念涵盖了推导和左乘数的概念（即，可加映射满足2. 结果定理2.1. 设R是中心为Z（R）的2-挠自由素环，F是与非零导子d相联系的广义导子，L是R 的 李理想。 如果d ul1 F ul2d ul3 F ul4... F u lkn0对于所有u L，其中l 1，l 2，.. . ，lk是不全为零的固定非负整数，n是固定正整数，则LcZ（R）.证据假设L<$Z（R）。由于R是素环，F是R的广义导子，Lee [11，定理3]证明了F（x）= ax+d（x），对某个U.由于Char（R）n2，从Herstein[12，pp.4-5]可以得出，存在一个非零的2-边理想IR等的0n [I，R]cL.在特别地，[I，I] cL，因此不失一般性，我们可以假设L=[I，I]cL。 根据给定的假设，我们有：[1]1F [1] 1x; y]12d[1] 1x; y]13F[1] 1x; y]14 。 . 对于所有的x，y2，这 意味 的ðð½dðxÞ;y] þ½x;dðyÞ]Þl1ða½x;y]þ½dðxÞ;y];......的人。;;;x，y，I。由Kharchenko[15]，我们将证明分为两种情况：案例1.设d是U的外导子，则R满足 多项式 身份[001pdf1st-31files]þ½x；t]Þl1ða½x；y][0.05s; y]l2lk nf（xy）=f（x）y对于所有x，y2R）.基本的例子是派生我是说. . . . 对于所有的x，y，s，t2 I，均为1/2 x; y ] 1/2 s ;y] 1/2 x ; t] 1/2 0。以及广义内导子（即，类型映射xfiax+xb对于a，bR）。我们称这种映射为广义内导子，因为它们是内导子概念的推广。在[10]中，Hvala在一定范数空间上的代数背景下研究了广义导子. 在[11]中，Lee将广义导子的定义推广如下：广义导子指的是一个加法映射F：IfU，使得F（xy）= F（x）y + xd（y）对所有x，y 2 I成立，其中I是稠密的特别地，对于x = 0，我们得到[s，y] p= 0，对于所有s ， y 2 I ， 其 中p = n （ l1+ l2++ l k ） ， 并 且根 据Herstein [16，定理2]，R是交换的，是矛盾的。案例2.现在设d是由元素q Q诱导的内导子，即对于所有x，y，d（x）=[q，x]联合它遵循的q;x;yx;q;yL1 a x;yq;x;yx;q;y l2... a x;yq;x;yx;q;yLkn0对于所有x，yI. 通过Chuang[17，定理2]，I和Q满足相同的广义多项式 身份 （GPIs）， 我们 有ðð½½q;x];y] þL1L2R和d左理想是从I到U的导子。此外，委员会认为，李还证明了每一个广义导子都可以是非-适当地扩展到U的广义导子，因此所有半个x;半个q; y]]（半个x; y]（半个q; x; y]） . （a）[x];y]对于所有的x，y2Q，均为1/2 x ; 1/2 Q ; y ]] 1/2 0。如果Q的中心C是在有限的情况下，我们有[1] 1 [1] 1 [2] 1 [1] 1 [2] 1 [2] 1 [1] 1 [2]1 [1]1 [2] 1 [2] 1 [1] 1 [2]1 [2]1 [1]1 [2] 1[1] 1] 1 [2] 1 [2] 1]1 [2] 1] 1 [2]2] 1 [1] 1] 1 [2] 2] 1 [1] 2] 1 [1] 1] 1 [2] 1R的广义导子将被隐式地假定为l2lk n定义为整个U。 Lee得到了如下结果：R的稠密左理想上的每个广义导子F都可以不等价地扩张到U上，并且对U和U上的导子d，F（x）= ax+d（x）.另一方面，Herstein [12]的一个著名结果指出，如果q是R的右理想，使得对于所有uq，其中n是一个固定的正整 数， 则q=0。 在[13]中， Chang和Lin考虑 了当d（u）un= 0对所有u q，其中d是R.在[14]中，Dhara和De Filippis研究了当u s H（u）ut=0时对所有u L的情形，其中L是R的非交换李理想，H是R的广义导子，s，t是固定的非负整数。更确切地说，他们证明了：设R是素环，H是R的非零广义导子，L是R的非交换李理想。 假设u s H（u）ut=0，对所有u L.则R满足s4，即四个变量的标准恒等式。本文的动机是以前的结果，我们在这里继续这条调查线，通过检查会发生什么一个环R（或代数A）满足单位元dufudufu......这是什么？对于R（或A）的某个适当子集中的所有u，Fu0.[001 pdf 1st-31files][001pdf1st-31files] . 对于所有人，均为1/2x;y]1/2q;x];y]1/2x ;1/2q;y]1/20x;y2Q其中C是C的代数闭包。由于两 Q和QC C是素数和中心闭的[18，定理2.5 和定理3.5]，我们可以用Q或Q代替RCC根据 因为C是有限的或无限的。因此，我们可以假设R在C上是中心闭的（即RC=C），C是有限闭的或代数闭的，并且[x] ; y ][x ] ; y] [x]; y ][x ]; q]; y.a x;y q;x;y x;q;y0对于所有x，yR.由Martindale[19，定理3]，RC（因此R）是一个本原环，它同构于除环D上向量空间V的线性变换的稠密环。假设调暗VDP3.首先，我们要证明v和qv是线性依赖于D的.因为如果qv=0，则v，qv是D依赖的，假设qv<0。如果v和qv与D无关，由于dim V DP3，则存在w V使得v，qv，w也与D无关.根据R的密度，存在x，y R使得：xv=0，xqv=w，xw=v;yv=0，yqv=0，yw=v。这意味着，v<$; x]; y];x; y]; y]。 . （a）[x];y][001 pdf 1st-31files][001 pdf 1st-31files]22ð ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ Þ¼2L1ÞQL2--0c000c0 0Ln¯L1¯l2¯L3¯M120ja;b;c 2ZL/1jb 2Z在环和Banach代数中具有幂值的广义导子77这是个矛盾所以我们得出结论，v和qv是线性D-依赖于所有v2V。定义下列地图：F。一b. 一2 b。我们的下一个目标是证明存在b2d，使得D. 一b. 0b. 很容易看出L是一个谎言。qv= Vb（对于所有v 2 V）。实际上，线性地选择v，w2独立的由于dim VDP3，则存在u2V使得u，v，w线性无 关 ， 因 此 bu ， bv ， bw2D 使 得 qu=ubu ， qv=vbv ，qw=w，即q（u+v+w）=u-理想和F是一个广义导子与一个R的非零导子d。此外，可以直接检查F是否满足以下性质：1Ful2Dul3Ful4b u+ vb v+ pw.此外，q（u + v + w）=（u + v+ w）-.. . Fulkn0对于所有u2L，其中l1，l2，. . . ，k和n是固定的。bu+v+w对于合适的bu+v+w2D. 则0=u（bu+v+w-bu）+v（bu+v+w-bv） +w（bu+v+w-bw），因为u，v，w是线性无关的，b u=b v=b w= b u+ v + w，也就是说b不依赖于v的选择。因此，现在我们有qv = vb，正整数，但L6 <$Z（R）。推论2.3。设R是2-挠自由素环，F是与非零导子d相联系的广义导子。如果l 1l 2l 3l 4l kn所有v2V。现在对于r R，v V，我们有（rq）v=r（qv）= r（vb）=（rv）b=q（rv），即[q，R] V=0。由于V是左忠实不可约R-模，因此[q，R]= 0，即q 2 Z（R），因此d = 0，矛盾。d. 对于所有的r2R，l 1，l 2，. ，lk是不全为零的固定非负整数，n是固定正整数，则R是交换的.定理2.4. 设R是2-挠自由半质环，F是与非零导子d相联系的广义导子. 如果l 1l 2l 3l 4l kn假设现在暗VD62.在这种情况下，R是一个单GPI-环，其值为1，因此它是一个在其中心上有限维的中心单代数。由Lanski[20，引理2]可知，存在一个合适的填充F，使得F上所有k·k矩阵的环RcMk（F）以及Mk（F）满足与R相同的GPI。假设kP3，通过上面同样的论证，我们可以得到一个矛盾.显然，如果k=1，那么R是交换的，这又是一个矛盾。d. 对于所有的r2R，l 1，l 2，. ，l，k是不全为零的固定非负整数，n是固定正整数，则U中存在中心幂等元e使得在直和分解R= eU<$（1-e）U上d在eU上同零且环（1-e）U是交换的.证据 我们被告知 d r l1F r l2d r l3F r l4 ... F R LKn 0对于所有r R.由于R是半素的，F是R的广义导数，Lee [11，定理3]证明了对某个a2 U，F（x）=ax+d（x）. 因此我们有drl1ardrl2drl3L lnar对于所有的r2R，李[22]，因此，我们可以假设k=2，即，RcM2（F），其中M2（F）满足[x];y][x;y] [ y ]][1][a][x; y ][y][1][a][x;y ][y ]][1][a][x;y][1][a][y][1][b][a][x ;y][1][b][a][1][b][a][1][a][2][b][a][1][b][a][1][a][2][a][2][a][1][a][2][a][2][a][L2定理3]，R和U满足相同的微分恒等式，则 ar BagarBagarBagarBagar4 . . . 阿扎尔·德布尔·克鲁恩L n[1][2][3] . . [001 pdf 1st-31files][001 pdf 1st-31files] 表示对于所有的r2U。设B是等价的完备布尔代数，eij通常的矩阵单位，1 in（i，j）-元素和0其他地方设[x，y] = [e21，e11] =e21.很容易看出C和M中的势是B的任意极大理想。因为U是一个B-代数正交完备[21，p.42]，且MU是素数21-e21q.. .阿拉伯联合酋长国21日 至21日，lk nU的理想，它是d-不变的。表示U<$U=MU和d<$1/4。在上面的等式中右乘e21，21L121L2d在U上诱导的导数，即，d<$u<$$>d<$uforall那是21个月21个月21个月21个月。.ae21u2U. 对于所有r<$;2U;drardrdrardr.. . ða¯r¯þm=n（l1+l2+···+l k）。 设置q¼.Q11Q12然后，通过cal-drlkn0. 很明显U是质数。因此，通过Corol-lary 2.3，我们有U是交换的或d0，即二十一世纪问题 q22计算我们发现了100-1000m。00 00，这意味着，d（U）cMU或[U，U]cMU。因此，d（U）[U，U]c MU，其中MU遍历U的所有素理想。由于\MMU=0，q12=0。同样，我们可以看到q21=0。因此q为M2（F）中的对角线。 设f2Aut（M2（F））. 由于[fq;fx];fy]½fx;<$fq;fy]]l1fa½fx;fy]½fq;fx];fy]½fx;半fq;fy]]。 . . f（q）必须是M2（F）中的对角矩阵。特别是让f（x）=（1-eij）x（1+eij）为inj，则f（q）=q+（qii-qjj）eij，即对于inj，qii=qjj。这意味着q在M2（F）中是中心的，这导致d=0，这是一个矛盾。这就完成了定理的证明。H下面的例子证明了在定理2.1的假设中，R是素数是必不可少的实施例2.2. 设Z是整数 环。设置我们得到d（U）[U，U]= 0。利用半质环的正交完备化理论（见[1]，第3章），我们清楚地知道U中存在一个中心幂等元e，使得在直和分解R=eU<$（1 e）U上，d在eU，并且环（1e）U是交换的.这就完成了定理的证明。H定理2.5. 设A是2-挠自由的非交换Banach代数与雅各布森激进rad（A）。设F= La+d是R的一个连续广义导子，其中La表示与某个元素a2 A的左乘，d是A的相伴导子. 如果是1 Frl2Drl3 Frl4.. . Frlkn2radA对所有r2A，其中l， l，.. . ，我是固定的.. ab b b.. 0b0cL4R¼. 我们L2非负整数不全为零，且n是固定的正整数，则d（A）crad（A）。12K¼ð Þþ¼þð Þþ ¼þð Þ2ðÞ Þ¼2¼PPPP2ð ð Þ ð Þ ð ð Þð Þð ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ ð Þ Þ2ð Þ第78号。黄证据通过假设F是连续的，而且由于众所周知La也是连续的，我们得到d是连续的。Sinclair在[4]中证明了Banach代数的任何连续导子都保持原理想不变。因此，我们认为，对于任何本原理想P，一、它是明显即F（P）caP+d（P）cP。这意味着连续的广义导子F保持本原理想不变。对于任何本原理想P，记A=P^A。因此，我们可以定义广义导子FP：A！ A乘FP<$x<$$>FP <$x <$P<$$>FxPaxdx PaxdPx<$$>对所有x<$ A，其中A=PA是一个因子Banach代数。因为P是本原理想，所以因子代数A是本原的，所以它是素的。 的假设d r l1 F r 12d r 13F r 14. . 对于所有rA，F rlknrad A，得到dr<$l1F<$rl2 Drl3F. . . FPRLKn0对于所有r A。根据推论2.3，A是可交换的或d<$0，即[A，A] c P或d（A）c P。现在我们假设P是一个本原理想，使得A是交换的。Singer和Werner在[2]进而利用Jonhson和Sinclair[23]的一个结果，证明了半单Banach代数上的任何线性导子都是连续的.我们知道交换半单Banach代数因此，d′0在A中。因此，在任何情况下，我们得到d（A）cP，对于A的所有本原理想P。由于rad（A）是所有本原理想的交，我们得到d（A）crad（A），我们得到所需的结论。H致谢作者非常感谢推荐人的有益建议。本研究得到了安徽省教育厅自然科学研究基金（项目编号：KJ2012B125）和安徽省 高 等 学 校 优 秀 青 年 人 才 基 金 项 目 （ 项 目 编 号 ：2012B125）的资助。2012SQRL 155; 2012SQRL 156）。引用[1] K.I. 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