T1空间中弱Domain模型的研究

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记345（2019）219-232www.elsevier.com/locate/entcsT_1空间的弱Domain模型Chong Shen冲申1，2北京理工邮编：100081吴国华3南洋理工大学21 Nanyang Link，Singapore 637371赵东升4号南洋理工大学1 Nanyang Walk，Singapore 637616摘要本文的主要目的是研究弱整环的一些性质首先证明了每个交连续弱整环都是整环。然后证明了dcpoP是正合的当且仅当弱way-below关系是最小逼近w-辅助关系。然后证明了对于每个T1空间，Zhao和Xi因此，我们得到弱代数Domain不需要很好地过滤，并且每个T1空间都有弱Domain模型，这加强了Mashburn的结果。关键词：弱way-below关系，弱整环，交连续dcpo，弱代数整环，局部整环，弱辅助关系1第一作者由国家自然科学基金（11871097）和国家奖学金委员会（201806030073）资助第二作者部分由新加坡教 育 部 学 术 研 究 基 金 Tier 2 资 助 MOE 2016-T2-1-083 （ M4020333 ） 和 NTU Tier 1 资 助 RG 29/14（M4011277）和RG 32/16（M4011672）支持。第三作者得到了NIE ACRF项目（RI 3/16 ZDS）的资助2电子邮件：shenchong0520@163.com3电子邮件：guohua@ntu.edu.sg4电子邮件：dongsheng. nie.edu.sghttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.07.0251571-0661/© 2019作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。220C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219→←1介绍一个拓扑空间X的偏序集模型是一个偏序集P，使得P的极大元集Max（P），具有相对Scott拓扑，与X同胚[5]。任何具有偏序集模型的空间都必须是 T1.在[6]中，Martin证明了如果一个空间同胚于一个连续dcpo的极大点空间，那么这个空间是Choquet完备的。因此，不是每个T1空间都有一个域模型.2002年，Coecke和Martin[1]构造了一个有序集来模拟有限维量子态，结果证明他们的模型不是一个域，即，关于下面的路关系不连续。然而，这个模型是连续的弱way-below关系。利用弱way-below关系，Mashburn[7]定义了弱Domain，并证明了每个第一可数空间都有一个弱Domain模型。在[8]中，Mashburn证明了每个线性序拓扑空间同胚于弱Domain可表示空间的开稠密子集，从而表明具有弱Domain模型的空间不必是Baire空间。然后Mashburn[7]提出了以下问题：• 哪些拓扑空间是弱整环可表示的？本文证明了交连续性[4]在弱整环与整环之间起着至关重要的作用。更确切地说，我们证明了每一个交连续弱整环都是整环。在[11]中，Zhao和Xi证明了每个T1空间X都有一个dcpo模型（我们称之为X的Xi-Zhao模型）。我们证明了每个T1空间的Xi-Zhao模型是一个弱代数Domain（因而也是一个弱Domain）.作为推论，每个T1空间都有一个弱域模型，加强了Mashburn利用文[9]中的主要结果，我们还推出，与domain不同，弱domain的Scott空间不需要很好地过滤。2初步在本节中，我们回顾了本文中使用的一些基本概念和结果。更多详情请参见[2，7，8]。对于偏序集P和A∈P，设↓A={x∈P：x≤a，对于某个a∈A}，↑A={x∈P：xa for some a∈A}。 对于x∈P，我们将↓{x}写成↓x，将↑{x}写成↑x。一个子集A被称为一个较低的集合（分别为，上集）如果A= ↓A（分别地，A= ↑A）。P的一个非空子集D是有向的，如果D中的每两个元素在D中有一个上界。称P为有向完备偏序集，简称dcpo，如果对D的任意有向子集，D存在于P中。P的子集U是Scott开的，如果（i）U= ↑U，（ii）对于任何有向子集D，D存在，D∈U蕴涵D<$U/=<$。P的所有Scott开子集形成一个拓扑，我们称这个拓扑为P上的Scott拓扑，并用σ（P）表示。空间（P，σ（P））称为P的Scott空间，我们用P表示它。对于P中的两个元素x和y，x远低于y，用xy表示，如果对于任何P的有向子集D，其中D存在，y ≤D意味着D<$↑x/=<$。 我们让x={y∈P：xy}和x={y∈P：yx}。 P是连续的，如果对任意x∈P，C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219221←←←←←←→←←←←←←←←←←←←存在d1，d2∈D，使得y1≤d1，集合x是有向的，x=X. 一个连续的dcpo也称为domain。偏序集P中的元素x称为紧的，如果xx。P的所有紧元素的集合记为K（P）。偏序集P是代数的，如果对任意x∈P，K（P）<$↓x是有向的，且x =K（P）≠x。定义2.1（Mashburn [7]）设P是偏序集，x，y∈P.则x弱地低于y，记为xwy，如果对于P的任何有向子集D，存在，y=D蕴涵D<$↑x-是的如果P是连续的，则关系式w和P重合。命题2.2（Mashburn [7，8]）在偏序集P中，下列陈述对所有x，y，z∈P成立：(1) Xyxwy;(2) xwy<$x≤y;(3) x≤ywzxwz;(4) 当P有最小元素T时，拥有的一处房产 是x y≤z蕴涵x z. 这个属性对于w可能不成立。 对于w为真，当且仅当w和 巧合的是，Coecke 马丁在[1]中指出。对于x∈P，令wx={y∈P：xwy}且wx={y∈P：ywx}。定义2.3（Mashburn [7，8]）偏序集P称为正合的，如果对任意x∈P，wx是导演和wx= x. P是弱整环，如果P是正合dcpo，且关系w是弱递增的：对任意x，y，z，u∈P，xwy≤zwu蕴涵xwz.命题2.4dcpo P是正合的当且仅当对每个x∈P，存在有向子集Wx的D，使得 D= x。证据 我们只是证明了它的科学性。设x∈P且存在有向子集D的wx这样，D=x。 为了证实wx，设y1，y2∈wx，也就是y1，y2wx。 由于x=y2≤ d2。由于D是有向的，存在d∈D使得d1，d2≤d，使得y1，y2≤d。注意，d∈wx，因为Dwx. 这意味x是定向的。此外，本发明还提供了一种方法，因为x=D≤wx≤x，则x=wx. 因此，P是一个精确的dcpo。Q请注意，每个域都是弱域，因为 x是wx与x= x。与整环上的way-below关系一样，整环上的弱way-below关系也具有重要的插值性质。定理2.5（Mashburn [7，定理3.6]）若P是弱整环，则w在P中是插值的，即对任意x，y∈P，xwy蕴涵z ∈ P的存在性使得xwzwy.222C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219{bd：d∈D}。 从awb，可以得出a≤b<$d0满足连续，b=3Domain和弱Domain之间的关系更多在本节中，我们将提供某些类型的域之间的更多关系我们称其中任意两个元素都有一个下确界的dcpo为有向完备半格。一个有向完备半格P称为交连续的，如果对于任意x∈P和P的任何有向子集D，x≤D蕴涵x={x<$d：d∈D}.引理3.1若P是交连续有向完备半格，则P上的关系w和w重合.证据 设awb，D是P的有向子集，b≤ D. 因为P是对于某个d0∈D，因此ab。 简单地说，我们有一个b意味着一个wb。 因此w和一致。Q作为引理3.1的直接结果，我们有以下结果。命题3.2有向完备半格P是Domain当且仅当它是交连续弱Domain。2001年，Kou，Liu和Luo将交连续的概念推广到一般的dcpos[4].一个dcpoP是交连续的，如果对任意x∈P和任意有向集D，且x≤D，x∈clσ（↓D<$↓x），其中clσ是Scott拓扑的闭包算子.一个著名的结果是，每个域是满足连续的。人们自然会问，命题3.2是否适用于任何dcpo。在下文中，我们将以实证的方式回答这个问题引理3.3如果P是交连续弱整环，则关系w和P重合。证据 让ywx。 假设D是P的有向子集，使得x≤D.根据定理2.5，存在z∈P使得ywzwx.因为P是满足连续的，所以z∈clσ（↓z <$$>↓D），或等价地↓z= clσ（↓z<$↓D）。现在，对于每个序数α，我们归纳地定义P的子集AαA0：= ↓z <$↓D，A α：= ↓ { E：E是A β的有向子集}，如果α = β + 1，对于某个序数β，A α：= β< αA α，如果α是极限序数。则clσ（A0）={Aα：α是序数}.由于cl σ（A0）的基数小于P的幂集的基数，存在最小序数γ使得对所有γJ≥γ，A γ = A γ ′，因此cl σ（A0）= α≤γA α= A γ.我们注意到(i) β α意味着Aβ<$Aα;(ii) 对任意α≤γ，Aα<$<$z，因为Aα<$clσ（A0）=<$z;C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219223→→→→→→(iii) 对任意序数α，z∈Aα当且仅当Aα= clσ（A0）= ↓z.我们断言γ不是极限序数。 否则，z∈Aγ=α γAα意味着z∈Aα0对某个α0<γ，因此Aα0= clσ（A0）=Aγ，这是一个矛盾。我们称序数α具有F性质，如果Aα<$wy<$z<$$>蕴涵y∈ <$D.现在我们用transfinite归纳法证明了每个序数都有F性质(a) 如果存在u∈A0且ywu≤z，则y≤u∈ ↓D，因此y∈ ↓D。因此，0具有F属性。(b) 假设α具有F性质。 设u∈A α+1<$wy↓z. 然后有存在Aα的有向子集E，使得u≤E。 根据定理2.5，存在v∈P使得ywvwu。 由于vwu≤E≤zwx，它认为vwE，因此存在e∈E<$Aα使得v≤e。 注意ywv≤e≤zw意味着你是W。 既然e∈Aα<$y∈ ↓D. 因此，α+1具有F性质。wy<$<$z且α具有F性质，则(c) 设α是一个极限序数，β对所有的β α具有F性质. 让u∈A α<$wy↓z.由于u∈A α= β< αA β，存在β0<α使得u∈A β0。由于β0具有F性质，且u∈Aβ0F属性。wy<$<$z，则y∈ <$D。 所以α有通过transfinite归纳，对所有α≤γ，α具有F性质。特别地，γ具有F财产 注意z∈A γ<$wy<$<$z/=<$，使得y∈ <$D.以上结果表明，y X.相反的含义是平凡的。Q作为引理3.3的直接结果，下面的结果表明交连续性迫使弱域成为域。定理3.4交连续弱整环是整环.定义3.5 dcpoP被称为局部域（或一个局部代数域），如果对于每个x∈P，↓x是一个域（分别，代数域）。一个dcpo称为局部弱整环，如果对每个x∈P，↓x是一个弱整环.下面的命题是平凡的，因为dcpoP中的每个元素都在P的某个极大点之下。命题3.6 dcpo P是一个局部域（分别为， 局部代数域）当且仅当对于每个a ∈ Max（P），↓a是域（分别，代数域）。在[3]中，Jung证明了以下结果。定理3.7 [3，推论1.7]（1）局部整环是整环。(2)局部代数Domain是严格代数Domain。根据命题3.6，定理3.7，我们有推论3.8（1）dcpo P是整环当且仅当对于每个a ∈ Max（P），↓ a是整环。(2)A dcpo P是一个代数整环当且仅当↓a是一个代数整环a∈ Max（P）.下面的结果是微不足道的。224C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219←引理3.9设P是dcpo，x，y∈P，则y w x在P中当且仅当y wx在↓x中。根据引理3.9，我们有推论3.10 dcpo是弱整环当且仅当它是局部弱整环.对于dcpoP的子集G和H，G远低于H，用G表示H，如果任意有向集D，D∈ ↑H蕴涵D<$↑G如果对任意x∈P，- 是的 dcpoP是拟连续的fin（x）={↑F<$P：F是有限的，Fx}被过滤，↑x=fin（x）（见[2，定义III-3.2]）。注意，每个域都是拟连续域。一个dcpoP是拟代数的，如果对任意x∈P，comp（x）={F<$P：F是有限的，且FFx}被过滤，↑x=comp（x）（见[2，定义III-3.23]）。显然，每个拟代数整环都是拟连续的，每个代数整环都是拟代数整环.接下来的两个例子表明，拟连续域不一定是弱域，弱域也不一定是拟连续域。在下文中，符号N表示自然数的集合例3.11设P={<$n，i<$：n∈ N，i= 0， 1}<${T}。通过以下规则定义P(i) n，i∈≤n，j∈当且仅当n≤m且i=j;(ii) 当p∈P时，p≤T.那么P可以用图1表示。 很容易证明P是一个拟锥-连续域 然而，它不是一个弱域，因为wT= 0。图1.一、拟连续域但不是弱域例3.12弱整环不必是拟连续整环。设Q={m，n：m，n∈ N}<${<$ω，n<$：n∈ N}<${T}。通过以下规则定义Q上的一个阶：m，mJ，n，nJ∈N，(i) <$q∈Q，q≤T;C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219225← ← ←^^ ^您的位置：(ii) 当且仅当m≤n;(iii) m，n <$≤ <$ω，n<$;(iv) m，n∈≤mJ，nJ∈当且仅当m≤mJ且n=nJ.Q上的顺序可以由图2表示。 我们有以下事实：（q1）（q2）（q3）wT=Q\{T};w<$ω，n<$={<$m，n<$：m∈ N};w m，n = ↓m，n.因此，Q是一个弱域。但它不是拟连续的。设对Q的任意有限子集F，存在n0∈ N使得x<<$ω，n0<$且x<$m，n0<$对所有的x∈F和m∈ N.注意，<$ω，0 <$$>≤<$ω，n0<$$>={<$m，n0<$：m∈ N}，但{m，n0n：m∈ N} ↑F=。 因此，F/ω0 这意味着fin（<$ω，0 <$）=<$。因此，我们认为，Q不是一个拟连续域。图二、一个弱域但不是拟连续域一个dcpoP被称为局部拟连续域（分别为，局部拟代数域），如果对于每个x∈P，↓x是拟连续域（分别为，拟代数域）。注3.13（1）每个拟连续整环都是局部拟连续的。(2) 观察到图2的弱域（=↓T）不是拟连续的，因此不是局部拟连续的。因此，弱域不一定是局部拟连续域。(3) 在[9]中，证明了每个T1空间X都有一个局部拟连续区域模型，记为Zh（X）.一个重要的性质是X是sober当且仅当Zh（X）是sober。所以如果X不是sober，则226C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219Zh（X）不可能是拟连续的。因此，存在一个局部拟连续域，它不是拟连续的。定理3.14交连续局部拟连续Domain是Domain。C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219227→→现在我们证明D=x。由于D<$K（P）<$↓x，所以D≤x是直接的。证据设P是交连续局部拟连续区域。设x∈P.则↓x是一个交连续拟连续整环，所以它是一个整环。 在3.7中，P是一个域。Q通过定理3.7、推论3.10、例3.11、3.12和注3.13，给出了整环、局部整环、拟连续整环、局部拟连续整环、弱整环和局部弱整环之间的关系.图3.第三章。（局部）整环、（局部）拟连续整环和（局部）弱整环之间的关系命题3.15[2，引理III-2.10]如果F是交连续的有限子集，dcpo P，则int σ（↑F）<${x：x∈F}.引理3.16设P是一个整环，F是P的有限子集，其中F为F。(1) F中的每个极小元都是紧的。(2) 如果Fx，则存在y∈F<$K（P）使得yx.证据 （1）设x是F中的极小元。 被FF，Fx。 因为P是a定义域x∈F= intσ（↑F）. 根据命题3.15，存在y∈F使得yX. 那么y=x，因为x在F中是极小的。 因此，xx。(2)当x∈F当且仅当F中存在极小（紧）元y使得y≤x。（1）是一个平凡的人。Q命题3.17每个交连续拟代数整环都是代数整环。证据设P是交连续拟代数整环。根据[2，定理III-3.10]，P是整环.设x∈P.根据引理3.16 ，对任 意 F∈comp （x）， 存在 y∈F<$K （P ）使 得yx。设GF={y∈F<$K（P）：yx}。因为P是拟代数的，所以族{↑GF：F∈comp（x）}是过滤的。然后，根据Rudin引理，存在一个有向集D{G F：F∈comp（x）}使得对所有的F∈comp（x），D<$GF/=<$。如果xAD，则存在F∈comp（x），使得D∈/F，这意味着DF=。 因此DG F=，这是一个矛盾。 因此，x ≤D.228C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219↓x<$K（P）是有向的，且x=↓xK（P）。 因此，P是一个代数域。Q注意D<$↓x<$K（P）是有向的，其中D=x。 那么我们可以推断定理3.18交连续局部拟代数整环是拟代数，域名。证据设P是交连续局部拟代数整环.设x∈P.则↓x是交连续拟代数整环，因此根据命题3.17，它是代数整环。 通过3.7，P是一个代数整环。Q4在弱辅助关系中定位关系w在这一节中，我们定义了一个新的辅助关系，对应于弱way-below关系，并使用它来刻画正合dcpos。定义4.1偏序集P上的二元关系称为弱辅助关系，或简称为w-辅助关系，如果对所有x，y，z∈P：(i) x≠y蕴涵x≤y;(ii) x≤y<$z蕴涵x<$z;(iii) 当P中存在最小的元素时，P上所有w-辅助关系的集合记为WAux（P）。注4.2（1）w-辅助关系和辅助关系（见[2，定义I-1.11]）之间唯一的区别是w-辅助关系可能不是递增的：x<$y≤z可能不隐含x<$z。(2) 弱way-below关系是w-辅助的。(3) 集合WAux（P）是一个偏序集，相对于图的包含，作为P×P。最大的元素是关系≤自身。如果P有最小的元素则WAux（P）有一个最小的元素，由x∈0y给出，当且仅当x= 0。此外，WAux（P）在P × P的幂集上的任意非空交下是闭的.因此，当P的最小元素存在时，WAux（P）是一个完全格。对于偏序集P，我们用Low（P）表示P中所有下集的集合。命题4.3设P是偏序集，Φ（P）是所有映射s：P−→低P对所有x ∈ P满足s（x）<$↓x。则指派<$→s是从WAux（P）到Φ（P）的定义良好的同构，其逆将每个映射s∈Φ（P）发送到由下式给出的关系式x≠y当且仅当x ∈s（y）。证据设P是P上的一个w-辅助关系。则s（x）是一个下集，定义如下：4.1（ii），并包含在定义4.1（i）的↓x所以，在Φ（P）中，C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219229←←←←我∈assignment→s显然是保序的。相反，如果s∈Φ（P），则s（x）<$↓x意味着φs满足定义4.1（i）。此外，如果x≤y<$sz，则y∈s（z）。因为s（z）是一个下集，所以x∈s（z），意味着x<$sz。因此，定义4.1（ii）是满足的。 定义4.1的条件（iii）是即时的。因此，赋值s›→s是定义良好的，并且它显然是保序的。注意，x是 y当且仅当x∈s<$（y）当且仅当x<$y。 此外，本发明还提供了一种方法，s∈s（x）={y∈P：y∈sx}={y∈P：y∈s（x）}=s（x）.因此，这两个赋值是彼此相反的。Q引理4.4设P是dcpo，x∈ P。（1）wx={I∈Id（P）：x=I};(2) 赋值x<$→wx是命题4.3中定义的Φ（P）的成员(3) 对于每个理想I∈Id（P），映射mI：P−→Low（P）由下式给出：m（x）：=0， 如果x=I，(4)在Φ（P）中;wx = Φ（P）{m I（x）：I ∈Id（P）}.↓x，否则证据 我们只检查（4），因为（1）-（3）是显而易见的。 事实上Φ（P）{mI（x）：I∈Id（P）}={mI（x）：I∈Id（P）}={mI（x）：I∈Id（P），x= I}<${mI（x）：I∈Id（P），x={I∈ Id（P）：I∈Id（P），x=I} ↓xI}=wx，完成证明。Q定义4.5dcpoP上的w-辅助关系是近似的，如果对于每个x在P中，集合s<$（x）={y∈P：y<$x}是有向的，并且x=s<$（x）。引理4.6设P是dcpo，且I ∈ Id（P）. 那么下面定义的关系式I是一个近似的w-辅助关系：x，y∈P，y∈Ix惠y∈m I（x）.证据 很容易检验上面定义的W-I是一个w-辅助关系。我们现在检查它是近似的。设x P.有两种情况：(1) 如果x=I，则{y∈P：y<$Ix}=mI（x）=I=x。230C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219(2) 如果x I，则{y∈P：y<$Ix}=mI（x）=↓x=x。C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219231←←←^^P^={（x，d）：x∈P，d∈Max（P）andx≤Pd}，因此，对于所有x∈P，{y∈P：y<$Ix}=x，因此<$I是近似的。Q命题4.7对于dcpo P，P上的弱way-below关系是P上所有近似w-辅助关系的交。证据 设xwy和λ ∈ WAux（P）是逼近的. 由于{z∈P：z<$y}是有向的且y={z∈P：z<$y}，存在z∈P使得x≤z<$y，这意味着x<$y。因此，w包含在中。此外，根据引理4.6，我们有wx={mI（x）：I∈Id（P）}<$ {s<$（x）：<$is approximating}，其中s∈（x）={y∈P：y<$x}。 因此，关系w是以下的交集：P上的所有近似w-辅助关系Q定理4.8对于dcpo P，下列陈述是等价的：(1) P是正确的。(2) 关系w是P上的最小逼近w-辅助关系(3) P上存在最小的逼近w-辅助关系5T1空间的弱区域模型现在让• 哪些拓扑空间有弱域模型？在本节中，我们将证明每个T1空间都有一个弱域模型，这回答了上述问题。我们使用的关键工具是由赵东升和习晓勇[11]引入的Xi-Zhao模型。在文献[10]中，Zhao证明了每个T1空间X都有一个有界完备代数偏序集模型.这个模型是通过使用X的开集的所有过滤族的集合与非空交集来构造的。对于每个有界完备代数偏序集P，Xi和Zhao[11]构造了一个dcpoP：其中≤P是nP上的偏序，且nd（x，d）≤（y，e）inP^当且仅当d=e且x≤PY，或y=e且x≤Pe。他们证明了Max（P）和Max（P）是同胚的，表明每个T1空间都有一个dcpo模型（Xi-Zhao模型）。定义5.1设P是偏序集。(1) 一个元素x∈P称为弱紧的，如果xwx. 用Kw（P）表示所有弱紧元的(2) 称P为弱代数偏序集，如果w是弱增的，且对任意x∈P，集合Kw（P）≠wx是有向的且x = K w（P）<$wx.弱代数dcpo也称为弱代数整环。注意，每个弱代数Domain都是弱Domain，并且每个交连续弱代数dcpo都是代数的。232C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219←^- -^^^^{∈}P- -^证据 （1）设D是P的有向子集，使得z=PD.因为P是P{u∈K（P）：u≤PY}. 通过xwy，x≤Pu，对任意u∈K（P）代数，y=接下来，我们将证明为每个T1空间构造的Xi-Zhao模型是一个弱代数域（因此是一个弱域）。注5.2关于由有界完备代数偏序集P构造的dcpoP的下列事实将在后面使用。(i) 若D是P的有向子集且没有最大元，则存在d∈Max（P）和P的有向子集{xi：i∈I}使得D ={（xi，d）：i∈I}，此时D =（P{xi：i∈I}，d）.(ii) P的极大点集等于{（d，d）：d∈Max（P）}。引理5.3设P是弱代数偏序集P，且（x，d）∈ P.(1) x∈Kw（P）当且仅当（x，d）∈Kw（P）;(2) 如果x∈/Kw（P），则n（y，e）w（x，d）当且仅当ywx且d=e;(3) 对任意（y，e）∈P，（x，d）w（y，e）蕴涵xwy.证据（1）设xwx，D是P的有向子集，（x，d）= D. 若（x，d）∈/D，则由注5.2可知，存在P的有向子集{xi：i∈I}满足D ={（xi，d）：i∈I}且D =（P{xi：i ∈I}，d）. 因此x =P{x i：i∈I}。由于xwx，对某个i0∈I，x ≤ Pxi 0. 这意味着（x，d）≤（xi0，d）∈ D，因此（x，d）w（x，d）。另一个方向，（x，d）w（x，d）意味着xwx，是平凡的。(2) 假设（y，e）w（x，d）. 首先，设D = Kw（P）wx. 誓，设x∈/Kw（P），我们有x∈/D，因此d∈/D。 P是弱代数偏序集，D是有向的且PD= x.因此，集合{（z，d）：z∈D}是有向的，（x，d）=（{（z，d）：z∈D}. 由于（y，e）w（x，d），存在z0∈DPD，d）=使得（y，e）≤（z0，d）。因此e=d，因为z0/=d。现在假设S是一个P的有向子集，x= S 然后 （z，d）：zS是的有向子集P和（x，d）={（z，d）：z∈S}。对于（y，e）w（x，d），存在z0∈S使得（y，e）=（y，d）≤P（z0，d）.因此y≤Pz0。因此，ywx。通过使用注释5.2中的（i），可以直接进行逆运算。(3) 通过使用注释5.2中的（i），它是直接的。Q引理5.4设P是一个代数偏序集。(1) 如果xwy ≤ Pz，则xwz。(2) 若P上的（x，d）w（y，e）≤（u，f）w（v，g），则有（x，d）w（u，f）.且u≤Py。 请注意，u≤Pz=PD，因此存在v∈D使得u≤Pv，这意味着x≤Pv。所以xwz。(2)首先，根据引理5.3（3），xwy≤Pu。通过（1），xwu.我们考虑以下情况：情形1：u∈Kw（P）.C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219233^^引理5.3（1），（u，f）w（u，f）。 通过（x，d）≤（u，f），我们有（x，d）w（u，f）命题2.2（3）。情形2：u = f。在这种情况下，（u，f）=（f，f）∈Max（P），因此（v，g）=（u，f），（u，f）w（u，f）。根据命题2.2（3），我们有（x，d）w（u，f）。情况3：x=d或y=e。案例2的类似论点也适用。情形4：u∈/Kw（P），u/=f，y/=e且xd.通过（x，d）≤（y，e）≤（u，f），我们有d=e=f。通过xwu和引理5.3（2），（x，d）w（u，f）.Q作为引理5.3，5.4的推论，我们得到以下结果。推论5.5对于一个代数偏序集P，P是一个弱代数整环。将推论5.5应用于T1空间的Xi-Zhao模型，得到了我们的主要结果.定理5.6每个T1拓扑空间都有一个弱代数Domain模型.6结论(1) 让我们注意到，图3的代数情况的模拟也成立，即，代数域惠局部代数域⇒⎧⎨⎩局部弱代数Domain惠弱代数Domain拟代数Domain局部拟代数Domain所有这些概念在交连续dcpo中是一致的。(2) 如果一个dcpoP的Scott空间是良滤的，那么它就被称为良滤的（关于良滤的定义，见[2]）。文[9]证明了T1空间X是良滤的当且仅当它的Xi-Zhao模型是良滤的.如文[9]中所指出的，存在一个T1空间是非良好过滤的，因此它的Xi-Zhao模型是一个弱Domain（甚至是弱代数Domain）是非良好过滤的。(3) 在[7]中，Mashburn证明了每个第一可数空间都有一个弱Domain模型。我们的定理5.6表明Msh-burn结果中的条件现在我们可以说，一个空间有一个弱域模型当且仅当它是一个T1空间，回答了马什伯恩(4) 利用定理3.4证明了交连续弱整环是一个域.然而，以下问题仍然是未知数：• 交连续正合dcpo是整环吗？234C. Shen等人/理论计算机科学电子笔记345（2019）219确认作者感谢湖南大学博士生李辉指出了我们最初定义弱代数域的错误。我们感谢江苏师范大学教授席晓勇提出的宝贵意见。此外，我们感谢匿名的审稿人仔细检查了原始草案，并为我们提供了许多有益的改进建议引用[1] B. Coecke和K. Martin，A partial order on classical and quantum states，Oxford UniversityComputing Laboratory，Research Report PRG-RR-02- 07，2002年8月。[2] G. Gierz，K. H. Hofmann，K. Keimel，J. D.劳森，M。Mislove和D. S. Scott，Continuous Lattices andDomains，Cambridge University Press，2003.[3] A. Jung，Cartesian Closed Categories of Domains，CWI Tracts vol. 66，Centrum voor Wiskunde enInformatica，Amsterdam 1989.[4] H.库，Y。M. Liu和M. K.罗，论满足连续dcpo，域和过程II，计算中的语义结构，Kluwer，2001。[5] J. D. Lawson，极大点空间，数学。结构. Comput. Sci. 7（5）（1997），543[6] K. Martin，Topological games in domain theory，Topology Appl.129（2）（2003），177-186.[7] J. Mashburn，有序集上三种拓扑的比较，拓扑学报。奥本大学31（2007），1[8] J. Mashburn，线性序拓扑空间和弱域表示，拓扑学程序。35（2007），149-164.[9] X. Xi和D.赵文，适充空间及其dcpo模型，数学，结构，计算。Sci. 27（2017），507-515.[10] D.赵，拓扑空间的偏序集模型，国际定量逻辑和软件量化会议论文集，GlobalLink出版社，页。229[11] D. Zhao，X.Xi，T1空间的有向完备偏序集模型，数学.Proc. 坎伯。腓Soc. 164（2018），125-134.