þþHOS T E D B Y可在www.sciencedirect.com网站上查阅计算设计与工程学报3（2016）312www.elsevier.com/locate/jcde压电驱动曲柄滑块机构的动力学分析与控制器设计Samin Akbaria，n，Fatemeh Fallahib，Tohid Pirbodaghiaa美国马萨诸塞州剑桥市马萨诸塞大道77号麻省理工学院机械工程系b加拿大埃德蒙顿阿尔伯塔大学接收日期：2016年3月9日;接收日期：2016年5月20日;接受日期：2016年5月23日2016年6月3日在线发布摘要本文研究了一种带有灵巧柔性连杆的曲柄滑块机构的动力学特性研究了曲柄长度、连杆弹性系数、滑块质量等参数对机构动态特性的影响提出了两种控制方案，既能抑制柔性连杆的弹性动力学振动，又能使曲柄角速度保持恒定。第一个方案是基于反馈线性化方法和第二个是基于滑模控制器。输入信号由位于曲柄接地接头处的电动机和粘合在连杆上下表面的两层压电膜施加。这两种控制器都成功地抑制了弹性连杆的振动&2016 年 CAD/CAM 工 程 师 协 会 。 出 版 社 ： Elsevier 这 是 一 个 在 CC BY-NC-ND 许 可 证 下 的 开 放 获 取 文 章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：1. 介绍高运行速度、高可靠性和精确的性能是现代工业机械和商业设备的主要特征。传统的刚体分析假设运行速度较低，不足以描述这种高速系统的性能。有必要对基于多体系统（如曲柄滑块机构）的高速运行的现代机器的动态行为进行全面了解。一些研究人员已经致力于开发具有这些机制的合适制剂。Neubauer等人本文在忽略纵向变形、加速度的科里奥利瓦分量、相对切向分量和相对法向分量的情况下，研究了曲柄滑块机构弹性连杆的横向变形Hsieh和Shaw研究了弹性连杆的非线性共振问题，n通讯作者。联系电话：1 617 810 9643;传真：1 617 810 9642。电子邮件地址：sakbari@mit.edu（新加坡）Akbari）。同行评审由CAD/CAM工程师协会负责。（二）《易经》。他们研究了连杆作为一个具有软化型非线性的系统的行为，该系统受到外部和参数激励。Chen和Chian研究了曲柄长度对阻尼柔性连杆动力特性的影响[3]。Zheng等人和Muvengi等人考虑了关节间隙的影响，Reis等人在机构的动态分析中增加了摩擦的影响[4柔性机构动力学模型的复杂性和高度的非线性使其难以控制。一些研究人员试图减少或消除由一个或多个柔性连杆引起的柔性机构的振动[7Karkoub和Yigit设计了一个带有可伸缩耦合器的四杆机构的控制器。他们的闭环系统能够在输入链接级别跟踪规定的运动。PD控制器能够将机构移动到所需位置并吸收弹性动力学振动[10]。Karkoub还开发了基于μ综合的控制器，用于抑制与非常灵活的连杆相关的曲柄滑块机构的弹性动力学振动Sannah和Smaili设计了一个多变量最优控制器的四杆机构与一个可伸缩的耦合器使用有限http://dx.doi.org/10.1016/j.jcde.2016.05.0022288-4300/2016 CAD/CAM工程师协会。&出版社：Elsevier这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。S. Akbari等人/计算设计与工程学报3（2016）312313nð Þ¼--Σ.ΣC2DT联系我们拉吉我Icθ100μAR R dx2msXB7sin θxdcosDT命名法RLθψqitFiIC一McEI女士ρHd31τi！ξ曲柄长度连杆长度曲柄角连杆相对于柔性曲柄滑块机构的基本振动模式的角度非保守力在系统偏转矢量！XB连杆滑块质量曲柄质量、外刚度、材料密度、连杆半径介电系数施加到压电元件连杆端点速度单元动力学模型使用一对压电陶瓷传感器/致动器[12]在实验测试台上实现了结果。使用模式求和技术，由下式给出了确定w：本文着重研究了各种机构参数对曲柄的动态特性和转动的影响考虑到连杆的横向变形。iX¼1 罪 .iπxπ qi4即使没有外部激励，曲柄的旋转也会激励连杆并引起振动。我们成功地抑制振动的弹性连杆使用两个压电致动器和非线性控制器设计的反馈线性化和滑模。其中Q1，t是弹性曲柄滑块机构的振动模式。为了推导出用于可伸缩机构的模型，使用欧拉-拉格朗日方程。让L T U，其中T和U分别是系统的动能和势能。运动方程可使用以下方程获得D.L我ð5Þ用欧拉-拉格朗日方法推导了一种弹性曲柄滑块机构的运动方程[13 - 17]。该机构被假定为在水平面内运动，纵向变形可以忽略不计。具有可伸缩连杆的曲柄滑块机构的示意图如图1所示。机构参数定义如下：r为曲柄长度;L为连杆长度; θ为连杆长度;是曲柄角;θ是连杆相对于式中，F i为非保守力，τi为施加在系统上的扭矩，是检测向量。半分之一;半分之二;：：：;半分之一;半分之一;半分之二;：：：;半分之一;半分之二;：：;半分之一;半分之二;：：;半分之一;半分之二;：：;半分之一;半分之一;半分之二;：：;半分之一;半分之一;半分 之 一; 半 分之二; ： ：;半分之一;半分之一;半分之二;半分之一;半分之二;半分之二;半分之二;：：;半分之一;半分之二;半分之一;半分之二;半分之二;半分之二;半分之二;半分之二;半之一;半分之二;：：;半分之一;半之一;半分之二;然后计算系统的动能：1-2 1Z1！！第一章第二章0地面; x和w分别是连接杆上任何一点的x和y坐标。e`1 ！e2坐标系柔性连杆上任何一点的位置（图1）由下式给出：其中m，s是滑翔机的质量，！XB是连杆端点的速度，Ic是曲柄的转动惯量，ρ;A分别是连杆的密度和横截面。！！！--_dcos2R¼！r！x！W等于！！ð1ÞRR¼-rθsinθw_- 是的rθ_cosθw_cosxw单音节词w-xDTdsin2DTð8ÞRrcos θw cosxcos i。Σþðrsinθþwsinψ—xsinψÞ！Jð2ÞB ¼-rθ_þð9Þ的端点的位移的y分量，连接杆在xl的，这可以通过采取位移矢量的比例积获得！R和！j等于零。因此然后，使用曲柄滑块机构的完整约束省略从属坐标ω（Eq. （3））。该机构的势能由下式给出：L2. 机制建模我！Xw¼！我314S. Akbari等人/计算设计与工程学报3（2016）312Z0单罪-1rsinθLð3Þ1LU¼2EI2012年2月2日X2dxmgrsinθ10.ΣS. Akbari等人/计算设计与工程学报3（2016）312315þ¼¼¼¼¼1表1机制可变定义值R曲柄长度10厘米L连杆长度30厘米MS滑块质量0.5 kgMC曲柄质量2（ρ）（π）hrEI灵活性0.2ρ材料密度7850H杆的半径0.02厘米Fig. 1. 曲柄滑块机构对于单模模型研究了连杆弹性系数、曲柄长度和滑块质量对机构动态特性的影响。3.1. 曲柄长度相对于连杆长度的小曲柄角导致较小的振动幅度和更周期性的结果。3.2. 滑块质量随着滑块质量的减小，连杆的振动幅度增大，并且机构的曲柄角和振动幅度都3.3. 连杆的灵活性2EI. π4Zl2πx2EI：I.πΣ4增加EI，导致更严格的机制，并且U ¼ q 12LR罪0ldx¼q14l振动幅度如预期的那样减小。 相平面θ的图显示了更周期性的响应。mcg2sinθ其中EI是硬膜外硬度。曲柄滑块机构的n 1个运动方程可以写成下面的格式。现在，使用所定义的势能和动能，并引入拉格朗日量和求导，曲柄滑块机构的运动这种形式MB;_GF12其中M是质量矩阵，其是对称的，B涉及科里奥利和离心力项，G包含重力和势能项，F表示施加到机构的摩擦力，τ是曲柄处的施加扭矩。然后利用MATLAB软件的ODE函数对运动方程进行数值求解。因此，方程首先在状态空间模型中重写。3. 动态行为在这一部分中，机构的参数对系统的动态响应的影响进行了研究。对于连杆，考虑单一模式。由于连杆可以建模为销-销杆，因此单一模式就足够准确。动态分析中使用的机构参数列于表1中。3.4. 曲柄等速考虑曲柄的恒定角速度消除了一个二阶微分动力学方程，因为曲柄角在每个时间都是已知的。 在这种情况下，连杆的振动幅度是关注点。研究了曲柄角速度恒定时，振幅随机构参数变化的频率响应。连杆的振动幅度相对于无量纲曲柄角速度绘制（图1和图2）。 2- 4）。ω EIπ4Ωω;ω1¼ρAL4μ13μ其中ω1是销-销梁的第一固有频率 当Ω1时，机构发生共振。取决于机构的参数，在共振频率处的振动的拾取值不同。在Ω1处的相平面响应如图所示。 5，这表明焦点不稳定，并阐明了机制的不稳定性。对于小曲柄长度，连杆振动振幅的频率响应如图6（r0.003 m，ms 0.5 kg）。考虑到机构的参数，对连杆振动的频率响应进行了比较研究（图1）。 7）。Pick of316S. Akbari等人/计算设计与工程学报3（2016）312一a a bγ 6E w t¼图二、（a）θ（r<$0.003）的相平面图，（b）θ（r<$0.1）的相平面图，（c）q1（r<$0.003）的相平面图，（d）q1的相平面图（规则1）。共振随着曲柄长度的增加而放大。此外，足够大的曲柄长度导致机构在高频下的不稳定性换句话说，增加曲柄长度会降低临界角速度。然后绘制振动振幅的相平面图，并对每个Ω进行比较。4. 控制器设计为了设计抑制柔性连杆弹性动力振动的控制器，设计了两种控制器。一种是基于反馈线性化技术，另一种是滑模控制器，这是一种鲁棒控制方法。该方程考虑了曲柄的速度，只考虑了弹性连杆机构的位移及其导数。对于这种情况下，滑模控制器的实施，以消除和抑制非常灵活的连杆的振动。输入控制信号被认为是由一个电机设计的曲柄地面关节，和两层压电薄膜粘结到顶部和底部表面的连杆。压电元件在梁上施加分布力矩，该分布力矩与施加在压电元件上的电压成比例。该力矩取决于多个参数，例如压电元件和连接杆的介电系数、弹性和厚度。力矩值由[18，19]给出推导了两类动力学方程。在第一个曲柄角及其导数被认为是状态的动力学方程，并耦合到M1½磅E，带tt γΛ;γ<$Ebwbtb一 a a第31天不V14柔性连杆。针对这种情况，设计了一种基于反馈控制的控制器，抑制了柔性连杆的弹性动力学振动，使曲柄转角和角速度跟踪期望的正弦轨迹。在第二动力学方程中，式中Eb、wb和tb 分别为铝梁的弹性模量、Y向厚度和Z向厚度。Ea、wa和ta是压电致动器的弹性模量和厚度。d31是介电系数，V表示施加到压电元件的电压。一S. Akbari等人/计算设计与工程学报3（2016）31231711212图三. (a)θ（ms< $5）的相平面图，（b）θ（ms<$0.5）的相平面图，（c）q1（ms<$5）的相平面图，和（d）q1的相平面图（ms 1/40.5）。在推导动力学方程时重新考虑欧拉-拉格朗日方法，该力矩作为方程右侧的力矩出现，该力矩与本研究中被视为控制作用的可伸缩连杆的变形有关（图1）。 8）。当恒定输入扭矩从电动机施加到曲柄时，机构的开环响应如图9所示，图9表示柔性连杆的中点图。电机的扭矩只出现在第一个该机构使用状态反馈并向系统施加适当的输入扭矩。在本节中，除了获得曲柄的恒定角速度之外，还旨在抑制弹性连杆的振动这意味着曲柄跟踪所需的正弦路径。电机施加反馈线性化方法计算的扭矩之一，另一个由压电元件在施加适当电压时施加。与曲柄角度由于运动方程的 可伸缩的滑块τ¼θ€-kθ~_-kθ~ð15Þ曲柄联接在一起时，曲柄的旋转引起连杆中的振动。4.1. 基于反馈线性化方法的其中θdes是曲柄角期望跟踪的路径，θ~是跟踪误差。τ2¼-k0q_1-k0q116期望q1等于零，因此q等于0; q~1/4q1。其主要思想是消除曲柄滑块机构动力学方程中的非线性项k1;k2是保证所需的系统的闭环响应特性。选择des318S. Akbari等人/计算设计与工程学报3（2016）312n见图4。（a）θ（EI<$0.2）的相平面图，（b）θ（EI<$20）的相平面图，（c）q1（EI<$0.2）的相平面图，（d）q1的相平面图（EI 20）。见图6。 振幅的频率响应函数。k1ω2临界阻尼响应获得。机构的闭环响应为图五、在Ω1处振动振幅的相平面图在图10中绘制。控制器在一秒钟后打开。S. Akbari等人/计算设计与工程学报3（2016）312319÷÷2ð Þ2dtMð Þ2dt见图7。频率响应对机构参数的依赖性。曲柄角的变化也确定了曲柄的周期性期望路径。4.2. 滑模控制器设计滑模控制是一种变结构控制方法，也是一种鲁棒控制方法。在该方法中引入了符号简化，使得n阶问题可以用等价的一阶问题来代替，从而更容易控制。时变曲面s（t）由标量方程sx;;t^0，其中sx;tq~_1λq~1017其中q~1是跟踪误差。在曲柄滑块机构的弹性振动抑制中跟踪q~1-0的问题等价于逼近滑动面并停留在其上，s0实际上是一个线性微分方程，其唯一的平衡点是q~0。一个正定的Lyapanov函数定义为：18年前，V的导数表示系统的稳定性和跟踪性。V_s1ds2s：s_ð19Þ然后，输入控制信号被设计为满足以下条件见图8。 在特定角速度下的下冲。_1d2V/ s±2dt s ¼s：s_r-ηjsjð20Þ上述不等式表明，由s2测量的到表面的平方距离沿着所有系统轨迹减小。因此，它约束轨迹指向滑动表面s t。基于Eq.在假定角速度恒定的情况下，将公式（20）Mq€1Bq1;q_1τ2）q€1Fq1;q_1u21式中，F1/4-B;和τ2/4M：usx;tq~1λq~1022V_s_ d1ds21s：s_r-ηjsj见图9。弹性连杆中点位移的开环响应。so0;u/n-F-λq_ 1s40; u1-η-F-λq_1ð23Þ结果表明，所设计的控制器有效地抑制了柔性连杆的弹性动力学振动，使曲柄转角和角速度按要求跟踪所需的正弦轨迹。相平面图当量（23）暗示了系统的不同控制律。闭环响应表明，系统的轨迹接近滑模面，并试图停留在它。由于相关的控制切换的实施不是瞬时的，抖振发生，这是不希望的，（）下320S. Akbari等人/计算设计与工程学报3（2016）312图10个。（a）曲轴转角的闭环响应（通过反馈线性化方法），（b）θ_的闭环响应（通过反馈线性化方法），（c）中点检测的闭环响应（用反馈线性化方法），（d）q_1的闭环响应（用反馈线性化方法），(e)θ的相平面图，（f）q1的相平面图。实践中，因为它涉及高控制活动和故障的压电致动器（图。 11）。为了消除抖振，本文提出了一种新的基于Filippov等效动态构造方法的控制律。在到达滑动表面的轨迹之后，可以被解释为连续控制律的等效控制信号u_eq被应用于系统。 基于滑模方法并考虑Filippov方法的系统的闭环响应绘制在图1和图2中。12和13所示消除了抖动在该系统中，λ被选择为3并且η=0： 5。曲柄的角速度为ω1/20：4ω1。5. 结论本文研究了具有柔性连杆的曲柄滑块机构的动态特性。采用欧拉-拉格朗日法和模态求和法推导了机构的运动方程。系统的动态响应取决于机构的动态特性S. Akbari等人/计算设计与工程学报3（2016）312321见图11。 弹性动力学振动的相平面图。图12个。（a）q 1的闭环响应，（b）q1的闭环响应。增加曲柄长度会增加共振时的截齿值，并且还会降低临界速度，这会使机构不稳定。采用两种控制方案对柔性连杆进行弹性动力学振动抑制。第一种方案是基于反馈线性化和第二个是一个滑模控制器。然后，考虑Filippov的方法，改善了滑模控制器的性能，消除了抖振。控制动作由曲柄接地接头处的电动机和粘合在连杆顶面和底面的两层压电膜施加图十三. q1的相平面图（消除了颤振）。参数研究了曲柄长度、连杆弹性和滑块质量对系统动态特性的影响。增加曲柄长度导致更高的振动幅度和机构的不可预测运动。减小滑块质量和增加连杆的可伸缩性得到相同的结论。注意频率响应函数，引用[1] Khemili I，Romdhane L.含间隙曲柄滑块机构的动力学分析。EUR. J.Mech-A/Solids 2008; 27：882-98.[2] 谢先生，肖先生。弹性连杆的动力稳定性与非线性共振：单模态模型。J.声音振动1994; 170：25-49.[3] 陈仁山、朱贤.曲柄长度对弹性连杆动态特性的影响。ASME J. 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