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2理论计算机科学电子笔记120(2005)3-16www.elsevier.com/locate/entcs关于Hahn-Banach扩张瓦斯科·布拉特卡1开普敦大学应用数学系南非摘要经典的哈恩-巴拿赫定理指出,任何定义在赋范空间的线性子空间上的线性有界泛函都允许对整个空间的保范线性有界扩张。这一定理的建设性和计算内容已经研究了主教,桥梁,Metakides,Nerode,海岸,Kalantari,唐尼,石原和其他人,它是已知的,该定理不承认一个一般的可计算版本。我们证明了这个定理的一个新的可计算版本,而不展开定理本身的经典证明。更确切地说,我们研究了将每个泛函和子空间映射到集合的一致扩张算子的可计算性相应的扩展。事实证明,这个算子在定义良好的意义上是上半可计算的。通过应用Banach-Alaoglu定理的可计算版本,我们可以证明计算Hahn-Banach扩张不会比在紧致度量空间上找到零更难。这使得我们可以得出结论,哈恩-巴拿赫扩张算子是可计算的,但很容易看出,它不是一般的下半可计算的。此外,我们可以推导出可计算版本的哈恩-巴拿赫定理的泛函和子空间,承认唯一的扩展。保留字:可计算分析,有效描述集合论,可计算性1介绍Hahn-Banach定理是泛函分析中重要的基本定理之一(经典定理的证明见[11])。它保证了赋范空间上存在足够多的线性有界泛函。1电子邮件:BrattkaV@maths.uct.ac.za1571-0661 © 2005 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2004.07.0114诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)3定理1.1(Hahn-Banach定理)设X是赋范空间,Y∈X是线性子空间。任何线性有界泛函f:Y→R容许线性有界扩张g:X→R,||G|| =的||F||.相关陈述的版本首先由哈恩和巴拿赫独立证明。有一些标准的方法可以将这个结果推广到复数域C,这些方法也适用于计算版本,为了技术上的简单性,我们在本文中只考虑R众所周知,哈恩-巴拿赫定理在某些情况下等价于选择公理。虽然对于可分赋范空间,不需要选择的完全Ax-iom,但在这种情况下,该定理仍然是非构造性的。在构造性分析中,证明了它等价于数学界的有限原理(LLPO)和Kéonig引理[ 14 ]。类似地,在逆向数学中,可分的Hahn-Banach定理等价于Ko?nig引理a [ 20 ]。虽然这些结果表明,不存在一般的建设性版本,但至少存在某些建设性版本[17,18,2]。特别地,Bishop证明了一个完全构造性的“ε -版本”,其中范数保持被放松到||G||≤||F||[2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][1 这个版本可以转移到可计算的设置[17,18],我们将不在本文中讨论它。Metakides和Nerode [17]也证明了有限维空间的Hahn-Banach定理的以下可计算版本(我们用我们的术语表示)。定理1.2(Metakides和Nerode)设X是一个有限维可计算Banach空间,它有一个闭线性子空间Y<$X。对任意可计算线性泛函f:Y→R,其范数可计算||F||存在可计算线性扩张g:X→R,||G|| =的||F||.人们应该注意到,这个定理的证明必然是非构造性的,因为这个结果的统一版本并不成立(这是从已知的反例得出的,也见命题6.7)。此外,Metakides,Nerode和Shore [18]已经构造了一个可计算的反例,该反例表明相应的结果不能在一般的有限维空间中得到证明。对那些满足可计算的哈恩-巴拿赫定理(如定理1.2)的空间的进一步刻画将是一个有趣的结果。 Pour-El和Richards [19]在他们的第六个问题中提到了这个问题。我们不打算在本文中回答这个诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)352∅版本的哈恩-巴拿赫定理以及上界的Borel和图灵复杂性。令人惊讶的是,这个定理的证明并不需要经典证明的构造化,而只是一个我们的结果背后的我们的结果还允许导出足够的条件,导致新的可计算版本的哈恩-巴拿赫定理。这些条件表明,没有直接的特征,这些空间,允许一个可计算的哈恩-巴拿赫定理(在非一致的情况下)。我们结束了对本文的组织介绍一个简短的调查。在下一节中,我们将介绍一些来自可计算分析的数据。在第3节中,我们讨论了经典的证明哈恩-巴拿赫定理,我们将得出一个可计算的版本的唯一在第4节中,我们将导出哈恩-巴拿赫定理的第一个统一的可计算版本,该定理表明线性扩张集是对偶空间中的函数闭集(赋予一定的拓扑)。在第5节中,我们将通过采用Banach-Alaoglu定理的可计算版本将问题转移到紧度量空间来降低Hahn-Banach扩展的复杂性。第六节给出了Hahn-Banach扩张复杂性的上界结果。一方面,我们将证明扩张算子是可计算的,另一方面,我们将得出结论,任何单独的扩张是可计算的 最后,第7节再次致力于那些情况下,唯一确定的扩张,因此,可计算的。由于空间的限制,我们省略了大多数证明在这个扩展的抽象版本。2可计算分析的我们将从可计算分析的角度研究Hahn-Banach定理,这是基于图灵机的实数和其他拓扑空间的可计算性理论。图灵[22]、巴拿赫和马祖尔[1]、拉孔贝[16]和格热戈奇克[12]提出了这一理论的开创性工作。Pour-El和Richards [19]、Ko [15]和Weihrauch [23]最近出版了专著。在下文中,我们将假设对[23]中提出的基于表示的可计算分析方法的基本概念有一定的由于篇幅所限,我们只简略地概述我们所需要的其他概念,并请读者参阅[3,8]以获得更精确的定义。研究Hahn-Banach定理最重要的概念是可计算赋范空间的概念6诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)3Σi=0时|| ||这又是基于可计算度量空间的概念[3]。定义2.1 [可计算赋范空间]一个元组(X,||||,e)称为a可计算赋范空间,如果(1) || || : X → R is a norm on X,(2) e:N→X是一个基本序列,即它的线性跨度在X中稠密,(3)(X,d,α e),其中d(x,y):= ||x-y||和α ek,n0,., n kk k k:=k是具有柯西表示δX的可计算度量空间,αQ(ni)ei,(4)(X,δX)是R上的可计算向量空间(即线性运算和零向量相对于δX是可计算的)。如果在定义的情况下,底层空间(X,||||)甚至Banach空间,即如果(X,d)是完备度量空间,则(X,,e)称为可计算Banach空间。如果范数和基本序列从上下文中是清楚的或局部不相关的,我们将简短地说X是可计算赋范空间或可计算Banach空间。我们总是假设可计算赋范空间由它们的柯西表示来表示,它们关于范数拓扑是可容许 如果X是可计算赋范空间,则||||:X→R是一个可计算的函数。许多公共空间,如可计算p的lp当X是具有柯西表示δX的可计算度量空间时,我们得到连续函数f:X→R的集合C(X)的表示δC(X):= [δX→δR].这种表示对于C(X)上的紧开拓扑是可容许的,并且满足两个必要条件[23]:求值和类型转换是可计算的。根据定义,所有可计算赋范空间都是可分的。然而,许多经典的不可分赋范空间仍然可以在扩展的意义上被认为是可计算赋范空间(参见[7]对这个主题的讨论)。在这里,我们将特别使用对偶空间。定义2.2 [对偶空间]设(X,||||)是一个可计算赋范空间,设X→ R是线性有界泛函f:X→R的空间,赋以算子范数,定义如下:||F||:= sup ||X||=1个|f(x)|和表示δ X,定义为δ X p,q= f:δC(X)(p)= f和δR(q)= ||F||.注意,δX_n对于X_n上的范数拓扑一般是不可容许的,但对于某些较弱的拓扑是不可容许的(见[7])。当我们考虑与X相关的连续性时,我们赋予X由δX诱导的最终拓扑。我们用一些关于超空间的评论来结束这一节对于任何COM-诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)37KAS• A.S\∈AX1• A.∈ K• K• KS → A在可推知的度量空间(X,d,α )中,我们记为U_n , k_n:=B (α(n),αQ(k))--基本开球的个数(中心来自稠密子集,半径为有理).相应地,我们用Un,k:=B(α(n),αQ(k))表示闭基本球的个数(它们一般不同于开基本球的闭包Un,k)我们用(X)和(X)表示度量空间X的闭子集的集合,用(X)表示紧子集的集合。这两个超空间可以配备有几个不同的拓扑结构和相应的表示。我们只是总结了基本的基本思想,精确的定义可以在[8]中找到:<(X)表示关于“正信息”的闭子集A X的超空间,即某 个闭集A的名称由所有基本开集U的 枚 举 组 成 ,A∈ A<(X)的可计算对象称为r. e。 闭集,• S(X)表示关于“序列信息”的闭子集A∈X即某个闭集A的名称由A中稠密的序列f:N → X的δN>(X)表示闭子集A的超空间X关于“负面信息”,即某个闭集A的名称由某个基本开集Un的枚举组成,使得XA=∞n=0Un;计算结果表明,输入数据为A>(X)arecalledco-r. e. 关闭集,• A(X)表示关于“完全信息”的闭子集A<$X的超空间,即某个闭集A的名称由两种类型的信息组成:关于A(X)和A>(X);对应的可计算对象A∈ A(X)被称为递归闭集,>(X)表示关于“覆盖信息”的紧致子集K X的超空间,即某个紧致集K的名称由所有有限覆盖(U n 1,.,由基本开集Uni得到的K的可计算对象K>(X)被称为co-r. e。 紧凑集,(X)表示关于“全覆盖信息”的紧致子集K X的超空间,即某个紧致集K的名称由所有有限覆盖(U n 1,...,Unk)的基本开集Uni,具有附加性质,即任何Uni实际上满足K;对应的可计算对象K∈ K(X)称为递归紧集。注意id:(X)(X)对所有可计算度量空间都是可计算的,但其逆一般不是连续的(但在X是完备的情况下是可计算的)[8]。公司简介闭子集也被称为闭03唯一的病例本节的目的是回顾经典的证明哈恩-巴拿赫定理的可分离的情况下,并得出一个可计算的版本的唯一情况。主要的观察包括在下面的经典引理(证明见例如[11]),它描述了如何功能可以扩展一维。引理3.1设(X,||||)是赋范空间,Y<$X是线性子空间,x∈ X设Z是由Y ∈ {x}生成的线性子空间。 设f:Y → R为a8诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)3∈→⊆线性泛函||F||= 1。泛函g:Z→R,其中g|Y= f|Y是f的线性扩张,||G||= 1,当且仅当(f(u)-)||x-u ||f(v)= f(x)+f(x)||x − v||)的。u∈Yv∈Y读者应该注意到,该陈述在x Y的情况下也成立,因为在这种情况下不等式简化为等式f(x)=g(x)。 Metakides和Nerode1.2定理的证明直接基于这个引理,并进一步利用了有限维性[17]。对于那些扩张是唯一确定的情况,我们可以直接导出下面的Hahn-Banach定理的可计算版本。我们记得,可计算度量空间X称为有效可分的,如果存在可计算序列f:N→X在X中稠密。定理3.2(唯一扩张)设X是可计算赋范空间,Y∈X是有效可分线性子空间。对任意可计算线性泛函f:Y→R,其范数可计算||F||它允许唯一线性扩张g:X→R,||G|| =的||F||因此,这个扩展是可计算的。这个结果可以推广到一个统一的形式(见推论7.2),即把每个对(f,Y)映射到唯一确定的扩张的某个映射H现在的问题出现了这样一个可计算的H,潜在的多值,是否也存在于那些情况下,扩展不是唯一确定的?如果不是,H的不可计算度是多少?这里的关键点是,在非唯一的情况下,我们必须在引理3.1给出的区间内为任何一步扩张选择某个值g(x)显然,这个扩展一般来说既不是连续的,也不是一致可计算的,更糟糕的是,任何选择似乎都依赖于前一个。因此,我们需要一种有效的依赖选择。乍一看,似乎我们通过任何一步扩张都在Borel层次上攀升,这将导致扩张映射的相当高的不连续性和非连续性。然而,我们将在下面的章节中看到,我们可以做得比这更好,我们将通过同时研究所有扩展来同时估计所有扩展步骤的复杂性上界。4Hahn-Banach扩张映射对于任何函数f:XR和任何Y X,我们定义具有相同算子范数的线性扩张集:H Y(f):={g∈X<$:g|Y= f|Y和||G|| =的||F|Y||}。诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)39⊆›→C× S经典的Hahn-Banach定理指出:对于任意线性有界泛函f:Y→R和任意闭线性子空间Y,HY(f)是非空的。注意,在闭Y的情况下,我们可以通过Tietze扩张定理将任何线性泛函f:Y→R默认为连续函数f:X→R(然而,这种扩张不一定是X上的线性)。这甚至适用于可计算泛函和co-r.e.。利用Tietze扩张定理[24]的等价形式,构造了闭子空间Y.现在我们将研究映射(f,Y)HY(f)关于不同空间的可计算性。通过上面关于连续扩张的评论,我们可以在不失一般性和技术简单性的情况下,考虑以函数闭子集的超空间为目标的源空间(X)(X)空间一个集合被称为函数闭的,如果它是某个实值连续函数的零集。虽然任何函数闭集都是闭的,但相反的情况只适用于某些类型的空间。这些类包括完全正常的T1我们定义了这个概念的有效版本。定义4.1[更正] 函数闭集]设(X,δ)是一个可容许表示空间。 一个集合A X称为co-r. e。 函数闭,如果存在可计算函数f:X→R使得A=f−1{0}。对于可计算度量空间,很容易看出子集A X是co-r. e。函数闭的,当且仅当A是co-r. e。关门了下面我们用F(X):={A<$X:Afunctionalclosed}表示函数闭子集的超空间,我们赋予它表示δF(X),定义为δF(X)(p):=(δC(X)(p))−1{0}。现在很容易看出,泛函的所有线性有界扩张的集合是函数相关的。在X<$中闭的(注意任何A∈ F(X<$)被理解为关于X<$上的δX<$的最终拓扑是函数闭的,这通常与X<$上的范数拓扑不一致)。定理4.2对任意可计算赋范空间X,H:<$C(X)× S(X)→ F(X<$),(f,Y)<$→HY(f)其中dom(H)={(f,Y):Y且f |Y是线性的,||F |Y||= 1}可计算。从现在起我们将把前面定理中的映射H称为哈恩-巴拿赫扩张映射。即使源空间或目标空间稍微修改,我们也将使用相同的术语。现在,我们用公式表示一个非一致的推论。推论4.3对于任何可计算赋范空间X,其子空间Y∈X,和任何可计算线性泛函f:Y→R,其范数是可计算的||F||,则集合HY(f)是co-r. e.在X中关闭功能。10诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)3^^^^注意,严格地说,这不是前一个定理的推论。一方面,我们必须对零和非零泛函增加一个非一致的情况区分(如定理3.2的证明)。另一方面,我们不仅对闭子空间而且对任意子空间都给出了推论。这是证明的结果,而不是前一个定理的陈述。作为本节的一个好处,我们公式化了以下问题:计算线性泛函的哈恩-巴拿赫扩张不会比计算对偶空间上的零点更难5可计算的Banach-Alaoglu定理在前一节中,我们已经看到计算哈恩-巴拿赫扩张不会比计算对偶空间上的零更难。 不幸的是,可计算赋范空间的对偶空间是一个令人不愉快的地方,在这样的空间上计算零可能是一个相当困难的任务。为了减少复杂性,我们将采用一个计算版本的Banach- Alaoglu定理,它确保了单位球的对偶空间是在一定意义上紧。2定理5.1(可计算Banach-Alaoglu定理)设X是可计算赋范空间。然后有一个递归紧致的可计算度量空间X,使得对偶空间X的闭单位球B X<$:= B(0,1)可以作为一个co-r. e可计算地嵌入到X中。紧子集经典的Banach-Alaoglu定理的部分陈述是,由X在i(BX<$)上的子拓扑导出的BX<$上的拓扑是弱<$拓扑,但我们在这里不使用这个事实。在下文中,我们将默认地应用由巴拿赫-阿拉奥卢定理5.1的可计算版本存在的可计算嵌入i(在这个意义上,下面引理中的映射I确实将A映射到i(A))。引理5.2如果X是可计算赋范空间,则恒等映射I:<$F(X<$)→ K>(X),A→A在B X <$的子集上是可计算 的,即dom(I)={A∈ F(X<$):A <$B X<$}。前面的引理可以在没有Tietze扩张的情况下证明,如果BXX X是递归紧的,因此它本身是紧度量空间,那么这个定理和证明可以简化。我们还不知道在什么条件下会发生这种情况看来我们确实需要Hahn-Banach定理来证明BX∈ R是递归紧的,因此它应该是2从历史上看,它可能是更合适的称为可计算的巴拿赫定理,因为巴拿赫已经证明了经典的结果,可分离的情况。诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)311^^22222至少对于具有唯一确定的扩张的空间是这样的,这对我们目前的目的没有帮助。现在,将前面的引理与定理4.2相结合,可以得出下面的推论,这是本节的主要推论5.3(可计算的Hahn-Banach定理)对于任何可计算的赋范空间X,Hahn-Banach扩张映射H:<$C(X)× S(X)→ K>(X),(f,Y)<$→HY(f)其中dom(H)={(f,Y):Y且f |Y是线性的,||F |Y||= 1}可计算。再次,我们制定了一个非统一的推论(其中相同的评论,在推论4.3适用情况下)。推论5.4对于任意可计算赋范空间X,其线性子空间Y∈X是有效可分的,且任意可计算线性泛函f:Y→R具有可计算范数||F||,则集合HY(f)是co-r. e.在X中是紧的。作为本节的一个好处,我们可以重新表述上一节结尾处的观察:计算线性泛函的哈恩-巴拿赫扩张不会比计算紧致度量空间上的零点更难。6Hahn-Banach扩张在本节中,我们将使用可计算的Hahn-Banach定理(Corolary5.3),以获得Hahn-Banach扩张映射的Borel复杂性的上界。Borel可计算性(或等效Borel可测性)的概念在[4]中已经得到了研究。在这里,我们将使用一个稍微扩展的版本,它不限于波兰语空间。定义6.1[10-可计算性]设(X,δ X)和(Y,δ Y)为可表示空间。一个函数f:X → Y称为X 0-可计算的,如果有一个X 0 -可计算的,可计算函数F:<$NN→NN使得δY F(p)=fδX(p),对于所有p∈dom(fδX).应该注意到,这是[ 4 ]中使用的可计算性概念的保守扩展这是由[4]中的表示定理6.1得出的。我们的主要工具是下面的引理,它保证了在紧度量空间中将负信息转化为正信息并不太困难。引理6.2如果X是一个递归紧可计算度量空间,则恒等式id:K>(X)→ K(X)是可计算的。12诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)32222222222读者应该注意到,这个结果本质上依赖于下面的空间X是紧的这一事实,并且A>和A的类似结果只能对某些局部紧度量空间X(例如有限维欧氏空间Rn)证明现在我们将前面的结果与Choice:K(X)<$X,A<$→A是可计算的这一事实结合起来,以获得:引理6.3(选择)对于任何完备可计算度量空间X,存在一个可计算的选择函数choice:<$K >(X)→ X,其中choice(A)∈ A,对任何非空的A ∈ K >(X)。在下文中,我们将说函数h:<$C(X)×S(X)→X<$是一个Hahn-Banach选择,如果dom(h)=dom(H)且对任意(f,Y)∈dom(h),h(f,Y)∈H(f,Y),其中H表示Hahn-Banach扩张映射.即使h是多值的(h(f,Y)<$H(f,Y)),并且源空间和目标空间稍微修改,我们也将使用相同的术语。利用可计算的哈恩-巴拿赫扩张定理(推论5.3),我们得到以下推论。推论6.4(Borel复杂性)对于任意可计算赋范空间X,Hahn-Banach扩张映射可被认为是一个可计算的映射H:H(X)× S(X)→ K(X ^),并且是一个可计算的选择h:<$C(X)× S(X)→ X <$.我们可以得出结论,相同的纯拓扑结果适用于任何可分赋范空间。推论6.5对任意可分赋范空间X,Hahn-Banach扩张映射H:H =C(X)×S(X)→K(X^)可作为一个可解的可积矩阵映射,存在一个可测的Hahn-Banach选择h。有人可能会问,Hahn-Banach扩张映射H是否不仅是可计算的,而且是可完全的然而,Metakides,Nerode和Shore [18]的反例结合[4]中的不变性定理8.3已经表明,通常情况下这是不可能的(一个此外,委员会认为,通过不变性定理,可2 2算术层次)。 应用于h的实现器,我们可以得出结论,扩展g允许一个可计算的可计算的推论6.6(图灵复杂性)对于任何可计算赋范空间X,其具有递归闭线性子空间Y<$X和任何可计算线性泛函f:Y→R,其具有可计算范数||F||,存在一个可计算的诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)313^→ K → {}扩张g:X→R,||F|| =的||G||.现在,人们可以问,由前面的推论提供的Borel复杂性的上界是否是最优的,或者是否存在可计算的Hahn-Banach扩展映射。Bishop [2]、Metakides、Nerode和Shore [18]和其他人已经证明,Hahn-Banach Theo-rem不承认一个统一的可计算版本。然而,这些结果或多或少地表明,该结构在规范上是不统一的。我们可以使用Ishihara [14]的更简单的证明思想来证明构造在泛函和子空间中是不一致的(对于固定范数)。命题6.7对于Banach空间(X,||||),其中X = R2且范数||:= ||X|+的|y|不存在多值下半连续Hahn-Banach选择h:<$C(X)×A(X)<$X <$.|there exists no multi-valued lower semi-continuous Hahn-Banach selection h : ⊆ C (X) × A (X) ⇒ X∗.7又是独一无二的案子在本节中,我们将看到,我们也可以从我们的可计算Hahn-Banach扩张定理(Corolary5.3)中得出一些肯定的结果。特别是在那些扩张是唯一确定的情况这主要是由下面的引理得出的。引理7.1对于递归紧递归度量空间,>(X),xX是可计算的,并且允许部分可计算的右逆证明由[6]中的引理6.4得出。一方面,我们可以从这个引理和推论5.4直接导出定理3.2的第二个独立证明。应该注意的是,第二个证明采用了经典的哈恩-巴拿赫定理,但不需要分析其证明。我们还用公式表示了这个结果的统一形式,它是推论5.3和前面引理的一个推论推论7.2(唯一扩张)对于任何可计算赋范空间XHahn-Banach扩张映射H|U:<$C(X)× S(X)→ K(X),(f,Y)›→ HY(f)到U:={(f,Y):HY(f)是一个单例}是可计算的,它允许一个可计算的选择h|U:<$C(X)×S(X)→ X <$。刻画了常容许唯一扩张的赋范空间。 我们回想一下,一个赋范空间(X,||||)称为严格凸的,14诉Brattka/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 120(2005)3∞||||||∈||||||∈22如果x+y
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