随机变量序列的Sk-收敛性

FGKFGJournalof the Egyptian Mathematical Society（2015）23，85埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章随机变量序列的Sk-收敛性桑乔伊·戈萨尔数学系，Kalyani政府工程学院，Kalyani，Nadia 741235，西孟加拉邦，印度接收日期：2014年1月17日;修订日期：2014年2月27日;接受日期：2014年3月27日2014年5月10日在线提供摘要在本文中，我们继续研究Ghosal（2014）[1]中最近关于概率k-统计收敛和r阶k-统计收敛的概念，并引入分布k-统计收敛的概念。我们主要研究它们之间的相互关系和一些重要的基本性质。2010年数学学科分类：40A05; 40G15; 60B10？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 导言和背景Fast[2]、Schoenberg[3]等作者分别将实序列收敛的思想推广到统计收敛的情形，并给出了如下结果：x nn2N 称之为统计收敛于x，如果对于每个s>01近似理论[28]。统计收敛也在更一般的抽象空间中讨论过，如非对称度量空间[29，30]，概率度量空间[31]，2-范数空间[32在另一个方向上，Mursaleen[36]引入了一种新的收敛类型，称为k-统计收敛，如下：设fkngn2N是趋 向 于 1 的 正 数 的非递减序列，使得kn<$16 kn<$1;k1<$1。则Lim你好！1Njfk6n：jxk-xjPsgj <$0：实数序列fxngn2N称为k-统计上收敛（或，Sk-收敛）到x，如果对每个s>0后来又从序列空间的观点作了进一步的研究，并与Fridy的可和性定理联系起来Lim1 jfk2In：jxk-xjPsgj <$^0;[4] [2019-05 - 19 00：00][2019 - 05 - 19 00：00][2019 - 05：00][2019- 01：00][2019你好！1kn其中，In=1/2n-kn=1;n]。在这种情况下，我们写Sk-limxn¼xGhosal[16[19、20]。它在不同的数学或，x[37]第37段。S你好！X. 关于这种收敛性的更多结果可以从如可和性理论[21，22]、数论[23]、三角-度量级数[24]、概率论[25，26]、优化[27]电子邮件地址：sanjoykrghosal@yahoo.co.in同行评审由埃及数学学会负责另一方面，在概率论中，如果对于每个正整数n，在给定的事件空间S（对于每个n相同）上关于给定的事件M和概率函数P定义随机变量X n：M！R，那么我们说，X1;X2;X3;. ;X n;. 是一个随机变量序列在分析中，我们用Xnn2N表示这个序列。从实用的角度讨论了一个随机的变量X将是非常重要的，如果它是已知的1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表制作和主办：Elsevier关键词随机变量;k-概率统计收敛;k--r阶平均的统计收敛;k-分布的统计收敛http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.03.00786S. Ghosal你-你nFGn28>公司简介>68>f-gkk-K（日本语）FGLim你好！1knn下面的示例显示，国王！1K国王！nn2NKnn：KK>SpS p存在一个实常数c，c< s 1，其中s>0是足够小的，也就是说，几乎可以肯定X的值位于c的一个非常小的邻域内。对于随机变量序列fXngn2N，每个Xn可以很明显，如果Xn！kX和Xn！kY，则PfX¼Yg¼1，Sp定理2.1. 如果X！x和g：R！ R是连续函数不具备上述财产，但上述财产可能─所述性质（相对于实常数c）随着n的逐渐增加而变得越来越显著， Xnn2N.在本文中，我们将把我们的讨论限制在三种类型，随机变量序列的收敛性，即(i) k- 概率统计收敛（或Sk-收敛）(ii) k-统计收敛（或Sk-收敛），(iii) k- 分布的统计收敛（或Sk-收敛）在这篇简短的论文中，我们建立了一些重要的定理，Sp在x，那么g<$X<$！kgx。证据 由于g在x处连续，则每个s> 0都存在d0使得jgxk-gxj 01我们定义一个随机变量序列，f-k;kg，其中p：m：fPXk<$$>k <$$>PXk <$$>-k<$如果npkn16k6nKf0g， 含p：m：fPXk1：1或等价地;limjfk2I： 1-PjX-XjslogPdgj 00：实施例2.1. 我们定义一个随机变量序列SS因为r！k0，这意味着X！k0.1个; 1个 p： m： fP X 1P X1;>ifn-pk16k6nXk¼f0; 1g，p： m： fPXk<$0< $1-k和定理2.3. 设fXngn2N是一个随机变量序列，使得Sn<$X1<$X2<$. n有一个有限平均数Mn，有限方差RSpS对于所有的人 然后是Sn-Mn！k0;如果Rn！k0PXk<$1<$1;否则：现在让0<等于 1.然后我们有，”这是一个简单的证明，所以省略。3. Sk-r阶平均收敛PjXk0Ps1 if ifn-pkn<$16k6n1;否则：一个随机变量序列Xnn2N被称为对随机变量X在r次均值（其中r>0）上Sk-收敛Sp所以X！k0，但不是一般的依概率收敛。（其中X：S！R）如果对于任何d> 0jfk2In：PjXk-XjPsPdgj0;如果没有：np随机变量序列的Sk-收敛性87JF2RFGSrmnRKKSs8>>：nR（KnKKKK½ []ðþÞ你好！n>1F/ xSkF<$x<$在F<$x <$的每个连续点x，则PXkkkk 1否则：那么我们有，不！fXngn2N被称为在分布上Sk-收敛于X，SD写X！ X.埃吉十世1— 0个K如果n-pkn16k6n;定理4.1. 设fXngn2N是随机变量序列.还令fn<$x<$$>P<$Xn<$$>x <$是K1;否则：Xn8n2N和fxPX是概率质量函数SSd这意味着Xn到xSrm！0但不是通常的r次平均收敛养木 如果fnx！kfx8 xthenXn！kX。证明很简单，所以省略了。定理3.1. 设fXngn2N是一个随机变量序列，使得对于所有n和某个常数M > 0，P∈jXnj6M ∈ 1。4.1号提案 设fangn2N，fbngn2N是两个实数序列，使得an6bn8n2N.然后Sp假设X！kX。则XSrm！X，任何r> 0。Sk-liman6Sk-limbn和Sk-liman6Sk- limbn：证据很明显，所以省略了。证明很简单，所以省略了。定理3.2. 如果XSrm！X和YSrm！ Y（任何r>0），使得定理4.2. 设fXngn2N是随机变量序列. 如果n nSrmSpSdK KX n-X; Y n-Y P 0则X n<$Y n！谢谢。它是容易做通过的不平等E XYR62 rEX r E Y r，其中X和Y是非负随机变量，r> 0。定理3.3.X n！X然后X n！X.即Sk-依概率收敛证明了分布的Sk证据 设Fn和F分别为Xn和X的概率分布函数。设x，y。<现在X6xS1m(i) X n！K X（）supS1MA2DjSXn dP-RXdPSk 0。）X6xXn6yXn>y;X6x）PX6x6PX6yPX>y;X6x(ii) X n！K X然后EX n！kE X。证明是直接的，所以省略。3.1号提案 设fangn2N为非负实数序列 等 的S k-lim a n<$a和aP0，则S k-limn q，其中q2 Qn附注3.1. 很容易验证，如果a为1/4 0，则上述结果对所有q 2 R均为真。）PX6x6PXn6y当Xn>y;X6xxx时，ÇðjXn-Xj>y-xÞÞ）Fx6FnyPjXn-Xj>y-xS_k-limF_n_y_n_j =S_k-limP_n_jX_n-X_jSp>y-x=0;sinceX！kX）Fx6Sk-limFnyn2n88S. GhosalnFGSD1Sp2FG-lim F ny Fy。因此，结果如下。而kR½n-KK2对于k2½n-2pknnnnn（iii）X n！kX，Yn！kc）X nYn！如果c2ΣpΣ82.5分！pnn¼KKK1证明是直截了当的，所以省略了。SDSp类似地，按照同样的步骤，通过取yz，我们得到，<很明显，f y k g k 2 N是k-统计收敛到0的，这意味着F <$x S k F <$x <$8 x 2 R（但lim F <$x <$8）。不！SDSk-limFny6Fz设y是函数F的连续点。然后limFx limFzFyFx x1; 0在普通意义上）。这表明Xk X。对于任何00。 即使林在fn！1kn0 ， 定 理 4.2 成立。以下结果很容易确定。PXk PXk1¼-1;X¼0 mm定理4.3. 设fXngn2N为随机变量序列S这样，Xn！kX，ce是常数。然后PXk<$$>-1;X<$1<$2<$$>PXk<$$>1;X<$0：因此，Xk的边际分布由下式给出：Xk<$i i<$$>-1;1，其中p.m.f、fXk<$-1 <$fXk<$1 <$2和SD(a) X nc！kXc，以及(b) cX n！cX; c-0。X的边际分布由X<$ii<$0;1给出，下午6时，fX10分fX11分f1.SdSpK K2其次，我们pconnn=0，Xk（其中k2In定理4.4. 设c为常数，则X n！c）X n！C.nn二维随机变量的谱注4.1. 设c为常数，则X为常数。kc（）X！kc.带概率的0;0;0;1;1;0;1;1PXk<$0;X<$00< $$> PXk<$1;X<$1 1定理4.5. 设fXngn2N和fYngn2N是某概率空间上的随机变量序列，且满足Xn-Yn！k0，以及PXk<$$>1;X<$0<$2<$$> PXk< $0;X<$1因此，Xk的边际分布由下式给出：Xk0;1，p.m.f，fX0fX11，SdSdY n！X，然后X n！X.证据 设x; xs是分布的连续点，X的初始分布由X<$i i<$i<$0;1 π给出，其中p.m.f，f X100英尺f X101英尺。ffiffiffiffiffi[1]，则F=1，对应于随机变量X的函数F，其中s>0。然后PX6x¼PY6xY-X¼PY 6n k概率分布函数，那么，8>0if;x<-1;xYn-Xn;Yn-Xn6sPYn6xYn-Xn;Yn-Xn>s6PYn6xsPYn-Xn>s。）Sk-limFnx6Fxs类似地，Fx-s6Sk-limFnx。 因为s是任意的，所以FxSk-limFnx。 HFkx2如果;-16x1<;：1 if;xP 1nnK定理4.6. 如果在某概率空间上fXngn2N和fYngn2N下一个k2i和kR½n-p<$k<$$>k<$$><$1;n]，设F<$x<$1和F<$x<$2为Kc是常数。然后(i) X n！kX，Yn！kc）X nYn！kXc，然后，在步骤S102，SdSpSp8 0如果;<0;1 如果;06×1;<(ii) X n！kX，Yn！k0）X nYn！k0，<>SdSpSd：>SdSpSd1如果; P1我们考虑区间1/2 - 1;0 π。证明下面的序列y kk2N定义是一个k-统计收敛序列收敛到0就足够了。现在我们定义一个序列fykgk2N，（1ifk2½n-pkn1;n];（iv）X n！kX，Yn！kc）X n=Yn！kX =c，如果c= 0。证据(i) 定理15（Slutsky”[38]这是一个省略。(ii) 对于任何d>0，选择一组连续X的分布函数F，使得0的整数;如果k2I n和kRn-kn1;n：Fa-F-aP 1-d。 任何s> 0，P jX n Y nj P s1D1>因此，我们得到S1个;如果k2In和kRn-kn1;n：kn<$1;n]）具有相同的分布，X的概率分布函数SD和X，SpSDFkxFxyk ¼随机变量序列的Sk-收敛性89一一一KKKPjXn YnjPs;jYnjsPjXn YnjPs;jYnjPs6<[17] P. 达斯，S。Gh o s a l ，当I-Cauchy网完全一致时PjX nj> aP jY nj P s。所以Sk-limPjXn YnjPp空间是I-收敛的，拓扑应用。 158（2011）1529-1533。[18] P. Das，S. Ghosal，关于I-Cauchy序列的一些进一步结果

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