基于模板的弹性体三维复原

1基于模板的拉格朗日乘子单目三维弹性体复原Nazim Haouchine和Stephane CotinInria - Mimesis Group1，place denazim. inria.fr|stephane. inria.fr摘要在本文中，我们提出了一种有效的基于模板的方法，从一个固定的单目相机的弹性形状的三维恢复。通过利用物体我们的方法被表示为一个鞍点问题，使用La- grangian乘子导致一个线性系统，统一的机械和光学约束，并集成Dirichlet边界条件，无论它们是固定的还是自由的。我们的实验表明，没有先验知识的材料属性是必要的，表现出我们的方法与弹性和非弹性物体与不同种类的材料的通用性。与现有的技术进行比较的合成和真正的弹性物体的应变范围从25%到130%，导致低误差。1. 介绍非刚性物体的单目三维重建是一个复杂的问题，在计算机图形学、增强现实和手术视觉等领域有着广泛的应用前景。复杂性源于其约束不足的性质，因为几种形状配置可能会产生相同的投影，这会导致模糊性[6]。考虑到不可分割的材料，为了解决这些模糊性，已经考虑了各种方法，这些方法大多数时候依赖于额外的约束，例如保留网格几何特性、时间一致性或阴影信息。然而，所使用的附加约束并不总是适合于弹性对象的属性。基于物理的模型在过去很少使用，这是然而，最近的研究[2，13，8，12，3]表明，这种方法是适当的，当处理弹性物体，可以不-图1：从固定的单目相机中恢复弹性物体的3D。而不是最小化作用在物体上的力，我们的方法解决了一个约束优化，允许处理弹性和非弹性材料，而无需事先对它们的属性。dergo拉伸或压缩。因此，在本文中，我们提倡使用弹性模型，使重建的可变形物体经历大变形（见图1）。然而，与将问题表示为力最小化[8] [12]或非线性能量最小化[13]的相关工作相反，我们建议使用拉格朗日乘子将问题表示为鞍点问题。这种提法允许建立一个良好的线性系统，统一的光学和机械约束。我们的方法是不变的材料属性，这使得它足以弹性和非弹性变形，并表现良好的粗糙表面和存在的occlusions。因此，我们认为本文的贡献是一种通用的方法：（i）真正处理高达130%的大弹性变形（大于初始形状的2倍），（ii）对材料性质是不变的，并且摆脱了质量、阻尼系数、时间步长和外力，这些是在计算机视觉任务中使用机械模型的主要关注点之一，以及（iii）适用于可伸展和不可伸展的材料以及纹理化和纹理化差的表面，并且在存在遮挡物的情况下表现良好。此外，我们还用各种材料和数据进行了实验验证，对合成数据和真实数据进行了定量测量和定量评价，并与相关工作进行了比较。409540962. 相关作品从单目相机恢复3D形状在过去十年中一直是一个广泛的研究领域。先前的工作首先考虑了不可扩展的表面，其中可能利用潜在的距离约束，使用参数几何扭曲模型[18][22] [17]，一组来自基于学习的方法的可能形状的代表性样本[21] [19]，或者将问题视为重新投影误差的凸最小化[20][23]。以前的方法是非常有效的，考虑不可扩展的表面。然而，它们不适用于弹性物体，其中形状的几何性质的守恒不能被认为是一个合理的克服这个问题的一种方法是依赖于环境光和阴影信息。为此，在[14]中引入了一种闭合形式的方法来捕获拉伸表面。该方法假设朗伯曲面为单点光源，得到了较好的结果。然而，对光照的强假设使得该方法难以在所有环境中推广。与我们的方法最接近的作品是使用力学模型处理弹性形状的作品[13，8，12，9][13]中描述的方法依赖于受外部图像约束的拉伸能量该问题被形式化为一个非线性最小化，并使用一个基本的B样条模型作为正则化项。它统一了几何约束和力学约束，将其视为局部线弹性，并给出了以泊松比为唯一力学参数的有效结果。该方法在[12]中通过积分固定边界条件进行了改进。然而，它并不是特别设计用于处理大变形，其中所示的结果限于15%的延展性在类似的背景下，在[8]中考虑了非线性弹性，用于重建高弹性物体。将问题表示为固定边界条件下的力最小化问题，并将像点视为拉伸力。该方法提供了令人信服的结果，后来扩展到处理自闭塞[9]。然而，它需要定义内部拉伸和外部拉伸参数，这些参数通常难以估计。在[2]中，作者将从Navier方程导出的物理模型与扩展卡尔曼滤波器相结合与此类似，[3]提出将动态粒子模型纳入捆绑调整框架。这两种方法都表现出令人信服的结果在小的弹性变形。3. 弹性模型我们的方法侧重于从图像上的2D投影恢复对象的3D它依赖于使用弹性模型来描述恢复表面的行为。在本节中，我们将描述定义弹性模型的材料定律，使用有限元法（FEM）对模型进行离散化，以及通过静态积分方案对系统3.1. 本构关系与可变形模型相关的文献非常丰富，并且跨越了许多科学领域，例如工程学、计算力学、计算机图形学[15]。我们的弹性模型有几个特点：低计算成本，同时具有合理的精度、处理大变形的能力和低参数化。虽然诸如薄板样条或自由样条的专用模型已经证明了它们对于诸如经历纸张、帆或布的等规变形的相关性和效率[5]，但是我们打算具有更通用的模型，以便处理弹性材料，诸如硅树脂样品、发带或肝组织。为此，Saint-Venant Kirchoff材料似乎是一种相关策略[8]：该材料是超弹性的，因此允许处理大变形，它依赖于很少的材料参数，并且由于[10]中的工作可以快速计算。圣维南基尔霍夫材料由以下形式的应力-应变关系定义：S =η（trE）I3 +2µE（1）其中S是第二Piola应力张量，E是Green-Lagrange应变张量，trE是其迹，I3是3×3单位矩阵，η和μ是Lame ′系数，可以由于材料的弹性参数E和ν，E是杨氏3.2. 有限元离散化不失一般性，我们使用有限元法来离散（1）中的偏微分方程。可变形对象表示为由称为元素的3D多面体组成的体积网格。这里我们选择依赖于具有线性形状函数的四面体单元[10]。特定对象变形由网格顶点（节点位置）和/或节点力的位移指定。一般情况下，节点力和节点位置之间的关系是非线性的。当线性化时，连接ne个节点的元素e的关系可以可简单地表示为fe=Keue，其中fe∈R3ne包含ne个节点力，ue∈R3n为单元的ne个 矩阵Ke∈R3ne×3ne为4097称为单元的刚度矩阵。由于来自相邻单元的弹性力在一个节点处叠加，所以对于一个有n个节点的整个网格，刚度矩阵K∈R3n×3n因此，弹性物体上的变形方程将采用以下形式：Ku=f（2）由于格林-拉格朗日应变张量的非线性，刚度矩阵K的计算是非线性的，并且在每次变形之后都应该重新计算以保持有效。因为我们要处理几种弹性变形，刚度矩阵计算如下：f（u）假设具有n个节点的物理模型，并且假设图像中对象的变形形状和其余形状之间的m个特征对应。 设urest∈R3n是我们的物理模型在其静止组态的位置，udef∈R3n是变形组态的未知位置。成形设prest∈R2m，为抽取的向量特征在静止构型和pdef∈R2m它们在变形状态的位置。给定投影矩阵P，将世界坐标中的每个3D点ui与图像坐标中的2D点pi相关联的光学约束表示如下Pu i=p i ，对 于 i=1 ， . . .m（4）考虑机械和光学约束，以及K（u）=厄舒（三）让u = urest-udef和p = prest-pdef。该问题可以形式化为求（urest+ u）∈R3n从而允许大的位移du（例如u′=u +du）的网格顶点。我们可以注意到，变形仅取决于例如：。Ku= fLu = p（五）内力计算。实际上，该解不对加速度或速度进行积分，因为我们在这里选择不考虑动能。我们在这里解决一个静态的sce- nario只有休息和变形的图像状态提供。这减少了通常在动态场景（时间步进技术[4]）中考虑的解决方案（质量，阻尼系数，时间步长）中涉及的参数数量。其中L ∈R2m×3n是由投影矩阵P建立的。5. 弹性形状恢复5.1. 鞍点问题我们的目标是恢复（urest+u），它满足材料和图像的约束。其中相关工作提出通过最小化外力f来求解方程组5。我们表示我们的问题作为一个鞍点问题，导致一个线性系统，可以解决迭代的直接求解器。为此，我们使用拉格朗日乘子方法，该方法旨在找到受等式约束的函数的局部极小值，如下所示。无约束有限元模型的势能可以采取以下形式：W=1uKu−uf（6）2使用势能W，我们可以将方程组5表示为以下最小化问题：min{1u<$Ku−u<$f：Lu = p}（7）图2：问题表述：我们的目标是使用静止形状的物理模型和可能的固定边界条件，从图像P中的已知重投影位移恢复对应于u的弹性变形形状。u∈R3n2我们可以使用拉格朗日乘子理论，通过优化拉格朗日函数，将这个有约束的二次最小化L（u，λ）=1u<$Ku−u<$f+λ<$（Lu−p）（八）4.问题公式化我们遵循[8]和[12]的形式化，其目的是统一目标对象的物理约束（由源自其构成定律的内力表示）及其光学保护约束（表示弹性对象在图像上的投影），`2x `x弹性约束投影约束在这里，我们附加了2m拉格朗日乘子，收集在向量λ中。关于u和λ对L进行线性化得到乘数增广形式Σ Σ Σ Σ Σ ΣK Luf相机参数（见图5）。L 0 λ=p（九）4098我JJ刚度矩阵K以L和L为边界，其中向量p包含提取的边界条件从旋转矩阵R构建，.而向量λ可以解释为：L=R，如果n∈m（十三）维持边界条件所需的力P。最后，解u是n0（2，3）、否则问题及其唯一性在下面讨论。5.2. 柔度矩阵松弛理想情况下，我们希望重投影误差为零6.3. 使用节点位置映射要素实际上，图像点与力学模型的节点不重合。在静态配置下，我们可以解-使用面的偏心坐标1按压每个特征pi对于所有的ui，我们有一个重新投影的像点pi。然而，在实践中，由于噪声图像测量，顶点，这样prest=3j=1 φj（xi，yi）u∈t，其中这是不可能的。公式Eq. 10倾向于精确地满足重投影约束，这在存在离群值的情况下可能是高度破坏性的。因此，我们引入一个额外的变量来放松重投影约束，并将我们的问题重写为Σ KLu fφ（x，y）=a+bx+cy，其中（a，b，c）为重心由节点u组成的三角形的坐标，其中1≤j≤3。这种线性关系在变形期间保持有效，这允许将特征位置表示为机械节点位置的线性组合。6.4. 边界条件L C λ=p（十）在本研究中，我们将边界条件称为其中C∈R2m×2m可以看作是一个顺从矩阵，它由与每个特征pi相关联的不确定性σi组成。根据[24]中的论证，Hessian的逆作为特征定位不确定性的度量的协方差6. 执行6.1. 力矢量力矢量f的初始化问题自然由方程10的系统产生。在静止时，外力f的矢量是零矢量，从而求解方程。其中K和u都是已知的。此外，控制物体变形的力和从测量的位移导出的力是从拉格朗日乘子自动计算的，并且不需要设置。6.2. 构建L矩阵为了构建矩阵L，我们首先使用内在矩阵来表示世界单位中的特征。然后，假设是正交相机，3D点u在图像上的投影可以表示为：pi=Ru i+ T，其中i = 1，. . . 男（11）其 中， R 是 对相 机旋 转 矩阵 的 前两 行进 行 编码 的2×3Stiefel矩阵，T是以下形式的2×1Dirichlet边界条件可以看作是一组施加在机械节点上的位移。这些边界条件可以是固定的（位移为零）并且被称为均匀的，或者可以遵循通常源自外力（例如重力、伸长、扭转或压缩）的预定位移并且被称为非均匀的。 在我们的公式中，边界 条件 的集合 表示特 征并 形成集 合{p_rest ，p_def}，并且它们隐含地描述了均质边界条件和非均质边界条件。从数学上讲，将L表示为体积网格的域，S=L表示为体积网格的边界（即，e.表面），我们定义：• 齐次边界条件：ui= 0，i∈Lf其中LfL是表面的固定部分，i. 例如，节点在解析期间不移动。• 非均质边界条件：u i=p i，i ∈ L m，其中Lm<$L和L m<$L f=<$L是规定位置。齐次边界条件的存在对于求解方程10的系统不是必需的。在实践中，它们在场景中的识别为对象的建模带来了有用的信息，并且在某些情况下可以改善3D恢复，如第7节所示。7. 结果.ΣR =r11r 12r 13r21r 22r 23.Σ，T =t1t2（十二）在本节中，我们介绍了使用我们的方法获得的结果以及与现有技术进行的比较假设特征被配准到对象的质心并且考虑到（n >m）（以避免过约束系统），大小为2m×3n的稀疏矩阵L为niques. 我们报告的结果获得的真实和合成1等价于使用定义在P1四面体单元上的线性形函数。4099FMFMnoFLMLMnoFFMFMnoFLMLMnoFFMFMnoFLMLMnoFFMFMnoFLMLMnoFFMFMnoFLMLMnoF3D平均误差（mm）3D平均误差（mm）3D平均误差（mm）3D平均误差（mm）3D平均误差（mm）EX10FM FM FM FM FM FMLMnoFLM地面LMnoF分别表示没有固定边界条件的FM和LM方法。除了与[20]凸优化方法和[16]表示的CVX进行定量比较外，最近的一种基于Lapla-X的方法也是如此EE×103EE×101E×103EE真理cian mesh表示为cian，两者都致力于不可扩展的三维形状恢复。FM FM FM FM FM FMLMnoFLM141312111098765地面411910897867564352413 0EE×103EE×101E×103EE真理Ex10- 1EEx10Ex102例1034杨氏模量（E=2500 Pa）（一）0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.45 0.49泊松比（b）第（1）款FMFMnoFLMLMnoF方法（c）第（1）款1318121111161010 14991288710768656544343-123422FM FM FM FM FM FMLMnoFLM地面EX10EEX10EX10EX10EX10杨氏模量（E=2500 Pa）0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.45 0.49泊松比FMFMnoFLMLMnoF方法EE×103EE×101E×103EE真理（d）其他事项（e）（f）第（1）款图3：合成数据的结果，24 2422 221820 201618 181416 161214 141012 12810 108 866 644 422 0-1234杨氏EX10EEX10EX10EX10EX10杨氏模量（E=2500 Pa）（g）0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.45 0.49泊松比（h）FMFMnoFLMLMnoF方法（一）在地面真相）。[更好地看到颜色]数据来说明我们的方法捕捉3D大弹性变形的能力。我们首先在合成数据上测试我们的方法，以显示我们的公式对弹性参数的不变性及其对噪声和缺乏特征的鲁棒性。然后，我们使用[8]的数据集，其中提出了经历不同类型拉伸变形的硅胶制成的对象的几个我们量化的三维形状恢复误差相对于地面真相。我们还进行了实验，不可扩展的表面和纹理不良的对象，以突出我们的方法的潜在用途。在所有实验中，我们使用SIFT[11]来检测2D特征。我们将我们的Largangian乘数方法表示为LM与现有方法进行比较：一种处理[5]中描述的等距变形的不可扩展方法，我们将其称为Inext，一种基于物理的弹性表面方法，将问题公式化为[ 8 ]中描述的力最小化，我们表示FM和线性最小二乘解，该解使用线性弹性，固定边界条件直接编码在刚度矩阵中[12]我们称之为LLS。我们还考虑了固定边界条件的影响，在我们的实验与方法FMnoF和FMFMnoFLMLMnoF3D平均误差（mm）3D平均误差（mm）3D平均误差（mm）3D平均误差（mm）3224100图4：合成数据的结果：（a）（d）（g）对杨氏模量E的敏感性;（b）（e）（h）对泊松比ν的敏感性;（c）（f）（i）每种方法的3D平均误差：我们的方法表现出最低的误差，同时对于材料特性是准不变的。65.554.543.53100 90 80 70 60 50 402D特征数量（%）图5：合成数据的结果：对图像噪声和缺乏特征的鲁棒性：随机减少约束的数量（从144个特征减少到58个特征）和用高斯噪声干扰数据在1 mm的间隔内对3D重建误差的影响很小。标准高斯噪声= 1px标准高斯噪声= 2px标准高斯噪声= 3px3D平均误差（mm）4101方法iNextLLSFMLMiNextLLSFMLMExp.是说RMSDef13.623.281.991.664.293.822.621.93Def22.771.942.001.273.472.452.441.60Def32.982.061.561.553.712.582.061.91Def44.871.991.191.315.582.531.691.51表1：每种变形的平均3D误差（mm）和RMS 3D误差（mm）与相关工作的比较。7.1. 合成数据我们合成一个模拟的硅树脂制成的物体上的弹性变形的大小为100×100×10毫米3。该物体由432个线性四面体单元组成，其特征在于杨氏模量E = 2500 Pa，泊松比ν = 0。四十五我们在模拟物体上施加力以产生具有平面伸长的变形形状-在40%和120%之间的范围内的拉伸和在30%至50%之间的深度弹性变形 视频序列用焦距fu=fv=500，主点（uc，vc）=（320，240）的虚拟相机拍摄了640×480幅图像。在此数据集上，我们运行以下实验：（1）对弹性参数的敏感性我们通过在E × 10 −1到E × 10 4的范围内改变杨氏模量E的值和泊松比，为每个搜索器提到的方法从0开始。05到0。492、保持相同的数量的边界条件。 （2）对图像噪声的鲁棒性，缺乏特色：将具有标准偏差g_std∈ {1px，2px，3px}的高斯噪声添加到特征。此外，这些特征的数量被随机减少到初始数量（144个特征）的40%。对于每个集合，我们计算3D平均误差（以mm为单位）作为重建网格和地面实况网格之间的顶点到顶点的距离。图4中报告了相应的图，图3中示出了具有误差测量的结果形状。我们的LM方法产生最低的错误w.r.t其他方法。我们可以注意到，LM和LMnoF的恢复误差与杨氏模量和泊松比值准独立结果还表明，依赖于模拟，固定边界条件大大减少了错误。这表明，固定边界条件的正确放置与物理建模同样重要。当固定节点代表对象的很大一部分时，这种差异甚至更加重要在图5中我们还可以注意到，我们的方法在减少边界条件扰动的情况下工作[2]注意，值ν= 0和ν= 0。5被排除在外，因为lame系数η=Eν/（1 +ν）（1−2ν）具有噪声，其中这些扰动对3D平均误差的影响小于1mm。这表明LM方法适用于纹理较差的表面，因为它将用真实数据显示。3D网格叠加我们的LM方法CVX方法3D网格叠加我们的LM方法图10：非弹性数据的结果与平滑变形的纸与丰富的纹理。[更好地看到颜色]7.2. 真实数据与Ground Truth我们用来自硅胶弹性数据集的真实数据测试我们的方法[8]。该数据集由硅胶制成的物体组成，该物体按照几种配置变形，可伸展性范围为25%至120%。硅胶条尺 寸 为 100×100× 10mm3 ， 其 刚 度 为 杨 氏 模 量 E =250000Pa，泊松比ν = 0。四十五对于每种配置，使用单目相机以30 fps采集图像分辨率为640×480的我们只利用第一个和视频序列的最后几帧提供最终状态的3D形状，并将其视为地面实况。所得3D形状如图6、7、8、9所示，比较结果如图1所示。LM方法给出了最低的误差（变形1、变形2和变形4），或者非常接近FM方法（变形3），误差小于2mm。一般来说，FM方法给出了相对较好的结果。Inext方法是为等距变形设计的，无法恢复3D形状，特别是变形4，其中发生大的弹性变形。LLS方法给出了良好的结果，但限于线弹性。 国际-固定边界条件的梯度减小了FM和LM的误差。LM方法在没有特定材料属性的情况下使用，而FM方法需要设置表示为弹簧的外力的刚度和由刚度矩阵表示的材料属性，以达到内力和外力之间的平衡。总的来说，执行时间在0. 2秒和1 .一、7秒，取决于系统的大小（网格分辨率和特征数量）。4102Rest Deformed Ground truth Inext LLS FM LM图6：变形1。产生折叠变形，弹性为30%。静止变形地面实况Inext LLS FM LM图7：变形2。硅橡胶条受到梁的约束，该梁产生25%弹性的变形。静止状态变形状态地面实况Inext LLS FM LM图8：变形3。通过圆形障碍物约束硅胶条，导致40%的弹性变形静止状态变形状态地面实况Inext LLS FM LM图9：变形4.大的延伸率产生130%的弹性。7.3. 没有地面实况在合成数据上进行的无伸缩性纸张弯曲实验表明，该方法对材料特性具有不变性.为了使我们的方法面对真实的场景，我们使用了[21]和[16]的数据，这些数据表示具有丰富纹理的平滑变形纸张并对这两种方法进行了直观的比较。图10所示的结果表明，我们的方法在没有任何材料属性知识的情况下表现良好。我们进一步将我们的方法应用于低纹理物体，以突出其在这种情况下的性能（参见图11）。实验涉及一个180×30×20mm3的软物体，用240个线性四面体单元和未知的材料属性来模拟。 对象受以下约束：一个坚硬的障碍物，在几个方向上延伸从所获取的图像中，我们仅使用22个SIFT特征作为完整示例的边界条件，并使用16个SIFT特征作为遮挡示例的边界条件。结果在两种情况下都表现出正确的3D形状恢复（参见图11）。碰撞软球在这里，我们提出了我们的结果在一个软球碰撞地面的慢动作（YouTube视频）。至于其他测试，没有考虑材料特性的先验知识。球体积模型由512个线性P1四面体单元组成。恢复和增强以25 fps实时执行，如图12所示。4103帧#74帧#77帧#83帧#90帧#99图12：橡胶球以慢动作撞击地面。据我们所知，没有描述符足够鲁棒以处理大的弹性变形，因为这些变形在对象上产生大的几何变化和纹理变化。一种可能的解决方案是使用学习方法，并依赖于物理模型来预先计算形状和纹理以馈送学习模型。此外，放宽固定摄像机的假设是需要解决的重要问题这意味着在估计相机姿态的同时分解刚性和非刚性运动以计算变形。为此，可以使用模态分析[1]或分解应力张量以提取刚性分量[7]来预先计算模态形状。图11：纹理不佳的弹性数据的结果，图像上的软物体（左）网格覆盖和（右）恢复的3D形状与重新纹理。[更好地看到颜色]8. 讨论由于使用了准静态积分方案，减少了物理参数的数量。尽管它在许多情况下是足够的，但当必须捕获振荡或振动等瞬态行为时，它显示出局限性（慢动作中的软碰撞球是一个很好的例子）。为此，可以使用动态积分方案，其缺点是附加参数，例如物体我们的方法的主要局限性是可能的不匹配点之间的休息和变形的配置。虽然我们清楚地假设我们有m个特征对应来形式化问题，但在实践中，这种假设很难保证。然而，对于9. 结论本文研究了用机械模型从固定的单目摄像机上恢复弹性表面的三维问题。我们提出了一种通用的方法，是鲁棒的材料性能的选择，并执行低纹理表面。我们的公式通过将问题视为鞍点问题，统一了机械和光学约束，这导致了一个线性系统，可以有效地解决了相邻的拉格朗日乘数。我们进行了几次实验，显示了弹性和非弹性变形的一致结果，并与最先进的技术进行了比较。最后，同时估计弹性物体的姿态和3D形状的移动范围技术可以从本文的输出中受益。引用[1] A.阿古多湖阿加皮托湾Calvo和J. 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