Black-Scholes模型的定价公式的推导过程

Black-Scholes模型是用于计算欧式期权价格的经典模型，其基本思想是在没有风险套利的情况下，基础资产的价格遵循几何布朗运动。下面是Black-Scholes模型的定价公式的推导过程：

1. 基础假设：假设股票价格的变化满足几何布朗运动，即：

$$dS = \mu S dt + \sigma S dz$$

其中，$S$ 是股票价格，$\mu$ 是股票价格的平均收益率，$\sigma$ 是股票价格的波动率，$dz$ 是标准布朗运动，满足$dz \sim N(0,dt)$。

2. 定义期权价值：假设欧式期权到期时间为$T$，行权价格为$K$，则在时间$t$时，欧式看涨期权的价值为：

$$C(t) = max(S(t) - K, 0)$$

欧式看跌期权的价值为：

$$P(t) = max(K - S(t), 0)$$

3. 应用伊藤引理：根据伊藤引理，可以得到：

$$dC = (\mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2})dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S}dz$$

$$dP = (\mu S \frac{\partial P}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 P}{\partial S^2})dt + \sigma S \frac{\partial P}{\partial S}dz$$

4. 构造组合：构造一个包含欧式看涨期权和股票的投资组合，其价值为：

$$X = C - \frac{S}{e^{r(T-t)}}$$

其中，$r$ 是无风险利率，$e^{r(T-t)}$ 是当前时间$t$到到期时间$T$的连续复利计息因子。

5. 计算组合价值的变化：根据伊藤引理和组合的定义，可以得到：

$$dX = dC - \frac{1}{e^{r(T-t)}}dS$$

$$= (\mu S \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + rC)dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S}dz - \frac{1}{e^{r(T-t)}}(\mu S dt + \sigma S dz)$$

$$= (\mu - r)Xdt + \sigma Xdz$$

6. 应用Ito引理的逆向思路，得到组合的价值为：

$$X(t) = e^{-r(T-t)}[C(t) - \Phi(d_1)S(t)]$$

其中，$\Phi$ 是标准正态分布函数，$d_1$ 是：

$$d_1 = \frac{ln(\frac{S(t)}{K}) + (r+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$$

7. 根据无套利原理，组合的价值等于期权的价值，即：

$$C(t) = \Phi(d_1)S(t) - \Phi(d_2)Ke^{-r(T-t)}$$

$$P(t) = \Phi(-d_2)Ke^{-r(T-t)} - \Phi(-d_1)S(t)$$

其中，

$$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}$$

这就是Black-Scholes模型的定价公式。