推导sigmoid函数的导数，用 LaTeX 数学公式来表示

sigmoid函数的公式为：$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

对其求导得到：

$
\begin{aligned}
f'(x)&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\\
&=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2}\\
&=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\\
&=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{1+e^{-x}}{1+e^{-x}}-\frac{1}{1+e^{-x}}\\
&=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(1-\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\\
&=f(x)\cdot(1-f(x))
\end{aligned}
$

因此，sigmoid函数的导数为：$f'(x)=f(x)\cdot(1-f(x))$

相关问题

sigmoid函数导数

sigmoid函数是一种常用的S型激活函数，它的数学公式通常表示为 `sigmoid(z) = 1 / (1 + e^-z)`，其中 `z` 是输入值。sigmoid函数的特点在于它将任意实数值映射到0到1之间，常用于二分类问题的输出层。

sigmoid函数的导数很重要，因为它是梯度下降法等优化算法的基础，特别是在深度学习中的反向传播过程中。sigmoid函数的导数也称为斜率或偏导数，表示函数值的变化速率。计算方法如下：

\[
\frac{d}{dz} \sigma(z) = \frac{d}{dz} \frac{1}{1+e^{-z}}
\]
展开并简化，得到：
\[
= \frac{-e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}
\]
由于分子分母都包含 `e^{-z}`，我们可以将其转换为一个更简洁的形式：
\[
= \frac{1}{1 + e^{-z}} \times \frac{-e^{-z}}{1+e^{-z}}
\]
简化后得：
\[
= \sigma(z) \times (1 - \sigma(z))
\]
即sigmoid函数的导数等于它本身乘以其一减去它本身的值。

推导sigmoid函数的导数表达式

sigmoid 函数的表达式为：

$$\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$$

其导数可以通过链式法则推导得到：

$$\begin{aligned}
\frac{d\sigma(x)}{dx} &= \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\\
&= \frac{d}{du}\left(\frac{1}{u}\right) \cdot \frac{du}{dx}, \quad u = 1+e^{-x}\\
&= -\frac{1}{u^2} \cdot \frac{d}{dx}(1+e^{-x})\\
&= -\frac{1}{(1+e^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(1+e^{-x})\\
&= -\frac{1}{(1+e^{-x})^2} \cdot (-e^{-x})\\
&= \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\\
&= \frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\\
&= \sigma(x)\cdot(1-\sigma(x))
\end{aligned}$$

因此，sigmoid 函数的导数表达式为：

$$\frac{d\sigma(x)}{dx}=\sigma(x)\cdot(1-\sigma(x))$$