推导sigmoid函数的导数，用 LaTeX 数学公式来表示

sigmoid函数的公式为：$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

对其求导得到：

$
\begin{aligned}
f'(x)&=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\\
&=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^2}\\
&=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\\
&=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\frac{1+e^{-x}}{1+e^{-x}}-\frac{1}{1+e^{-x}}\\
&=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(1-\frac{1}{1+e^{-x}}\right)\\
&=f(x)\cdot(1-f(x))
\end{aligned}
$

因此，sigmoid函数的导数为：$f'(x)=f(x)\cdot(1-f(x))$