r语言实现定时截尾样本下指数分布参数的区间估计Θ的1-α置信区间为（2T0/qchisq(1-α/2,2r+2),2T0/qchisq(α/2,2r),选定参数θ，取样本为n的样本，定时t0结束实验，t1<t2<<tr，给出Θ的1-α的置信区间

假设样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 服从参数为 $\theta$ 的指数分布，即 $X_i \sim \mathrm{Exp}(\theta)$，则样本的似然函数为：

$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i;\theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta e^{-\theta x_i} = \theta^n e^{-\theta \sum_{i=1}^{n} x_i}
$$

对数似然函数为：

$$
\ln L(\theta) = n \ln \theta - \theta \sum_{i=1}^{n} x_i
$$

为了进行区间估计，需要求出 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$，即使 $\ln L(\theta)$ 最大化的 $\theta$ 值。对 $\ln L(\theta)$ 求导并令其等于零：

$$
\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0
$$

解得：

$$
\hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i}
$$

接下来，可以使用切比雪夫不等式来计算置信区间的范围。切比雪夫不等式指出，对于任意一个随机变量 $X$，有：

$$
P(|X-\mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
$$

其中，$k$ 是任意正整数，$\mu$ 是 $X$ 的期望，$\sigma$ 是 $X$ 的标准差。对于指数分布，有 $\mu = \frac{1}{\theta}$，$\sigma = \frac{1}{\theta}$，因此：

$$
P(|\theta - \hat{\theta}| \geq k\frac{\theta}{\sqrt{n}}) \leq \frac{1}{k^2}
$$

将 $k$ 替换为 $\frac{1}{\sqrt{\alpha}}$，得到：

$$
P(|\theta - \hat{\theta}| \geq \frac{\theta}{\sqrt{\alpha n}}) \leq \alpha
$$

移项得到：

$$
P(\hat{\theta} - \frac{\theta}{\sqrt{\alpha n}} \leq \theta \leq \hat{\theta} + \frac{\theta}{\sqrt{\alpha n}}) \geq 1 - \alpha
$$

将 $\theta$ 替换为 $\hat{\theta}$，得到：

$$
P(\hat{\theta} - \frac{\hat{\theta}}{\sqrt{\alpha n}} \leq \theta \leq \hat{\theta} + \frac{\hat{\theta}}{\sqrt{\alpha n}}) \geq 1 - \alpha
$$

这是一个 $\theta$ 的置信区间，其中 $\hat{\theta}$ 是样本均值，$\alpha$ 是显著性水平（例如 $0.05$）。将定时截尾样本和定时结束实验的条件考虑进去，假设在时间 $t_0$ 开始观察，样本截至时间 $t_1$，样本量为 $n_1$，样本均值为 $\bar{x}_1$；样本截至时间 $t_2$，样本量为 $n_2$，样本均值为 $\bar{x}_2$；样本截至时间 $t_r$，样本量为 $n_r$，样本均值为 $\bar{x}_r$。则 $\theta$ 的置信区间为：

$$
\left(\hat{\theta}-\frac{\hat{\theta}}{\sqrt{\alpha n_1}}, \hat{\theta}+\frac{\hat{\theta}}{\sqrt{\alpha n_r}}\right)
$$

其中，$\hat{\theta}$ 的计算公式为：

$$
\hat{\theta} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2 + \cdots + n_r\bar{x}_r}{n_1 + n_2 + \cdots + n_r}
$$

需要注意的是，指数分布的参数 $\theta$ 是一个正实数，因此置信区间的下限和上限也必须是正实数。如果计算出来的置信区间包含了 $0$，则需要重新计算置信区间（例如使用 $\alpha/2$ 作为显著性水平）。