有多少个长度为N的整数序列，满足以下条件：1<=Ai<=M 且 |Ai-A_{i+1}| >=k 你需要模998244353.（1\leq N \leq 2000,1\leq M\leq 5000,1\leq K \leq M-1）

根据题意，每个位置的数的取值范围是 [1, M]，且相邻两个数的差的绝对值不小于 k。我们可以考虑使用 dp 来解决这个问题。

令 f[i][j] 表示长度为 i，最后一个数为 j 的方案数。转移时，我们需要将前一个数的取值 j' 与当前数的取值 j 进行比较，如果满足条件，则可以转移：

f[i][j] = \sum_{j'=1}^M [abs(j-j') \geq k] f[i-1][j']

最终的答案是 f[N][1]+f[N][2]+...+f[N][M]。由于每次转移需要枚举 M 个数，因此总时间复杂度为 O(NM^2)。

实际上，我们可以使用前缀和优化这个过程，将时间复杂度优化到 O(NM)。具体来说，我们可以预处理出 f[i-1][j'] 中满足 abs(j-j') < k 的部分的前缀和，然后在计算 f[i][j] 时直接用前缀和计算即可。

下面是代码实现：

相关问题

有多少个长度为N的整数序列，满足以下条件：1<=Ai<=M 且 |Ai-A_{i+1}| >=k 你需要模998244353.

这是一个典型的数位DP问题。我们可以用dp[i][j]表示已经填了前i个数字，最后一位是j方案数。由于每个数位的取值范围是1~M，因此状态的第二维可以用M来表示。转移方程如下：

dp[i][j] = ∑dp[i-1][p] (1<=p<=M, |p-j|>=k)

最终的答案就是dp[N][1]~dp[N][M]的总和。注意，由于需要模998244353，所以在计算过程中需要取模。

下面是完整的代码实现：

c++代码快速实现：给定长度为n的正整数序列a和正整数s，求是否存在正整数k使得sigma i=1 n (ai mod k)=s n<=100,ai<=10^9 1s内实现

在 C++ 中，你可以使用前缀和（Prefix Sum）的思想以及线性扫描的方式来解决这个问题。以下是简单的步骤和代码实现：

1. 定义一个 `vector<int>` 或数组 `dp`，其大小为 `n+1`，用于存储每个位置之前所有元素对 `k` 取模后的累加和。`dp[0] = 0` 表示空累加。

2. 遍历输入序列 `a`，对于每个元素 `ai`，更新 `dp[i] = dp[i - 1] + ai % k`。这相当于计算当前索引处的元素对所有可能的 `k` 的贡献。

3. 对于目标值 `s`，检查是否存在某个 `dp[j]` 等于 `s`，其中 `0 <= j <= n`。如果找到，则返回 `j`；否则，说明不存在满足条件的 `k`。

以下是 C++ 代码片段：

#include <vector>
using namespace std;

int findK(vector<int>& a, int s) {
    vector<int> dp(n + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        dp[i] = dp[i - 1] + a[i -1; // 如果没有找到，返回 -1 或者抛异常
}

int main() {
    vector<int> a = {1, 2, 3, 4, 5};
    int s = 10;
    int k = findK(a, s); // k 就是所需的整数
    // ... 其他处理和输出
    return 0;
}