用Python解决下列问题：问题1： 求下面微分方程的解析解 𝑦 ″ −2𝑦 ′ +3𝑦=𝑥sin𝑥 问题2： 求下面微分方程在区间[0,3] 上的数值解，方程初值为𝑦(0)=1 ， 𝑦 ′ +𝑦^ 2 =2𝑥^ 2 +6

问题1：

我们可以先求该微分方程对应的齐次微分方程的通解，然后再运用常数变易法求非齐次微分方程的特解，最终得到该微分方程的通解。

对应的齐次微分方程为：𝑦″−2𝑦′+3𝑦=0

特征方程为：𝑟^2−2𝑟+3=0

解得特征根：𝑟1=1+𝑖，𝑟2=1−𝑖

所以齐次微分方程的通解为：𝑦ℎ(𝑥)=𝑐1𝑒^(𝑥(1+𝑖))+𝑐2𝑒^(𝑥(1−𝑖))

接下来求非齐次微分方程的特解：

设特解为：𝑦𝑝(𝑥)=𝑥(𝑎sin𝑥+𝑏cos𝑥)

将特解代入原微分方程得到：

−2𝑎cos𝑥+2𝑏sin𝑥+4𝑎sin𝑥+4𝑏cos𝑥+3𝑥(𝑎sin𝑥+𝑏cos𝑥)=𝑥sin𝑥

整理得到：

(3𝑎+2𝑏)cos𝑥+(2𝑎−3𝑏)sin𝑥=𝑥sin𝑥

由于𝑠𝑖𝑛𝑥和𝑐𝑜𝑠𝑥是线性无关的，所以要求得特解，需要满足以下两个方程组：

(3𝑎+2𝑏)=0

(2𝑎−3𝑏)=1

解得𝑎=−1/13, 𝑏=3/13

所以非齐次微分方程的特解为：𝑦𝑝(𝑥)=−(𝑥/13)sin𝑥+(3𝑥/13)cos𝑥

所以该微分方程的通解为：𝑦(𝑥)=𝑦ℎ(𝑥)+𝑦𝑝(𝑥)=𝑐1𝑒^(𝑥(1+𝑖))+𝑐2𝑒^(𝑥(1−𝑖))−(𝑥/13)sin𝑥+(3𝑥/13)cos𝑥

问题2：

我们可以使用欧拉法求该微分方程的数值解。欧拉法的基本思想是将微分方程在每个小区间上近似为直线，然后依次求解，得到微分方程的数值解。

具体步骤如下：

1. 将区间[0,3]等分为n个小区间，每个小区间的长度为h=(3-0)/n

2. 设𝑦𝑖为第i个小区间上的近似解，𝑥𝑖=𝑖h

3. 根据微分方程，得到：𝑦′=2𝑥^2+6−𝑦^2

4. 将微分方程在第i个小区间上近似为直线，即：𝑦𝑖+1−𝑦𝑖=𝑦′(𝑥𝑖,𝑦𝑖)h

5. 将上式代入微分方程，得到：𝑦𝑖+1=𝑦𝑖+2𝑥𝑖^2h+6h−𝑦𝑖^2h

6. 从𝑖=0开始，依次计算出𝑦0,𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛

7. 最终得到微分方程在区间[0,3]上的数值解。

Python代码实现如下：