证明任何一个欧拉图是可定向的
时间: 2023-06-18 19:08:45 浏览: 118
任何一个欧拉图都是可定向的。
首先,我们知道一个欧拉图是一个连通的无向图,并且它的每个顶点的度数都是偶数。我们可以通过在每条边上任意地指定一个方向来创建一个有向图。因为每个顶点的度数都是偶数,所以我们可以将每个顶点的出度和入度数量设为相等的值。因此,我们可以通过随意选择一些边的方向来创建一个有向图,因为每个顶点的出度和入度都是偶数,所以无论我们如何选择边的方向,每个顶点的出度和入度总是相等的。
因此,我们可以得出结论:任何一个欧拉图都是可定向的。
相关问题
若一个图中的每一条边能给它定一个方向,使得所得到的有向图强连通,则称这个图是可定向的。证明欧拉图是可定向的
假设原始的欧拉图为 $G=(V,E)$,我们可以将其转化为有向图 $D=(V,A)$,其中 $A=\{(u,v) \mid \{u,v\}\in E\}$,即将每条边的方向都定向为起点指向终点。
由于欧拉图中每个点的度数都为偶数,则有对于任意一个点 $v\in V$,它的入度和出度均为偶数。我们需要证明 $D$ 中任意两个点 $u$ 和 $v$ 都可以互相到达,即 $D$ 是强连通的。
考虑在 $D$ 中选取任意两个点 $u$ 和 $v$,我们需要证明存在一条 $u$ 到 $v$ 的路径和一条 $v$ 到 $u$ 的路径。
由于 $G$ 是欧拉图,因此 $G$ 中存在一条经过所有顶点的欧拉回路 $C$。由于 $D$ 中每条边的方向都是由 $G$ 中的边来确定,因此 $C$ 在 $D$ 中对应的路径 $P$ 一定会从 $u$ 出发经过 $v$,之后会回到 $u$,最终到达 $v$。因此,$u$ 可以到达 $v$。
同理,我们可以找到另一条经过所有顶点的欧拉回路 $C'$,使得 $C'$ 在 $D$ 中对应的路径 $P'$ 从 $v$ 出发经过 $u$,之后会回到 $v$,最终到达 $u$。因此,$v$ 可以到达 $u$。
因此,$D$ 是强连通的,即欧拉图是可定向的。
画一个是欧拉图不是哈密顿图
好的,我可以理解您的问题,以下是我画的一个欧拉图而不是哈密顿图的例子:
```
1 ----- 2
| |
| |
3 ----- 4
```
这个图是欧拉图,因为它可以通过不重复地经过每个边来连续地走遍每个节点。但是,它不是哈密顿图,因为它没有任何哈密顿回路或哈密顿路径。
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