求下列曲面所围成的立体的体积.(1) x=0, y=0 ,x+y+z=4,x=2,y=3
时间: 2023-06-25 11:07:35 浏览: 44
首先画出所给曲面的图形:
![image.png](attachment:image.png)
可以看出,所给曲面围成的是一个四棱锥,因此我们可以利用四棱锥的体积公式来求解。
四棱锥的体积公式为:
$$
V = \frac{1}{3}S_hh
$$
其中,$S_h$ 表示四棱锥底面的面积,$h$ 表示四棱锥的高。
我们可以通过两个底面的面积相加再除以 $2$ 来求出底面面积 $S_h$。即:
$$
S_h = \frac{1}{2}(2\times 3 + 3\times 1) = 6
$$
接下来,我们需要求出四棱锥的高。由于四棱锥的高是垂直于底面的直线段,因此我们可以利用点到平面的距离公式来求解。
首先,我们需要确定平面的方程。由于平面过点 $(2,3,0)$,且垂直于向量 $(1,1,1)$,因此平面的方程为:
$$
x+y+z = 5
$$
接下来,我们需要求点 $(0,0,4)$ 到平面 $x+y+z=5$ 的距离。
设点 $P$ 为平面上任意一点,则 $P$ 到点 $(0,0,4)$ 的距离为:
$$
d = \frac{\left|(0-0)+(0-0)+(4-5)\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}
$$
因此,四棱锥的高为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$。
将 $S_h$ 和 $h$ 代入四棱锥的体积公式中,即可求出所求立体的体积:
$$
V = \frac{1}{3}\times 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}
$$
因此,所求立体的体积为 $2\sqrt{3}$。