vec2 p = (2.*fragCoord.xy-iResolution.xy) / iResolution.y; 这个是什么意思

这段代码是在计算一个二维向量p，其中fragCoord是片元的坐标，iResolution是屏幕分辨率。这段代码的含义是将fragCoord的x和y坐标分别除以iResolution的y坐标，然后乘以2，最后减去iResolution的xy坐标。这样做的目的可能是将屏幕坐标系转换为以分辨率为单位长度的坐标系，方便进行后续的计算。

相关问题

const float HEAT_MAX = 10.; const float PointRadius = .42; // test data const int PointCount = 18; const vec3 Points[] = vec3[]( vec3(0., 0., 10.), vec3(.2, .6, 5.), vec3(.25, .7, 8.), vec3(.33, .9, 5.), vec3(.35, .8, 6.), vec3(.1, .1, 6.), vec3(-.45, .8, 4.), vec3(-.2, -.6, 5.), vec3(-.25, -.7, 8.), vec3(-.33, -.9, 8.), vec3(.35, -.45, 10.), vec3(-.1, -.8, 10.), vec3(.33, -.3, 5.), vec3(-.35, .75, 6.), vec3(.6, .4, 10.), vec3(-.4, -.8, 4.), vec3(.7, -.3, 6.), vec3(.3, -.8, 8.) ); vec3 gradient(float w, vec2 uv) { w = pow(clamp(w, 0., 1.) * 3.14159 * .5, .9); vec3 c = vec3(sin(w), sin(w * 2.), cos(w)) * 1.1; return mix(texture(iChannel0, uv).rgb, c, w); } void mainImage(out vec4 fragColor, in vec2 fragCoord) { vec2 uv = (2. * fragCoord - iResolution.xy) / min(iResolution.x, iResolution.y); float d = 0.; for (int i = 0; i < PointCount; i++) { vec3 v = Points[i]; float intensity = v.z / HEAT_MAX; float pd = (1. - length(uv - v.xy) / PointRadius) * intensity; d += pow(max(0., pd), 2.); } fragColor = vec4(gradient(d, uv), 1.); } 将上述代码转为unity可读的shader

可以将上述代码转为以下的 Unity Shader：

Shader "Custom/HeatMap" {
    Properties {
        _MainTex ("Texture", 2D) = "white" {}
        _HeatMax ("Heat Max", Range(0, 100)) = 10
        _PointRadius ("Point Radius", Range(0, 1)) = 0.42
        _PointCount ("Point Count", Range(0, 50)) = 18
        _Points ("Points", Vector) = (
            (0, 0, 10),
            (0.2, 0.6, 5),
            (0.25, 0.7, 8),
            (0.33, 0.9, 5),
            (0.35, 0.8, 6),
            (0.1, 0.1, 6),
            (-0.45, 0.8, 4),
            (-0.2, -0.6, 5),
            (-0.25, -0.7, 8),
            (-0.33, -0.9, 8),
            (0.35, -0.45, 10),
            (-0.1, -0.8, 10),
            (0.33, -0.3, 5),
            (-0.35, 0.75, 6),
            (0.6, 0.4, 10),
            (-0.4, -0.8, 4),
            (0.7, -0.3, 6),
            (0.3, -0.8, 8)
        )
    }
    SubShader {
        Pass {
            CGPROGRAM
            #pragma vertex vert
            #pragma fragment frag
            #include "UnityCG.cginc"
            
            uniform sampler2D _MainTex;
            uniform float _HeatMax;
            uniform float _PointRadius;
            uniform int _PointCount;
            uniform float3 _Points[_PointCount];
            struct appdata {
                float4 vertex : POSITION;
                float2 uv : TEXCOORD0;
            };
            struct v2f {
                float2 uv : TEXCOORD0;
                float4 vertex : SV_POSITION;
            };
            v2f vert (appdata v) {
                v2f o;
                o.vertex = UnityObjectToClipPos(v.vertex);
                o.uv = v.uv;
                return o;
            }
            vec3 gradient(float w, vec2 uv) {
                w = pow(clamp(w, 0., 1.) * 3.14159 * .5, .9);
                vec3 c = vec3(sin(w), sin(w * 2.), cos(w)) * 1.1;
                return mix(tex2D(_MainTex, uv).rgb, c, w);
            }
            void frag (v2f i, out float4 o : SV_Target) {
                vec2 uv = (2. * i.uv - _ScreenParams.xy) / min(_ScreenParams.x, _ScreenParams.y);
                float d = 0.;
                for (int i = 0; i < _PointCount; i++) {
                    float3 v = _Points[i];
                    float intensity = v.z / _HeatMax;
                    float pd = (1. - length(uv - v.xy) / _PointRadius) * intensity;
                    d += pow(max(0., pd), 2.);
                }
                o = float4(gradient(d, uv), 1.);
            }
            ENDCG
        }
    }
    FallBack "Diffuse"
}

在这个 Unity Shader 中，我们使用了 _MainTex 来加载纹理，_HeatMax、_PointRadius、_PointCount 和 _Points 分别表示热力图的最大值、点半径、点数量和点的位置。然后在 Pass 中进行了渲染，使用了 vertex 和 uv 的数据类型，同时还使用了 UnityCG.cginc 中的函数。最后，使用了 gradient 函数和 frag 函数来实现对应的渲染效果。

函数z=2*x**2*y-3xy**2在（a,b）处的最大方向导数为

函数 \( z = 2x^2y - 3xy^2 \) 在点 (a, b) 处的最大方向导数可以通过梯度向量来寻找，梯度向量给出了函数在某一点上增长最快的方向。梯度 \( \nabla z \) 对于这个函数是：

\[
\nabla z = \left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right) = (4xy - 3y^2, 2x^2 - 6xy)
\]

在点 (a, b) 处，梯度为 \( (4ab - 3b^2, 2a^2 - 6ab) \)。

最大方向导数 \( D \) 就是在该点沿梯度方向的导数值，即：

\[
D = \nabla z \cdot \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}
\]

其中 \( \vec{u} \) 是一个单位向量，表示我们要考虑的方向。由于我们寻找的是最大值，通常取 \( \vec{u} \) 为正方向（如果 \( a \) 和 \( b \) 都为正的话，因为函数通常是凹型的，负方向导数会更小），即 \( \vec{u} = (1, 1) \) 或者 \( \vec{u} = (1, -1) \)，取正值因为我们要找最大值。

计算 \( D \)：

\[
D = (4ab - 3b^2, 2a^2 - 6ab) \cdot (1, 1) / \sqrt{1^2 + 1^2}
\]

简化后得到：

\[
D = (4ab - 3b^2 + 2a^2 - 6ab) / \sqrt{2}
\]

\[
D = (2a^2 - 2ab - 3b^2) / \sqrt{2}
\]

这就是函数 \( z = 2x^2y - 3xy^2 \) 在点 (a, b) 处沿 \( (1, 1) \) 方向的最大方向导数。如果你需要其他方向（比如 \( (1, -1) \) 或者具体角度），只需相应地调整向量 \( \vec{u} \)。如果有具体点 (a, b) 的值，我可以帮您计算具体的数值。相关问题：

1. 如何确定一个点处梯度向量的最大方向导数？
2. 最大方向导数如何影响函数在特定点的行为？
3. 如何找到除了 \( (1, 1) \) 外的其他方向上的最大方向导数？