已知x服从标准正态分布,求x的绝对值的期望
时间: 2023-08-23 20:39:32 浏览: 1087
由于标准正态分布是关于0对称的,因此|x|的期望可以转化为求2倍标准正态分布在0到正无穷的积分,再乘以2。即:
E(|x|) = 2∫0^∞ x * φ(x) dx
其中,φ(x)表示标准正态分布的概率密度函数,即:
φ(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)
将φ(x)代入上式,得到:
E(|x|) = 2∫0^∞ x * (1/√(2π)) * e^(-x^2/2) dx
令u = x^2/2,du = x dx,代入上式得:
E(|x|) = 2∫0^∞ √(2/u) * (1/√(2π)) * e^(-u) du
化简后得:
E(|x|) = 2/√(2π) * ∫0^∞ e^(-u/2) / √(u) du
根据伽玛函数的性质,可以得到:
∫0^∞ e^(-u/2) / √(u) du = 2√π
因此:
E(|x|) = 2/√(2π) * 2√π = 2
因此,标准正态分布的绝对值的期望为2。
相关问题
已知随机变量X服从标准正态分布,且ã=0.975,利用icdf 函数求临界值x
根据题意,我们需要找到一个临界值x,使得标准正态分布在x处右侧的面积为0.025。可以使用icdf函数求解。
在Python中,可以使用scipy库中的norm模块来实现:
```python
from scipy.stats import norm
# 找到右侧面积为0.025的临界值
x = norm.ppf(0.975)
print(x)
```
运行结果为:
```
1.959963984540054
```
因此,临界值x约为1.96。
利用icdf 函数,求以下临界值: 1、已知随机变量X服从标准正态分布,且a=97,求临界值x:
根据标准正态分布的定义,我们知道 $P(X \leq x) = a/100 = 0.97$。
因为标准正态分布是对称的,所以 $P(X \leq x) = 0.97$ 和 $P(X \geq x) = 0.03$ 是等价的。
我们可以使用逆标准正态分布函数(也称为 icdf 函数)来计算这个临界值。在大多数编程语言中,这个函数通常被称为 `norminv` 或 `qnorm`。
在 Python 中,我们可以这样计算:
```python
from scipy.stats import norm
# 计算临界值
x = norm.ppf(0.03)
print("临界值 x =", x)
```
输出:
```
临界值 x = -1.8807936081512509
```
因此,当 $X$ 服从标准正态分布时,$P(X \geq -1.8808) = 0.03$。
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