对于一个具有N个顶点的无向图，若采用邻接矩阵表示，则该矩阵的大小是

如果采用邻接矩阵表示无向图，那么该矩阵的大小为 $N \times N$。因为对于每个顶点，都需要记录与其他所有顶点之间的连通关系，而共有 N 个顶点，因此需要记录 N 行连通关系，每行需要记录 N 个元素，因此邻接矩阵的大小为 $N \times N$。邻接矩阵的元素通常使用 0 或 1 表示两个顶点之间是否有连边。因此邻接矩阵需要存储 $N^2$ 个元素。当然，如果图是带权图，则需要存储权值，那么邻接矩阵的元素就需要使用实数类型来存储，此时需要存储 $N^2$ 个实数。

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2. 给出如下各种情况下求任意一个顶点的度的过程（只需文字描述）：（8分）（1）含n个顶点的无向图采用邻接矩阵存储；（2）含n个顶点的无向图采用邻接表存储；（3）含n个顶点的有向图采用邻接矩阵存储；（4）含n个顶点的有向图采用邻接表存储。

(1) 含n个顶点的无向图采用邻接矩阵存储时，对于任意一个顶点i，其度数就是邻接矩阵第i行（或第i列）中非零元素的个数。

(2) 含n个顶点的无向图采用邻接表存储时，对于任意一个顶点i，其度数就是与其相邻的边的个数，即其对应的链表的长度。

(3) 含n个顶点的有向图采用邻接矩阵存储时，对于任意一个顶点i，其出度就是邻接矩阵第i行中非零元素的个数，入度就是邻接矩阵第i列中非零元素的个数。

(4) 含n个顶点的有向图采用邻接表存储时，对于任意一个顶点i，其出度就是其对应的链表的长度，入度则需要遍历整个邻接表，查找有多少个顶点的链表中包含了i。

1) 分析并回答下列问题 图中顶点的度之和与边数之和的关系? 有向图中顶点的入度之和与出度之和的关系?具有n个顶点的无向图，至少应有多少条边才能确保是个连通图?若采用邻接矩阵表示，则该矩阵的大小是多 少? G具有n个顶点的有向图，至少应有多少条弧才能确保是强连通图的?为什么?

1. 图中顶点的度之和与边数之和的关系为：顶点的度之和等于边数之和的两倍，即∑deg(v) = 2|E|。这是因为每条边都会贡献两个度数，一个度数给与边相连的起点，另一个度数给与边相连的终点。

2. 对于有向图，顶点的入度之和等于出度之和，即∑indeg(v) = ∑outdeg(v)。这是因为每条弧都会贡献一个入度和一个出度，一个入度给与弧指向该顶点的终点，一个出度给与弧起点所在的顶点。

3. 至少应有n-1条边才能确保是个连通图。这是因为n个顶点的无向图的最小边数为n-1条，当且仅当图为树时达到最小值。如果图不是树，那么再添加边就会形成环，即会出现多余的边。因此，至少需要n-1条边才能保证图的连通性。

4. 如果采用邻接矩阵表示，则该矩阵的大小为n*n。因为邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示顶点i和顶点j是否相邻，因此需要n行n列的矩阵来表示。

5. 对于有向图，至少应有n条弧才能确保是强连通图。这是因为强连通图是指从任意一个顶点出发都可以到达图中的任意一个顶点，因此每个顶点都需要至少一条出弧和一条入弧。因此，每个顶点至少需要2条弧，所以n个顶点的有向图至少需要n条弧。