分别用直角、球坐标系求解三维谐振子问题
时间: 2023-06-16 13:03:49 浏览: 109
三维谐振子问题可以用直角坐标系或球坐标系求解。以下是两种方法的详细步骤:
### 直角坐标系
我们先写出三维谐振子的波函数:
$\psi(x,y,z) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$
其中,$R_{nl}(r)$ 是径向波函数,$Y_{lm}(\theta,\phi)$ 是角向波函数。我们假设谐振子的势能为:
$V(x,y,z) = \frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2+z^2)$
在直角坐标系下,哈密顿量为:
$H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2+z^2)$
其中,$\nabla^2$ 是拉普拉斯算子。将波函数代入哈密顿量,得到:
$E_{nlm} = \hbar\omega\left(n+\frac{3}{2}\right)$
$R_{nl}(r) = \sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}}\left(\frac{2r}{na_0}\right)^le^{-r/2na_0}L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{r}{na_0}\right)$
$Y_{lm}(\theta,\phi) = (-1)^m\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi}$
其中,$L_{n-l-1}^{2l+1}$ 是关联拉盖尔多项式,$P_l^m$ 是勒让德多项式。
### 球坐标系
在球坐标系下,哈密顿量为:
$H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{1}{2}m\omega^2r^2$
其中,
$\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}$
将波函数代入哈密顿量,得到:
$E_{nlm} = \hbar\omega\left(n+\frac{3}{2}\right)$
$R_{nl}(r) = \sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}}\left(\frac{2r}{na_0}\right)^le^{-r/2na_0}L_{n-l-1}^{2l+1}\left(\frac{r}{na_0}\right)$
$Y_{lm}(\theta,\phi) = (-1)^m\sqrt{\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}}P_l^m(\cos\theta)e^{im\phi}$
其中,$L_{n-l-1}^{2l+1}$ 是关联拉盖尔多项式,$P_l^m$ 是勒让德多项式。
两种方法的求解步骤大体相同,只是哈密顿量和拉普拉斯算子在不同坐标系下的表达式不同。
相关推荐
![-](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_column_c1.png)
![-](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_column_c1.png)
![-](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_column_c1.png)
![-](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_column_c1.png)
![-](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_column_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)