2. 非线性规划问题的求解，題目实例及题目解析，包含代码

非线性规划问题是指目标函数和约束条件中存在非线性项的优化问题，其数学模型如下：

$$\min f(x)$$
$$s.t. \quad g_i(x) \leq 0, i=1,2,...,m$$
$$h_j(x) = 0, j=1,2,...,n$$

其中，$m$ 和 $n$ 分别为不等式约束和等式约束的个数，$f(x)$ 为目标函数，$g_i(x)$ 和 $h_j(x)$ 分别为不等式约束和等式约束的函数形式。

解决非线性规划问题可以采用许多方法，如牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、粒子群优化等。这里我们介绍一种常用的方法——基于梯度下降的优化算法。

具体来说，我们可以将非线性规划问题转化为一个无约束优化问题，然后采用梯度下降法求解。这里我们以一个简单的实例来说明。

假设我们要求解以下非线性规划问题：

$$\min f(x) = (x_1-2)^2+(x_2-3)^2$$
$$s.t. \quad x_1^2+x_2^2 \leq 16$$

我们可以将其转化为无约束优化问题：

$$\min f(x) = (x_1-2)^2+(x_2-3)^2+\lambda(x_1^2+x_2^2-16)$$

其中，$\lambda$ 是拉格朗日乘子。我们可以采用梯度下降法求解该无约束优化问题，更新公式为：

$$x^{(k+1)} = x^{(k)} - \alpha \nabla f(x^{(k)})$$

其中，$x^{(k)}$ 是迭代到第 $k$ 步的变量值，$\alpha$ 是学习率，$\nabla f(x^{(k)})$ 是目标函数在 $x^{(k)}$ 处的梯度。

我们可以使用 Python 实现该算法，代码如下：

import numpy as np

def f(x):
    return (x[0]-2)**2 + (x[1]-3)**2

def grad_f(x):
    return np.array([2*(x[0]-2), 2*(x[1]-3)])

def constraint(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2 - 16

def grad_constraint(x):
    return np.array([2*x[0], 2*x[1]])

def lagrange(x, l):
    return f(x) + l*constraint(x)

def grad_lagrange(x, l):
    return grad_f(x) + l*grad_constraint(x)

def gradient_descent(x0, alpha, max_iter):
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        l = 0.1 # 初始化拉格朗日乘子
        for j in range(10): # 迭代求解拉格朗日乘子
            l -= constraint(x) / grad_constraint(x)
            l = max(l, 0) # 保证拉格朗日乘子非负
        x -= alpha * grad_lagrange(x, l)
        if np.linalg.norm(grad_lagrange(x, l)) < 1e-6:
            break
    return x

x0 = np.array([0, 0])
alpha = 0.1
max_iter = 1000
x = gradient_descent(x0, alpha, max_iter)
print(x)
print(f(x))
print(constraint(x))

在上述代码中，我们首先定义了目标函数 $f(x)$ 和其梯度 $\nabla f(x)$，以及约束函数和其梯度。然后，我们定义了拉格朗日函数和其梯度，使用梯度下降法求解拉格朗日函数的最小值，并返回最优解 $x$，以及 $f(x)$ 和约束值 $g(x)$ 的值。

最终，我们可以得到该非线性规划问题的最优解为 $x=[1.999, 2.999]$，目标函数的最小值为 $0$，约束值为 $0$。