写出多段图最短路径动态规划算法求解下的实例过程并求出最优值

假设我们有一个无向图，如下所示：

    1 - 2
   / \   \
  3 - 4 - 5

我们的任务是找出从节点1到节点5的最短路径。为了方便，我们将边的权重表示在括号内。

首先，我们需要构建一个邻接矩阵来表示这个无向图：

   1  2  3  4  5
1  0  3  2  0  0
2  3  0  0  4  0
3  2  0  0  1  0
4  0  4  1  0  3
5  0  0  0  3  0

假设我们的起点是节点1，我们需要计算出从节点1到其他节点的最短路径。我们可以使用一个大小为5的一维数组d来表示这些最短路径，其中d[i]表示从节点1到节点i的最短路径长度。我们还需要一个大小为5的一维数组p来记录最短路径上节点i的前一个节点，以便我们能够重构最短路径。

我们初始化d数组和p数组如下：

d = [0, inf, inf, inf, inf]
p = [None, None, None, None, None]

其中inf表示无穷大，None表示没有前一个节点。

接下来，我们需要使用动态规划来计算d数组和p数组。我们可以使用下面的递推式：

d[i] = min(d[i], d[j] + w[j][i])

其中w[j][i]表示从节点j到节点i的边的权重。这个递推式意味着，如果我们可以通过从节点1到节点j再到节点i的路径获得更短的路径，那么我们就更新d[i]和p[i]。

我们按照以下步骤更新d数组和p数组：

1. 设置一个集合S，其中包含所有未确定最短路径的节点，初始时，S包含所有节点。
2. 从S中选择一个距离起点1最近的节点u，并将其从S中移除。
3. 对于u的每个邻居节点v，如果d[u] + w[u][v] < d[v]，则更新d[v]和p[v]。
4. 重复步骤2和步骤3，直到S为空。

在我们的例子中，我们按照以下方式更新d数组和p数组：

1. 选择节点1作为起点，将其加入集合S中。
2. 从S中选择距离起点最近的节点1，并将其从S中移除。
3. 对于节点1的每个邻居节点2和3，我们有：

d[2] = min(d[2], d[1] + w[1][2]) = min(inf, 0 + 3) = 3
d[3] = min(d[3], d[1] + w[1][3]) = min(inf, 0 + 2) = 2

因此，d数组和p数组变为：

d = [0, 3, 2, inf, inf]
p = [None, 1, 1, None, None]

4. 从S中选择距离起点最近的节点3，并将其从S中移除。
5. 对于节点3的每个邻居节点1和4，我们有：

d[1] = min(d[1], d[3] + w[3][1]) = min(0, 2 + 2) = 0
d[4] = min(d[4], d[3] + w[3][4]) = min(inf, 2 + 1) = 3

因此，d数组和p数组变为：

d = [0, 3, 2, 3, inf]
p = [None, 1, 1, 3, None]

6. 从S中选择距离起点最近的节点2，并将其从S中移除。
7. 对于节点2的邻居节点1、4和5，我们有：

d[1] = min(d[1], d[2] + w[2][1]) = min(0, 3 + 3) = 0
d[4] = min(d[4], d[2] + w[2][4]) = min(3, 3 + 4) = 3
d[5] = min(d[5], d[2] + w[2][5]) = min(inf, 3 + 0) = 3

因此，d数组和p数组变为：

d = [0, 3, 2, 3, 3]
p = [None, 1, 1, 3, 2]

8. 从S中选择距离起点最近的节点4，并将其从S中移除。
9. 对于节点4的邻居节点2和5，我们有：

d[2] = min(d[2], d[4] + w[4][2]) = min(3, 3 + 4) = 3
d[5] = min(d[5], d[4] + w[4][5]) = min(3, 3 + 3) = 3

因此，d数组和p数组变为：

d = [0, 3, 2, 3, 3]
p = [None, 1, 1, 3, 2]

10. 从S中选择距离起点最近的节点5，并将其从S中移除。
11. 由于节点5没有邻居，算法终止。

因此，从节点1到节点5的最短路径长度为3，路径为1-3-4-5。