方格取数网络流python
时间: 2023-07-07 22:12:10 浏览: 119
方格取数问题也可以使用网络流算法进行求解。以下是一个Python实现:
```python
from collections import deque
n = int(input())
grid = []
for i in range(n):
row = list(map(int, input().split()))
grid.append(row)
# 计算每个格子的编号
id_map = [[0] * n for _ in range(n)]
cnt = 0
for i in range(n):
for j in range(n):
id_map[i][j] = cnt
cnt += 1
# 定义网络流图的源点、汇点,以及每个格子的容量
s = 2*n*n
t = 2*n*n + 1
cap = [[0] * (2*n*n+2) for _ in range(2*n*n+2)]
for i in range(n):
for j in range(n):
cap[s][id_map[i][j]] = 1 # 源点到每个格子的容量为1
cap[id_map[i][j]+n*n][t] = 1 # 每个格子到汇点的容量为1
if i > 0: # 上方格子向当前格子的容量为上方格子的值
cap[id_map[i-1][j]][id_map[i][j]+n*n] = grid[i][j]
if j > 0: # 左方格子向当前格子的容量为左方格子的值
cap[id_map[i][j-1]][id_map[i][j]+n*n] = grid[i][j]
# 使用BFS算法找到增广路径
def bfs():
queue = deque([s])
visited = [False] * (2*n*n+2)
visited[s] = True
parent = [-1] * (2*n*n+2)
while queue:
u = queue.popleft()
for v in range(2*n*n+2):
if not visited[v] and cap[u][v] > 0:
visited[v] = True
parent[v] = u
queue.append(v)
if v == t: # 找到增广路径
path = []
while v != s:
path.append(v)
v = parent[v]
path.append(s)
path.reverse()
return path
return None
# 使用Ford-Fulkerson算法求最大流
max_flow = 0
while True:
path = bfs()
if not path:
break
flow = float('inf')
for i in range(len(path)-1):
u, v = path[i], path[i+1]
flow = min(flow, cap[u][v])
for i in range(len(path)-1):
u, v = path[i], path[i+1]
cap[u][v] -= flow
cap[v][u] += flow
max_flow += flow
print(max_flow)
```
这个算法将每个格子看做一个节点,将源点和汇点分别连接到每个格子。根据题目要求,每个格子只能向下或向右走,因此可以将每个格子拆成两个节点,一个表示向下走,一个表示向右走。这样就可以将问题转化为一个网络流问题。
具体来说,源点向每个格子的向下走节点连边,容量为1;每个格子的向右走节点向汇点连边,容量为1;每个格子的向下走节点向下方格子的向上走节点连边,容量为下方格子的值;每个格子的向右走节点向左方格子的向右走节点连边,容量为左方格子的值。
然后使用标准的Ford-Fulkerson算法求解最大流,即可得到答案。
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