一个n阶上三角矩阵A按行优先顺序压缩存放在一维数组B，则B中元素个数是（ ）。

一个 n 阶上三角矩阵的元素个数为 $1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$，但是由于是上三角矩阵，因此只有矩阵的上三角部分有值，即有 $\frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2} = n$ 个元素。而按行优先顺序压缩存放时，我们只需要存储上三角部分的元素，因此数组 B 中的元素个数应该是 n。

相关问题

若将n阶下三角矩阵A按列优先顺序压缩存放在一维数组B[0..n(n+1)/2－1]中，A中第一个非0元素A[1][1]存于数组B[0]中,则应存放到B[k]中的非0元素A[i]j的下标i,j与k的对应关系是

### 回答1：
下标 i,j 与 k 的对应关系是：
k = (i-1) * i / 2 + j - 1
其中，i 表示矩阵 A 中非零元素的行号，j 表示矩阵 A 中非零元素的列号，k 表示一维数组 B 中存储该非零元素的下标。由于是下三角矩阵，因此只需存储矩阵中主对角线及其下方的元素。而一维数组 B 中的下标从 0 开始，因此需要将 i 和 j 都减 1 才能与 k 对应。

### 回答2：
若将n阶下三角矩阵A按列优先顺序压缩存放在一维数组B[0..n(n 1)/2－1]中，A中第一个非0元素A[1][1]存于数组B[0]中，则应存放到B[k]中的非0元素A[i]j的下标i，j与k的对应关系如下：

对于下三角矩阵A中的非零元素A[i][j]，其中i >= j，可以将A中的第i行和第j列以及对角线上的所有元素按列优先的顺序存放在一维数组B中。

设第i行第j列的元素在A中的位置为pos，则其在B中的位置为：

pos = j*(j-1)/2 + i

其中，j*(j-1)/2 是第j列之前（不含第j列）元素的个数，加上第i列第j行的元素之后得到元素在B中的位置。

所以，对于A中的非0元素A[i]j，它在B中的位置k与i，j之间的对应关系为：

k = j*(j-1)/2 + i

反过来，对于B中的元素B[k]，其对应的A矩阵元素A[i][j]的下标为：

j = int(sqrt(2*k + 0.25) - 0.5)
i = k - j*(j-1)/2

需要注意的是，由于存放到B中的是下三角矩阵A，所以i >= j。

### 回答3：
若将n阶下三角矩阵A按列优先顺序压缩存放在一维数组B[0..n(n 1)/2－1]中，A中第一个非0元素A[1][1]存于数组B[0]中。则应存放到B[k]中的非0元素A[i][j]的下标i,j与k的对应关系是：

对于矩阵A中的第m行第n列的元素A[m][n]，如果m <= n，则将该元素存放在数组B中的位置B[k]中，其中k的计算公式为：

k = (n × (n-1)) / 2 + m - 1

其中，n × (n-1) / 2是n阶下三角矩阵中元素的总个数，(n × (n-1)) / 2 + m - 1是表示在第n列中的第m行对应的位置。

对于非0元素A[m][n]，其中m > n，则该元素应为0，不需要存放在数组B中。

例如，对于一个3阶下三角矩阵A[3][3]，其元素依次为：
A[1][1] A[1][2] A[1][3]
A[2][1] A[2][2] A[2][3]
A[3][1] A[3][2] A[3][3]

将按列优先顺序压缩存放在一维数组B中，应有：
B[0] = A[1][1]
B[1] = A[2][1]
B[2] = A[2][2]
B[3] = A[3][1]
B[4] = A[3][2]
B[5] = A[3][3]

从上述例子可以看出，上三角矩阵中的非0元素按列优先顺序压缩存放在一维数组B中，且对应关系即为上述计算公式。

若对称矩阵 AnXn按行顺序压缩存储，只存下三角到 一维数组 b 中，则 b 的元素个数是 ，元素 aij 在 b 中的下标是 。

对称矩阵 AnXn按行顺序压缩存储，只存下三角时，可以只存储矩阵的下三角或上三角，因为对称矩阵的上三角和下三角相等。假设只存储下三角，则需要存储的元素个数为：

$$\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$

元素 $a_{i,j}$ 在一维数组 b 中的下标为：

$$
\begin{aligned}
&b_{1} = a_{1,1}\\
&b_{2} = a_{2,1}\\
&b_{3} = a_{3,1}\\
&\cdots\\
&b_{n-1} = a_{n-1,1}\\
&b_{n} = a_{n,1}\\
&b_{n+1} = a_{2,2}\\
&b_{n+2} = a_{3,2}\\
&\cdots\\
&b_{\frac{n(n+1)}{2}} = a_{n,n}
\end{aligned}
$$

其中，$b_i$ 表示数组 b 中的第 i 个元素，$a_{i,j}$ 表示矩阵中的第 i 行第 j 列的元素。可以发现，对于矩阵中下三角的任意一个元素 $a_{i,j}$，它在数组 b 中的下标为 $\frac{i(i-1)}{2}+j$。这个公式的推导可以参考下面的过程：

首先，对于矩阵中的第一行（除去第一个元素 $a_{1,1}$），它的元素在数组 b 中的下标分别为：

$$
\begin{aligned}
&b_{2} = a_{2,1}\\
&b_{3} = a_{3,1}\\
&\cdots\\
&b_{n} = a_{n,1}
\end{aligned}
$$

可以发现，除去第一个元素 $a_{1,1}$，剩下的元素在数组 b 中的下标都是连续的，从 2 开始一直到 n。

对于矩阵中的第二行（除去第一个和第二个元素 $a_{2,1}$ 和 $a_{2,2}$），它的元素在数组 b 中的下标分别为：

$$
\begin{aligned}
&b_{4} = a_{3,2}\\
&b_{5} = a_{4,2}\\
&\cdots\\
&b_{n+1} = a_{n,2}
\end{aligned}
$$

可以发现，除去前两个元素 $a_{2,1}$ 和 $a_{2,2}$，剩下的元素在数组 b 中的下标也是连续的，从 4 开始一直到 n+1。

对于矩阵中的第三行（除去前三个元素 $a_{3,1}$，$a_{3,2}$ 和 $a_{3,3}$），它的元素在数组 b 中的下标分别为：

$$
\begin{aligned}
&b_{6} = a_{4,3}\\
&b_{7} = a_{5,3}\\
&\cdots\\
&b_{n+2} = a_{n,3}
\end{aligned}
$$

同样可以发现，除去前三个元素，剩下的元素在数组 b 中的下标也是连续的，从 6 开始一直到 n+2。

以此类推，对于矩阵中的第 i 行，除去前 i-1 个元素，剩下的元素在数组 b 中的下标也是连续的，从 $\frac{i(i-1)}{2}+1$ 开始一直到 $\frac{i(i-1)}{2}+n-i+1$。

因此，对于任意一个元素 $a_{i,j}$，它在数组 b 中的下标为：

$$\frac{i(i-1)}{2}+j$$