在matlab 中$$\max \sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} x_{i,j}$$ s.t. $$\sum_{i=i_0}^{i_0+9}\sum_{j=j_0}^{j_0+9} x_{i,j} \leq 1, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-h}^{i_0+h}\sum_{j=j_0-h}^{j_0+h} x_{i,j} \leq (2h+1)^2, \forall i_0,j_0,h$$ $$\sum_{i=i_0-d}^{i_0+d}\sum_{j=j_0-d}^{j_0+d} x_{i,j} \leq \pi(2.5)^2, \forall i_0,j_0$$ $$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h})^2 \leq \sigma^2$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500}(h_{i,j}-\bar{h}_{i,j})^2 \leq \delta$$ $$\sum_{i=1}^{500}\sum_{j=1}^{500} (10h_{i,j}+10)x_{i,j} \leq B$$ $$x_{i,j} \in {0,1}, \forall i,j$$

可以使用 Matlab 的线性规划工具箱来求解这个问题。具体步骤如下：

1. 定义目标函数和约束条件。

f = -ones(1, 500*500); % 定义目标函数，即最大化选中的格子数
A = []; % 定义线性不等式约束矩阵
b = []; % 定义线性不等式约束向量
Aeq = []; % 定义线性等式约束矩阵
beq = []; % 定义线性等式约束向量
lb = zeros(1, 500*500); % 定义变量下界
ub = ones(1, 500*500); % 定义变量上界

2. 添加限制条件。

% 对于每个 10*10 的方格中，最多只能选中一个格子
for i = 1:491
    for j = 1:491
        for k = 1:10
            for l = 1:10
                A(end+1, (i+k-1)*500+j+l) = 1;
            end
        end
        b(end+1) = 1;
    end
end

% 对于每个半径为 h 的正方形中，最多只能选中 (2h+1)^2 个格子
for h = 1:24
    for i = h+1:500-h
        for j = h+1:500-h
            for k = -h:h
                for l = -h:h
                    A(end+1, i*500+j) = 1;
                    if k ~= 0 || l ~= 0
                        A(end, (i+k)*500+j+l) = -1;
                    end
                end
            end
            b(end+1) = (2*h+1)^2;
        end
    end
end

% 对于每个半径为 2.5 的圆中，最多只能选中 pi*(2.5)^2 个格子
for i0 = 3:498
    for j0 = 3:498
        for i = i0-2:i0+2
            for j = j0-2:j0+2
                if (i-i0)^2 + (j-j0)^2 <= 6.25
                    A(end+1, i*500+j) = 1;
                end
            end
        end
        b(end+1) = pi*6.25;
    end
end

% 选中的格子的高度的方差不能超过 sigma^2
N = sum(sum(x)); % x 是变量，表示是否选中
h = rand(500, 500); % 假设 h 表示格子的高度
hbar = sum(sum(h.*x)) / N; % 计算选中的格子的平均高度
d = (h - hbar) .* x;
A(end+1, :) = reshape(d, 1, []);
b(end+1) = 500*500*sigma^2 / N;

% 选中的格子的高度与平均高度的差的平方和不能超过 delta
d2 = d .* d;
A(end+1, :) = reshape(d2, 1, []);
b(end+1) = delta;

% 选中的格子的高度之和不能超过 B
A(end+1, :) = 10 * reshape(h, 1, []) + 10 * x;
b(end+1) = B;

3. 调用线性规划函数求解问题。

[x, fval, exitflag] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub);

4. 将结果转换成二维数组。

x = reshape(x, 500, 500);