用邻接矩阵存储带权有向图

邻接矩阵是一种常用的图的存储方法。对于带权有向图，我们可以使用一个二维数组来表示邻接矩阵。假设有 $n$ 个顶点，我们可以定义一个 $n \times n$ 的数组 $a$，其中 $a_{ij}$ 表示从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的边的权值。如果 $i$ 和 $j$ 不相邻，则 $a_{ij}$ 的值为无穷大或者一个特殊的标记，表示它们之间没有边。

对于有向图而言，如果从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 有一条边，则 $a_{ij}$ 不为无穷大或特殊标记，否则 $a_{ij}$ 为无穷大或特殊标记。

邻接矩阵存储带权有向图的优点是方便查找任意两个顶点之间的边的权值，缺点是如果图比较稀疏，则会浪费较多的空间。

相关问题

使用邻接矩阵来存储带权有向图G，并编程实现迪杰斯特拉算法。

好的，我来回答您的问题。

首先，邻接矩阵是一种表示图的数据结构，对于一个有 $n$ 个顶点的带权有向图 $G$，邻接矩阵 $M$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其中 $M_{i,j}$ 表示从顶点 $i$ 到顶点 $j$ 的边的权值，如果不存在这样的边，则 $M_{i,j}$ 为无穷大。如果顶点 $i$ 和顶点 $j$ 之间没有边，则 $M_{i,j}$ 为 $0$。

接下来是迪杰斯特拉算法，它是一种单源最短路径算法，用于计算从一个源点到其他所有顶点的最短路径。算法的基本思想是，维护一个集合 $S$，其中包含已经找到最短路径的顶点，以及一个距离数组 $dist$，其中 $dist[i]$ 表示从源点到顶点 $i$ 的最短距离。初始时，将源点加入集合 $S$ 中，将 $dist$ 数组中除源点之外的所有元素设为无穷大。然后，从 $S$ 中找到一个离源点最近的顶点 $u$，将顶点 $u$ 加入 $S$ 中，并且更新所有与 $u$ 相邻的顶点的距离，如果新距离比原来的距离更小，则更新 $dist$ 数组。重复这个过程直到所有顶点都加入 $S$ 中。

下面是使用邻接矩阵来实现迪杰斯特拉算法的伪代码：

def dijkstra(graph, src):
    n = len(graph)
    visited = [False] * n
    dist = [float('inf')] * n
    dist[src] = 0
    
    for _ in range(n):
        # 找到距离源点最近的顶点
        u = -1
        for i in range(n):
            if not visited[i] and (u == -1 or dist[i] < dist[u]):
                u = i
        visited[u] = True
        
        # 更新与 u 相邻的顶点的距离
        for v in range(n):
            if graph[u][v] != 0 and not visited[v]:
                new_dist = dist[u] + graph[u][v]
                if new_dist < dist[v]:
                    dist[v] = new_dist
    
    return dist

其中，`graph` 是邻接矩阵，`src` 是源点的编号。算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，可以通过使用堆来优化到 $O(n \log n)$。

希望这个回答对您有帮助！

已知带权有向图的邻接矩阵画出带权有向图和带权有向图的邻接表

在数学和计算机科学中，当我们讨论带权有向图时，我们通常会涉及到两种常见的数据结构表示法：邻接矩阵和邻接表。

**1. 邻接矩阵**：
邻接矩阵是一个二维数组，其中每个元素对应于图中的每对顶点(u, v)。如果存在从u到v的边，并且边上有权重w，那么矩阵的元素A[u][v]等于w；如果没有边，则为0或某个特殊的值表示不存在。这个矩阵是对称的，因为如果图是无向的，可以从u到v的边也意味着可以从v到u。对于有向图，如果是单向的，A[u][v]只记录从u到v的边信息。

例如，考虑一个简单的有向图：

   A -> B
   |     |
   V     V
   C <- D

对应的邻接矩阵可能看起来像这样（假设所有边的权重都为1）：

| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |

**2. 邻接表**：
邻接表则是将每个顶点作为一个节点，存储与其相连的所有边及其权重。对于每个顶点，维护一个列表，包含指向连接顶点以及权重的链表或数组。这种表示更为节省空间，特别适用于稀疏图，即边的数量远小于顶点数的平方。

对于上述有向图，邻接表形式可能是这样的：
- 对于顶点A: [(B, 1), (D, 1)]
- 对于顶点B: [(A, 1)]
- 对于顶点C: []
- 对于顶点D: [(C, 1)]