用c语言动态规划实现环形石子合并问题

环形石子合并问题是一个经典的动态规划问题，它的解法和线性石子合并问题类似，只不过需要考虑石子合并后形成环的情况。

假设有$n$个石子，它们的权值分别为$a_1,a_2,...,a_n$，我们要将它们合并成一个环。每次可以选择相邻的两堆石子合并，合并后的新堆石子的权值为原来两堆石子的权值之和，合并的代价为两堆石子的权值之和。求将所有石子合并成一个环的最小代价。

我们可以用$dp[i][j]$表示将第$i$个石子到第$j$个石子合并成一个环的最小代价。当$i=j$时，只有一个石子，代价为0；当$i=j-1$时，有两个石子，直接合并即可，代价为$a_i+a_j$。当$i<j-1$时，我们可以枚举最后一次将哪两堆石子合并，假设将第$i$堆石子和第$k(i<k<j)$堆石子合并，则最后一次合并的代价为$a_i+a_{i+1}+...+a_k+a_{k+1}+...+a_j$，同时需要加上将第$i$堆石子到第$k$堆石子和第$k+1$堆石子到第$j$堆石子合并成一个环所需的代价$dp[i][k]+dp[k+1][j]$。因此，我们可以得到状态转移方程：

$$dp[i][j]=\begin{cases}0 & i=j\\a_i+a_j & i=j-1\\\min\limits_{i\leq k<j}\{dp[i][k]+dp[k+1][j]+a_i+a_{i+1}+...+a_k+a_{k+1}+...+a_j\} & i<j-1\end{cases}$$

最终的答案为$dp[1][n]$。下面是C语言的代码实现：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define N 1005

int a[N];
int dp[N][N];

int min(int a, int b) {
    return a < b ? a : b;
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    // 初始化dp数组
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][i] = 0;
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][i + 1] = a[i] + a[i + 1];
    }
    // 状态转移
    for (int len = 3; len <= n; len++) {
        for (int i = 1; i <= n - len + 1; i++) {
            int j = i + len - 1;
            for (int k = i; k < j; k++) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + a[i] + a[j]);
            }
        }
    }
    printf("%d\n", dp[1][n]);
    return 0;
}

在上面的代码中，我们用$dp[i][j]$表示将第$i$个石子到第$j$个石子合并成一个环的最小代价。初始化$dp[i][i]=0$，$dp[i][i+1]=a_i+a_{i+1}$，表示只有一个或两个石子时的情况。然后按照长度从小到大的顺序枚举所有的区间，计算最小代价。最后输出$dp[1][n]$即可。