$d(Tx,Ty)\leq kd(x,y)$
时间: 2023-08-31 17:11:16 浏览: 43
这一个数学相关的问题,具体涉及到度量空间和压缩映射定理。其中 $T$ 是一个压缩映射,$d(x,y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 之间的距离,$k$ 是一个小于等于 $1$ 的常数。该不等式表述了压缩映射的性质,对于任意两个点 $x$ 和 $y$,它们在映射后的距离不会超过它们在原空间中的距离的 $k$ 倍。
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$d(x,z) \leq d(x,y)什么意思
$d(x,z) \leq d(x,y)$ 表示点 $x$ 到点 $z$ 的距离小于等于点 $x$ 到点 $y$ 的距离。这是由于欧几里得距离满足三角不等式,即对于任意的 $x,y,z \in \mathbb{R}^n$,有 $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$。因此,当 $y$ 是 $x$ 到 $z$ 的最短路径上的一个点时,即 $d(x,z) = d(x,y) + d(y,z)$ 时,等式成立;否则,当 $y$ 不在最短路径上时,$d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ 仍然成立,但是不等式变成了严格不等式。因此,$d(x,z) \leq d(x,y)$ 是三角不等式的一个特例,在一些证明中经常会用到。
$d(x,y)$ 应该是 $d(x,z^) + d(z^,y)$ 的一个下界吧
非常抱歉,我的前两个回答都有误。您是正确的,$d(x,y)$ 是 $d(x,z^*) + d(z^*,y)$ 的下界,其中 $z^*$ 是使得 $d(x,z^*) + d(z^*,y)$ 最小的 $z \in X$。根据三角不等式,我们有:
$$d(x,y) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$$
因此,对于任意的 $z \in X$,我们有:
$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$$
将 $z$ 取为 $z^*$,我们有:
$$d(x,y) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y) = \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$$
因此,$d(x,y)$ 是 $d(x,z^*) + d(z^*,y)$ 的下界,同时也是 $\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$ 的上界。感谢您的指正,希望我的回答能够解决您的疑惑。