对流方程的隐式差分格式编程实例matlab
时间: 2023-08-06 21:14:40 浏览: 99
对流方程的隐式差分格式编程可以使用Matlab实现。假设我们要求解一维非定常对流方程:
∂u/∂t + c * ∂u/∂x = 0
其中u是待求解的函数,c为常数,t表示时间,x表示空间坐标。为了使用隐式差分格式求解,我们需要将上述方程进行离散化。使用向后差分近似时间导数,向前差分近似空间导数,可得:
(u_i^(n+1)-u_i^n)/Δt + c*(u_i^n-u_{i-1}^n)/Δx=0
其中,i表示空间离散化的节点编号,n表示时间离散化的步数,Δt和Δx分别为时间和空间的离散化步长。
将未知量u_i^(n+1)移到左侧,得到:
-u_i^(n+1) + u_i^n + c*Δt/Δx*(u_i^n-u_{i-1}^n) = 0
这是一个带有未知量u_i^(n+1)的线性方程,可以使用Matlab中的线性方程求解器进行求解。具体实现代码如下:
```matlab
% 设置模拟参数
nx = 101; % 空间离散化节点数目
nt = 100; % 时间离散化步数
c = 1; % 对流速度
dx = 1/(nx-1); % 空间步长
dt = 0.01; % 时间步长
% 初始化计算结果矩阵
u = zeros(nx, nt); % u(i,j)表示第i个空间节点在第j个时间步的解
% 设置初始条件
u(:,1) = sin(pi*(0:dx:1)); % 初始条件为sin曲线
% 设置边界条件
u(1,:) = 0; % 左边界为0
u(nx,:) = 0; % 右边界为0
% 使用隐式差分格式求解
for n = 2:nt
% 构造系数矩阵A和右侧向量b
A = diag(1+2*c*dt/dx^2*ones(nx-2,1),0) + diag(-c*dt/dx^2*ones(nx-3,1),1) + diag(-c*dt/dx^2*ones(nx-3,1),-1);
b = u(2:nx-1,n-1);
% 添加边界条件
b(1) = b(1) + c*dt/dx^2*u(1,n);
b(end) = b(end) + c*dt/dx^2*u(nx,n);
% 求解线性方程
u(2:nx-1,n) = A\b;
end
% 绘制计算结果
[X,T] = meshgrid(0:dx:1,(1:nt)*dt);
surf(X,T,u);
xlabel('空间坐标');
ylabel('时间');
zlabel('解');
```
这段代码中,我们使用了Matlab中的diag函数构造系数矩阵A,使用线性方程求解器求解方程。最终的计算结果是一个二维矩阵,第i行第j列表示第i个空间节点在第j个时间步的解。我们可以使用surf函数绘制出计算结果的三维图像。