证明:两个凸函数的和是凸函数。
时间: 2024-10-08 18:27:12 浏览: 21
证明:凸函数的一个重要性质是,如果函数 f(x) 在某个区间上是凸的,那么对于任意两点 x1, x2 在该区间内,以及任何 λ ∈ [0, 1],都有下面的关系成立:
f(λx1 + (1 - λ)x2) ≤ λf(x1) + (1 - λ)f(x2)
这个性质被称为凸函数的中间值性质。
现在假设我们有两个凸函数 f1(x) 和 f2(x),我们要证明 f1(x) + f2(x) 也是一个凸函数。考虑任意三个点 a, b, c,在函数 f1(x) + f2(x) 的定义域内,及任意标度 λ, μ ∈ [0, 1] 满足 λ + μ = 1。我们需要验证:
(f1(λa + μb) + f2(λa + μb)) ≤ λ(f1(a) + f2(a)) + μ(f1(b) + f2(b))
由于 f1(x) 和 f2(x) 分别是凸函数,我们分别应用它们的中间值性质:
f1(λa + μb) ≤ λf1(a) + μf1(b)
f2(λa + μb) ≤ λf2(a) + μf2(b)
将这两个不等式相加,我们得到:
f1(λa + μb) + f2(λa + μb) ≤ λ(f1(a) + f2(a)) + μ(f1(b) + f2(b))
这表明 f1(x) + f2(x) 也满足中间值性质,因此它是凸的。
总结来说,由于加法运算是一种线性组合,如果每个项都是凸函数,那么整个和函数就是凸的。这也是为什么凸函数的集合关于加法是封闭的。
相关问题
三个平均相对误差函数之和是凸函数吗
我们首先需要定义三个平均相对误差函数。设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是两个实值函数,它们在 $x \in D$ 上都有定义,则它们的平均相对误差函数 $h(x)$ 定义为:
$$
h(x) = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{|f(x)-g(x)|}{|f(x)|+|g(x)|} + \frac{|g(x)-f(x)|}{|g(x)|+|f(x)|} \right)
$$
现在假设我们有三个实值函数 $f_1(x), f_2(x)$ 和 $f_3(x)$,它们在 $x \in D$ 上都有定义。我们定义它们的平均相对误差函数之和为:
$$
H(x) = h_1(x) + h_2(x) + h_3(x)
$$
我们需要证明 $H(x)$ 是凸函数。
对于函数 $h(x)$,我们可以先证明它是凸函数。对于 $x_1, x_2 \in D$ 和 $\lambda \in [0,1]$,我们有:
$$
\begin{aligned}
h(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) &= \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{|f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)-g(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|}{|f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|+|g(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|} \right. \\
&\quad\quad+ \left. \frac{|g(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)-f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|}{|g(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|+|f(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2)|} \right) \\
&\leq \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\lambda |f(x_1)-g(x_1)| + (1-\lambda) |f(x_2)-g(x_2)|}{\lambda (|f(x_1)|+|g(x_1)|) + (1-\lambda)(|f(x_2)|+|g(x_2)|)} \right. \\
&\quad\quad+ \left. \frac{\lambda |g(x_1)-f(x_1)| + (1-\lambda) |g(x_2)-f(x_2)|}{\lambda (|g(x_1)|+|f(x_1)|) + (1-\lambda)(|g(x_2)|+|f(x_2)|)} \right) \\
&\leq \frac{\lambda}{2} \cdot \left( \frac{|f(x_1)-g(x_1)|}{|f(x_1)|+|g(x_1)|} + \frac{|g(x_1)-f(x_1)|}{|g(x_1)|+|f(x_1)|} \right) \\
&\quad\quad+ \frac{1-\lambda}{2} \cdot \left( \frac{|f(x_2)-g(x_2)|}{|f(x_2)|+|g(x_2)|} + \frac{|g(x_2)-f(x_2)|}{|g(x_2)|+|f(x_2)|} \right) \\
&= \lambda h(x_1) + (1-\lambda) h(x_2)
\end{aligned}
$$
因此,$h(x)$ 是凸函数。
接下来我们考虑 $H(x)$。对于 $x_1, x_2 \in D$ 和 $\lambda \in [0,1]$,我们有:
$$
\begin{aligned}
H(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) &= h_1(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) + h_2(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) + h_3(\lambda x_1 + (1-\lambda) x_2) \\
&\leq \lambda h_1(x_1) + (1-\lambda)h_1(x_2) + \lambda h_2(x_1) + (1-\lambda)h_2(x_2) + \lambda h_3(x_1) + (1-\lambda)h_3(x_2) \\
&= \lambda H(x_1) + (1-\lambda) H(x_2)
\end{aligned}
$$
因此,$H(x)$ 是凸函数。
利用定义证明交叉熵函数是凸函数
首先,我们来定义交叉熵函数。设$p$和$q$是定义在相同的离散或连续随机变量上的两个概率分布,则$p$和$q$的交叉熵函数为:
$$H(p,q)=-\sum_{x}p(x)\log q(x)$$
或者
$$H(p,q)=-\int_{-\infty}^{\infty}p(x)\log q(x)dx$$
现在我们证明交叉熵函数是凸函数。为了证明交叉熵函数是凸函数,我们需要证明对于所有的$p$和$q$,以及$0\leq\lambda\leq1$,都有:
$$H(p,\lambda q+(1-\lambda)r)\leq\lambda H(p,q)+(1-\lambda)H(p,r)$$
其中,$r$是另一个概率分布。
我们从定义出发,对$\lambda$进行展开:
$$\begin{aligned} H(p,\lambda q+(1-\lambda)r) &= -\sum_{x}p(x)\log [\lambda q(x)+(1-\lambda)r(x)] \\ &\leq -\sum_{x}p(x)[\lambda\log q(x)+(1-\lambda)\log r(x)] \\ &= \lambda H(p,q)+(1-\lambda)H(p,r) \end{aligned}$$
这里,我们使用了Jensen不等式,它告诉我们,对于凸函数$f$,有:
$$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
因为负对数是凸函数,所以$-\log$也是凸函数。因此,交叉熵函数是凸函数。