matlab求解2*(d/dt)*r(t)+8*r(t)=e(t)的冲击响应
时间: 2023-06-25 16:04:53 浏览: 41
首先,对于该微分方程,需要先求出其齐次方程的解:
2*(d/dt)*r_h(t) + 8*r_h(t) = 0
化简可得:
(d/dt)*r_h(t) + 4*r_h(t) = 0
这是一个一阶常系数线性微分方程,可以使用常数变易法求解,令 r_h(t) = e^(λt),则有:
λ*e^(λt) + 4*e^(λt) = 0
解得 λ = -4,因此 r_h(t) = C*e^(-4t)。
接下来考虑非齐次方程,可以使用冲击响应法求解。假设冲击响应为 h(t),则有:
2*(d/dt)*h(t) + 8*h(t) = δ(t)
其中 δ(t) 为单位冲击函数。对于这个方程,可以使用 Laplace 变换求解。
对于一阶微分方程 y' + ay = b,其 Laplace 变换为:
s*Y(s) - y(0) + a*Y(s) = B(s)
其中 s 是 Laplace 变换的变量,B(s) 和 Y(s) 分别为 b(t) 和 y(t) 的 Laplace 变换,y(0) 为 y(t) 在 t=0 时的初值。
将上述式子代入非齐次方程中,可得:
s*H(s) - h(0) + 4*H(s) = 1
其中 h(0) = 0,因为冲击响应在初始时刻不存在。解出 H(s):
H(s) = 1 / (s+4)
再对 H(s) 进行反演变换,可得到冲击响应:
h(t) = e^(-4t) * u(t)
其中 u(t) 为单位阶跃函数。最终的解为:
r(t) = r_h(t) + e(t) * h(t)
= C*e^(-4t) + e(t) * e^(-4t) * u(t)
其中 C 为待定常数,由初值条件决定。
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