给定系统微分方程d^2/(dt^2 ) r(t)+3 d/dt r(t)+2r(t)=d/dt e(t)+3e(t)。若起始状态r(0_-)=1,r'(0_-)=2,e(t)=e^(-3t) U(t),在MATLAB中求系统的零状态响应和全响应。
时间: 2023-06-14 08:07:21 浏览: 61
首先,将微分方程变形为标准形式:$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+3f(t)$,其中 $y(t)=r(t)$,$f(t)=e^{-3t}U(t)$。
然后,求解零状态响应,即令 $f(t)=0$,得到齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=0$,其特征方程为 $s^2+3s+2=0$,解得 $s_1=-1$ 和 $s_2=-2$。因此,齐次解为 $y_h(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-2t}$,其中 $c_1$ 和 $c_2$ 为待定系数。由于给定了初始状态 $y(0_-)=1$ 和 $y'(0_-)=2$,代入初始条件解得 $c_1=1$ 和 $c_2=-3$,因此零状态响应为 $y_h(t)=e^{-t}-3e^{-2t}$。
接下来,求解全响应,即令 $y_h(t)=0$,得到非齐次微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=3e^{-3t}U(t)$。对于 $t<0$,$e^{-3t}U(t)=0$,因此 $y_p(t)=0$。对于 $t\geq 0$,$e^{-3t}U(t)=e^{-3t}$,因此可以猜解 $y_p(t)=Ae^{-3t}$,代入微分方程得到 $A=\frac{3}{8}$,因此 $y_p(t)=\frac{3}{8}e^{-3t}$。因此,全响应为 $y(t)=y_h(t)+y_p(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。
在 MATLAB 中,可以使用 dsolve 函数求解微分方程,并使用 subs 函数将初始条件代入解中,代码如下:
```
syms t y(t)
eqn = diff(y,t,2) + 3*diff(y,t) + 2*y == diff(exp(-3*t)*heaviside(t),t) + 3*exp(-3*t)*heaviside(t);
y_h = dsolve(eqn, y(0)==1, subs(diff(y)==2,t,0)==2);
y_h = simplify(y_h);
y_p = subs(y_h, y, 0);
y_p = subs(y_p, t, 0);
y_p = solve(y_p == 3/8, 'Real', true);
y_p = subs(y_h, y_p);
y = y_h + y_p;
```
其中 heaviside(t) 为单位阶跃函数 U(t)。运行代码后,得到 $y(t)=e^{-t}-3e^{-2t}+\frac{3}{8}e^{-3t}$。