分数阶Riccati-di-Riccati方程的精确数值方法

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，32原创文章求解分数阶Riccati-di-Riccati方程M.M. Khader埃及Benha Benha大学理学院数学系接收日期：2012年8月27日;接受日期：2012年2012年12月14日在线提供本文给出了求解分数阶Riccati微分方程的一种精确数值方法。该方法称为分数阶切比雪夫有限差分法（FCheb-FDM）。在这种技术中，我们用有限维问题近似FRDE该方法是基于切比雪夫多项式逼近和有限差分方法的有用性质的组合Caputo分数阶导数由差商代替，积分由有限和代替。用这种方法，将给定问题化为求解一个代数方程组的问题，通过求解这个方程组，我们得到了FRDE的特别注意研究的收敛性分析和估计的误差上界所获得的近似公式。说明性的例子，包括演示的有效性和适用性所提出的技术。数学潜规则分类：65K10、65G99、35E99、68U202012年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍分数阶常微分方程和分数阶偏微分方程（FDE）由于其在流体力学、粘弹性、生物学、物理学和工程学中的广泛应用而成为众多研究的焦点[1]。分数阶微积分是普通微分和积分到任意非整数阶的推广。许多物理电子邮件地址：mohamedmbd@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier过程似乎表现出分数阶行为，其可随时间或空间而变化。大多数FDE没有精确解，因此必须使用近似和数值技术[2已有的数值方法和近似方法有变分迭代法[6]、同伦摄动法[9]、Adomian分解法[10]、同伦分析法[11]和配置法[12黎卡提微分方程是以意大利贵族伯爵雅各布·弗朗西斯科·黎卡提（Jacopo Francesco Riccati，1676-1754）的名字命名的。Reid的书[16]包含Riccati方程的基本理论，以及对随机过程、最优控制和扩散问题的应用。除了重要的工程科学应用，今天被认为是经典的，如随机实现理论，最优控制，鲁棒1110- 256 X？ 2012埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2012.09.005关键词分数阶Riccati积分方程;Caputo分数阶导数;切比雪夫多项式逼近;有限差分法;收敛性分析分数阶Riccati微分方程的数值处理33DT2--Zij8><2K22NZ上午-下午1点X ¼-cos.;k<$0; 1;. ;与间隔相关的N¼稳定和网络合成，较新的应用包括金融数学等领域[17]。该方程的解可以使用经典的数值方法，如前向欧拉方法和龙格库塔方法来获得。Dubois和Saidi[18]提出了一个无条件稳定的方案。Bahnasawi等人[19]提出了用Adomian分解法求解解析形式的非线性Riccati微分方程谭和阿巴斯班迪[11] 使用了称为同伦分析方法的分析技术来求解二次Riccati方程。分数阶Riccati微分方程被许多作者用不同的数值方法研究。这个问题是用变分迭代法[20]解决的，在[10]中，它用Adomian分解法和其他方法[21]解决。Clenshaw 和 Curtis[22] 通 过 将 函 数 展 开 为 一 系 列Chebyshev多项式，介绍了非奇异函数y（x第四节给出了FCheb-FDM新运算矩阵方法的基本公式。在第五节中，我们引入了分数阶导数的一个误差界。在第6节中，我们给出了所提出的方法求解FRDE的数值实现，以显示所提出的方法的准确性。最后，在第7节中，本文以简短的结论和一些评论结束。2. 准备工作和注释在这一节中，我们提出了一些必要的定义和分数微积分理论的数学公式，这是我们以后发展所需要的。2.1. Caputo分数阶导数定义1. a阶Caputo分数阶导数算子D（a）定义为以下形式一个接一个的整合。 Eldarry介绍了Cheby-整数导数边值问题的Shev有限差分近似[23，24]。分数阶导数Dafx1xCm-a0fmnx-ndn;a>0;x> 0;将函数y（x）在点xk，06k6N处的值展开为函数y（x）在移动Gauss-Lobatto点处L Lp k[0，L]。除了Clenshaw和Curtis介绍的数值积分程序外，还介绍了用有限和近似积分的方法。最后，我们近似提出的问题，并最终与一个有限维的问题。这项新技术的主要特点是，FRDE系统化的一种直接算法其中m-1a6m;m2N.<与整数阶微分类似，Caputo分数阶微分算子也是一种线性算子DakpxlqxlkDapxlDaqx;3其中k和l是常数。对于CaputoDaC0;C是常数; 4代数方程组。建议的方法更准确达瓦河 xn¼（0;对于n2N0和ndae;<ð5Þ与有限元素和有限元素相比，作为分数阶导数的近似，陈Cn1-axn-a;对于n2N0和nPdae：覆盖整个领域。本文的主要目的是推广以往分数阶微分方程的工作，导出Cheby-shev-FDM的一般近似公式，并应用这种方法得到分数阶微分方程的数值解。此外，我们提出的方法的收敛性分析的研究。在这篇文章中，我们考虑的分数阶Riccati微分方程的形式Dautu2t-1 ¼ 0;t> 0;0a6 1;1<参数α是指时间导数的分数阶。我们还假设一个初始条件u0 u0：2对于a=1，等式（1）是标准Riccati微分方程您的浏览器没有自动跳转，请点击这里我们使用上限函数来表示大于或等于a和N0<$f0;1;2;的最小整数。 . . G. 回想一下，N，Caputo微分算子与通常的整数阶微分算子有关分数导数定义及其属性的更多详细信息，请参见[25]。2.2. 移位Chebyshev多项式的定义和性质众所周知的切比雪夫多项式定义在区间[1，1]上，并且可以借助于以下递归公式[5]来确定。Tn1z2zTnz -Tn-1z;T0=1;T1z;n/1; 2;.. . ：众所周知，Tn（-1）=（-1）n，Tn（1）=1。n次切比雪夫多项式Tn（z）的解析形式由下式给出：这个方程的精确解是bn=2cn你好！TzX-1i2n-2i-1nZn-2i ; Z n-2 i; Z n-6 ie2t1ute2t1：1/4你好！你好！本文的结构安排如下：其中，n/2n表示n/2的整数部分的正交性条件第二节介绍了Caputo分数阶导数的一些基本定义和移位Chebyshev多项式的性质。第三节研究了分数阶Riccati微分方程解的存在唯一性，1T z T z-1p1-z2公司简介p;对于i0;p;对于i j>：0;对于ið7Þ34M.M. KhaderL¼-X2K0-DTDTXX6kv-uk移位Chebyshev多项式Tωnx的解析形式度n的函数由下式给出：一Lx-x222nn¼1-u2一架波音-20飞机R22L1Ndt dtdt. Σ从EQ。（11）我们正式22为了在区间[0，L ]上使用这些多项式，我们通过引入变量z 2 x 1的变化来定义所谓的移位切比雪夫多项式。因此，移位的切比雪夫多项式被定义为然后e-NtFu-Fve-NtIa½1-u2t-1-v2t]Ztt-sa-1ω。2xωω2x60Ce-Nt-svs-usvsTn x TnL-1;其中T0×101;T1×101L-1：ð ÞuZtsa-1e-NsnTωnxnk¼0ð-1Þn-k你好！两千块！两千块！Lxk;8因此，我们得到kFu-Fvk6 ku-vk;式中，Tω01n;TωL1。 正交条件n n这些多项式是L0其中，权重函数w<$x<$$>p<$<$1<$k<$b<$kp，其中b0= 2，bk= 1，kP1.以及由Eq.（12）有一个唯一的固定点。因此，积分方程。（11）有独特的解决方案u2C（J）.我们也可以推断出[26]。I1-utjt <$0<$0：函数y（x）属于平方整数空间，不规则的，不规则的。2个月1个月0个月在[0，L]中，可以用移位的Cheby表示shev多项式utC a11-u0 I和10-2utut;yxX1cTωx;n¼0你得-1分。ΣΣDT其中系数c给出-Nt0-不是-12天a0天n1ZLn0euteCa1-u0美国空军的“911”-2导弹cn¼hyxTωnxwxd x;n<$0;1;. . .：100万由此我们可以推出u0C（J）和u0X.现在从等式（11）我们得到杜达23. 存在唯一性设J=[0，T]， 0;t2J它等价于上范数iui=supt2J<$u（t）<$。研究分数阶Riccati微分方程初值问题解的存在唯一性。（1）假设的的溶液u（吨）属于到的空间B1/4 fu2R：juj6bg，对任意常数b。定理1. 初始值问题（1）有唯一解u2CJ;u02X<$fu2L1½0;T];kuk<$ke-Ntut<$k G：证据 从分数阶微积分的性质出发，阶微分方程（1）可以写成[26]。Daut=1/21-u 2 t=1/1 -u2t= 1/2;且u（0）= I a[1u2（t）] t=0=0。然后积分Eq。（11）等于初始值问题（1），并证明了定理 H4. FCheb-FDM运算矩阵法的基本公式众所周知的第一类n次的移位切比雪夫多项式定义在区间[0，L]上，如等式中所示。 （八）、我们选择的网格（插值）点是切比雪夫高斯 Lobatto 点 关联 与 的间隔1/20;L];x1/4 L-Lcospr;r 1/40;1;. . . N. 这些网格可以是·· ·I1-adupuzzle1-u2puzzle：用Ia运算，我们得到记作L = x N0;≤ 14μ mr¼0使得从等式（20），函数u（x）在点xs处的a阶分数导数导致期望的结果。H在定理2中定义的系数d_a_a是矩阵D_a的第s行的元素，矩阵D_a的第 s行由以下关系式定义：[1/2U a]/4Da/2U];d4小时rXNXN Xnnhn其中Da是阶为（N+1）的方阵，列s; rN bj矩阵[u（a）]和[u]由u=u（x）给出，ndaej<$0k <$daeð-1Þn—kðn þ k—1Þ！Ck-a1分别Rrr r2的12×Tωn<$xr<$Tωj<$xs<$;其中s， r=0，1，. ，N，其中 h0<$hN<$1;hi<$1 8i/1; 2;........; N-1。证据方程中的函数u（x）的近似公式的分数阶导数（13）由NDauNx00anDaTωnx：15n¼0使用Eqs.（4）和（5）在等式中。（8）我们有5. 近似分数阶导数在本节中，我们将找到函数u（x）的引入近似分数阶导数的误差上限，该函数在等式中定义。（十四）、为了达到这个目的，我们陈述并证明了下面两个定理。定理3.[28]假设H是一个Hilbert空间，U是H的一个闭子空间，使得dimU <1和u 1，u 2，. ，u n是U的基。设x是H中的任意元素，u0是x在U中的唯一最佳逼近。然后DaTωn x<$$>0;n<$0;1;. . . dae -1;然后，在步骤S102，NDauNx00anDaTωnx：16kx-u0k2¼哪里Gx; u1; u2;. ; u n;G u 1; u 2;.. . ; u n. hx; xihx; u i···hx;ui.ndae. hu;xi胡···胡岛因此，对于n=1， . . ，N和使用Eqs. （4）、（5）及（8）我们得到1Gx; u1; u2;. ; n..11 1n...：...DaTωnxnnk¼0Xnð-1Þn-k你好！2-两千块！LDaxkhu n;xi胡恩···胡恩定理4.近似压裂的误差上限函数u（x）的函数导数D（a）定义如下：nkdaeð-1Þn-knk-1！22k k！低姿态不。 .ω020Nk-aXG x k-a;T;. ;T2×kx：1717kDaux-Dau Nxk 6a nXn.（c）切比雪夫级数，所以我们有XNð21Þ哪里2xk-aj¼0 ckjTωjx;18nXn¼1n-k 2 n nk1！CKA1bL aC。k1 n-k！Ck-a- j1C k-a-j1：其中ckj由（10）式得到，其中y（x）=xk-a。如果仅第一个（N+1）项从移位切比雪夫多项式在当量（13）被认为是，压裂的近似公式kdaeJ2ð22Þ移位切比雪夫多项式的导数简介证据 考虑下面的语句，其中我们称e为a由Doha等人[27]出的分数阶导数如下：XN Xn阿吉亚拉瓜aa aa一个 新的DaTωnx¼j<$0k<$daeJ-1C.k-a12eD：¼Dux-Du Nx;eD¼eD0D1···eDN：×b L aC. k1 n-k！Ck-a-j1Ck-aj1Tjx：19根据近似公式（14）和Theo-从Eqs。（19）和（15），我们有是的。 .快！10N-NG x k-a;Tω;. ; Tω24XNK2K现在，xk-a2ωj¼0¨分数阶Riccati微分方程的数值处理372RnRJ.--我... þðÞðÞðÞJ2XN XN Xn你-你-CTωx。2019-02 -23DauNx00 00KJJGTω;.. . ; Tω1 n-kn nK一个！Ck一1y xTωxTωx×b L aC. k1 n-k！Ck-a- j1C k-a-j1：20根据Eqs。（20）和（23）我们有Nndae38M.M. Khader¨.ΣXr;s.XXG x k-a; T ω;. ;Tωr;s我2282¨ ¨ ¨eaXN？dj一个Tωnx-j¼0 XnTωjx2N..快！16Xn.电话 ：+86-24 -2222222以来GTω0;.. . ;TωNXN“XN#Da u x- Da uNxn¼000anDaTωnx-j¼0XnTωj<$x<$：ð25Þ来自Eqs. （24）和（25）导致了预期的结果。H6. FCheb-FDM在求解FRDE在这一节中，我们给出了一个使用分数阶切比雪夫有限差分公式的数值算法，用于求解形式为（1）的分数阶Riccati微分方程。实施程序由以下步骤给出1.用公式（13）近似函数u（t），用公式（14）近似其Caputo分数导数D（a）u（t），N=8，则FRDE（1）转换为以下近似形式图2不同a值下近似解的行为。Eqs。（26）和（27）表示一个非线性代数方程组，它包含未知数u（ti），i=0，1，.的九个方程。，8，其中网格点是与区间[0，3]，t1/4 3 - 3 cos p i ; i/4 0 ; 1 ;. . ;8.8r¼0dau tr8n¼0200anTωnt-1¼ 0;226毫升3.解决 的 先前 系统 使用 牛顿迭代方法来获得未知数u（t i），i= 0，1，. ，8.因此，近似解将采用相同的形式（13）。其中an和dan分别在（13）和（14）2.初始条件（2）的FCheb-FD近似由下式给出：800anTωn0u0：27n¼0图1使用FCheb-FDM的近似解和a=1，u0=0时的精确解的所提出的问题（1）的数值结果在图1和图2中给出。 1和2中，在区间[0，3]中具有不同的a值。在图1中，我们比较了在a=1，u0=0时使用引入的技术的精确解和近似解的行为。 但是，在Fig. 2给出了在不同的a值（a=0.5，0.75）下近似解的性质。从这些数值解中我们可以得出结论，所得到的数值解与精确解非常吻合。7. 结论在这篇文章中，我们介绍了一个一般的分数Chebyshev有限差分公式，并使用它来解决FRDE。所提出的问题转化为一个系统的代数方程。该解表示为截断切比雪夫级数，因此可以很容易地使用任何计算机程序对任意值的t进行计算，而推导了所得解的误差上界。数值结果表明，随着N项数目的增加，算法收敛。从实例中可以看出，这种矩阵方法可以得到非常精确和令人满意的结果。最后，从我们的数值结果使用所提出的方法，我们可以得出结论，该解决方案是在良好的协议与精确解。所有计算结果均由Matlab8.0！分数阶Riccati微分方程的数值处理39引用[1] R.L.张文龙，论分数阶导数在材料力学行为中的应用，国立台湾大学机械工程学研究所硕士论文，（1998）[2] R.L. 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